2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第04節(jié) 空間中的垂直關(guān)系 Word版含答案

2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第04節(jié) 空間中的垂直關(guān)系 Word版含答案考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)xx·全國(guó)卷·T10·5分線面垂直的判定直觀想象邏輯推理xx·全國(guó)卷·T18·12分線面垂直的證明與體積的計(jì)算xx·全國(guó)卷·T18·12分面面垂直的證明與側(cè)面積的計(jì)算命題分析從近幾年高考來(lái)看，線面垂直是必考點(diǎn)，常與體積、距離、側(cè)面積等綜合考查，考查邏輯推理和轉(zhuǎn)化的思想方法，難度適中.文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 l性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面那么這兩條直線平行ab文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面AB二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面二面角的度量二面角的平面角以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角 A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選B根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M的無(wú)數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分條件4如圖，BAC90°，PC平面ABC，則在ABC和PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有_；與AP垂直的直線有_解析：PC平面ABC，PC垂直于直線AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB5PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有_對(duì)解析：由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD, 平面PBC平面PDC，共7對(duì)答案：7直線與平面垂直的判定與性質(zhì)明技法判定線面垂直的四種方法提能力【典例】 (xx·全國(guó)卷改編)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置OD.求證：DH平面ABCD.證明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.刷好題如圖，在三棱錐PABC中，已知平面PBC平面ABC.(1)若ABBC，且CPPB，求證：CPPA；(2)若過(guò)點(diǎn)A作直線l平面ABC，求證：l平面PBC.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼BC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AB平面ABC，ABBC，所以AB平面PBC.因?yàn)镃P平面PBC，所以CPAB.又CPPB，且PBABB，AB平面PAB，PB平面PAB，所以CP平面PAB.又PA平面PAB，所以CPPA.(2)在平面PBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作PDBC，垂足為D.因?yàn)槠矫鍼BC平面ABC，又平面PBC平面ABCBC，PD平面PBC，所以PD平面ABC.又l平面ABC，所以lPD.因?yàn)閘平面PBC，PD平面PBC，所以l平面PBC.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)明技法1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直提能力【典例】 菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，且平面ABCD平面BCE，F(xiàn)D平面ABCD，F(xiàn)D.(1)求證：EF平面ABCD；(2)求證：平面ACF平面BDF.證明：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EHBC于H，連接HD，EH.平面ABCD平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，EH平面ABCD，又FD平面ABCD，F(xiàn)D，F(xiàn)DEH，F(xiàn)DEH.四邊形EHDF為平行四邊形EFHD.EF平面ABCD，HD平面ABCD，EF平面ABCD. (2)FD平面ABCD，AC平面ABCD，F(xiàn)DAC，又四邊形ABCD是菱形，ACBD，又FDBDD，AC平面FBD，又AC平面ACF，從而平面ACF平面BDF.刷好題(xx·濟(jì)寧月考)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且平面PAC平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PAPC，AB2BC2，ABC60°.(1)求證：PB平面ACE；(2)求證：平面PBC平面PAC.證明：(1)連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，底面ABCD是平行四邊形，O為BD中點(diǎn)，又E為PD中點(diǎn)，OEPB，又OE平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE.(2)PAPC，O為AC中點(diǎn)，POAC，又平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，PO平面PAC，PO平面ABCD，又BC平面ABCD，POBC.在ABC中，AB2BC2，ABC60°，AC，AC2AB2BC2，BCAC.又PO平面PAC，AC平面PAC，POACO，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PBC平面PAC.空間位置關(guān)系的綜合問(wèn)題明技法空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化路線圖線線平行(垂直)、線面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空間中三種基本平行(垂直)關(guān)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：提能力【典例】 如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說(shuō)明理由(1)證明：因?yàn)镻C平面ABCD，DC平面ABCD.所以PCDC.又因?yàn)镈CAC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)證明：因?yàn)锳BDC，DCAC，所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD，所以PCAB.又因?yàn)镻CACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解：棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.理由如下：如圖，取PB中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.刷好題(xx·濰坊模擬)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖(2)中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值(1)證明：在題圖(1)中，因?yàn)锳BBCADa，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC.即在題圖(2)中，BEA1O，BEOC，從而B(niǎo)E平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解：由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱錐A1BCDE的高由題圖(1)知，A1OAOABa，平行四邊形BCDE的面積SBC·ABa2，從而四棱錐A1BCDE的體積為VS·A1O×a2×aa3.由a336，得a6.