（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1 簡單幾何體學(xué)案 北師大版必修2

（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1 簡單幾何體學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解旋轉(zhuǎn)體與多面體的概念.2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征.3.掌握棱柱、棱錐、棱臺的基本性質(zhì)知識點一旋轉(zhuǎn)體與多面體旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體多面體把若干個平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體知識點二常見的旋轉(zhuǎn)體及概念思考1以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐嗎？答案不是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐的一半，不是整個圓錐思考2能否由圓錐得到圓臺？答案用平行于圓錐底面的平面截去一個圓錐可以得到梳理名稱圖形及表示定義相關(guān)概念球記作：球O球面：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面球體：球面所圍成的幾何體叫作球體，簡稱球球心：半圓的圓心球的半徑：連接球心和球面上任意一點的線段球的直徑：連接球面上兩點并且過球心的線段圓柱記作：圓柱OO以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱高：在旋轉(zhuǎn)軸上這條邊的長度底面：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谛D(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊，無論轉(zhuǎn)到什么位置都叫作側(cè)面的母線圓錐記作：圓錐OO以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐圓臺記作：圓臺OO以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓臺特別提醒：(1)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)體軸的截面稱為該幾何體的軸截面(2)圓柱的母線互相平行，圓錐的母線相交于圓錐的頂點，圓臺的母線延長后相交于一點知識點三常見的多面體及相關(guān)概念思考觀察下列多面體，試指明其類別答案(1)五棱柱；(2)四棱錐；(3)三棱臺梳理(1)棱柱定義要點：()兩個面互相平行；()其余各面都是四邊形；()每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行相關(guān)概念：底面：兩個互相平行的面?zhèn)让妫撼酌嫱獾钠溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚€側(cè)面的公共邊頂點：底面多邊形與側(cè)面的公共頂點記法：如三棱柱ABCA1B1C1.分類及特殊棱柱：()按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、.()直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱()正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱(2)棱錐定義要點：()有一個面是多邊形；()其余各面是三角形；()這些三角形有一個公共頂點相關(guān)概念：底面：除去棱錐的側(cè)面余下的那個多邊形側(cè)面：除底面外的其余三角形面?zhèn)壤猓合噜弮蓚€側(cè)面的公共邊頂點：側(cè)面的公共頂點記法：如三棱錐SABC.分類及特殊棱錐：()按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐、，()正棱錐：底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐(3)棱臺定義要點：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分相關(guān)概念：上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)壤猓合噜彽膫?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與底面的公共頂點記法：如三棱臺ABCA1B1C1.分類及特殊棱臺：()按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱臺、四棱臺、五棱臺、，()正棱臺：由正棱錐截得的棱臺1棱柱的側(cè)面都是平行四邊形()2有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐(×)3直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐(×)4半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球(×)類型一旋轉(zhuǎn)體的概念例1下列說法正確的是_(填序號)以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面考點簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案解析以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；它們的底面為圓面；正確反思與感悟(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線(2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想跟蹤訓(xùn)練1下列說法：圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓；圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交；球的半徑是球心與球面上任意一點的連線段其中正確的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3考點簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案C解析錯誤，截面可能是一個三角形；錯誤，圓臺的任意兩條母線的延長線必相交于一點；正確故選C.類型二多面體及其簡單應(yīng)用例2(1)下列關(guān)于多面體的說法正確的個數(shù)為_所有的面都是平行四邊形的幾何體為棱柱；棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；底面是正三角形，且側(cè)棱相等的三棱錐是正三棱錐；棱臺的各條側(cè)棱延長后一定相交于一點；棱柱的每一個面都不會是三角形考點簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點多面體的結(jié)構(gòu)特征答案3解析中兩個四棱柱放在一起，如下圖所示，能保證每個面都是平行四邊形，但并不是棱柱故錯；中棱臺的側(cè)面一定是梯形，不可能為平行四邊形，正確；根據(jù)棱錐的概念知，正確；根據(jù)棱臺的概念知，正確；棱柱的底面可以是三角形，故錯正確的個數(shù)為3.(2)如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1.這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，說明理由考點簡單幾何體題點簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷解長方體是棱柱，是四棱柱因為它有兩個平行的平面ABCD與A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分有兩個平行的平面BB1M與CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1MCC1N；另一部分有兩個平行的平面ABMA1與DCND1，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是四棱柱，可用符號表示為四棱柱ABMA1DCND1.引申探究若用一個平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱錐嗎？解如圖，幾何體BA1B1C1就是三棱錐反思與感悟(1)棱柱的識別方法兩個面互相平行其余各面都是四邊形每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行(2)棱錐的識別方法有一個面是多邊形其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱錐僅有一個頂點，它是各側(cè)面的公共頂點對幾類特殊棱錐的認(rèn)識()三棱錐是面數(shù)最少的多面體，又稱四面體它的每一個面都可以作為底面()各棱都相等的三棱錐稱為正四面體()正棱錐有以下性質(zhì)：側(cè)面是全等的等腰三角形，頂點與底面正多邊形中心的連線與底面垂直(3)棱臺的識別方法上、下底面互相平行各側(cè)棱延長交于一點跟蹤訓(xùn)練2下列說法正確的是()A有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺B兩底面平行，并且各側(cè)棱也互相平行的幾何體是棱柱C棱錐的側(cè)面可以是四邊形D棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面考點簡單幾何體題點簡單幾何體結(jié)構(gòu)應(yīng)用答案B解析A中所有側(cè)棱不一定交于一點，故A不正確；B正確；C中棱錐的側(cè)面一定是三角形，故C不正確；D中棱柱的側(cè)面也可能平行，故D不正確1下列幾何體中棱柱有()A5個 B4個C3個 D2個考點簡單幾何體題點簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案D解析由棱柱的定義知，為棱柱2關(guān)于下列幾何體，說法正確的是()A圖是圓柱 B圖和圖是圓錐C圖和圖是圓臺 D圖是圓臺考點簡單幾何體題點簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案D解析由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征知，D正確3下面有關(guān)棱臺說法中，正確的是()A上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺B棱臺的所有側(cè)面都是梯形C棱臺的側(cè)棱長必相等D棱臺的上下底面可能不是相似圖形考點棱臺的結(jié)構(gòu)特征題點棱臺的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用答案B解析由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，B正確4等腰三角形ABC繞底邊上的中線AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是()A圓臺 B圓錐C圓柱 D球考點簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征題點旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案B解析中線ADBC，左右兩側(cè)對稱，旋轉(zhuǎn)體為圓錐5若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的母線長為_考點圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點與圓錐有關(guān)的運算答案2解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知，圓錐的母線長即為ABC的邊長，且SABCAB2，AB2，AB2.故圓錐的母線長為2.1圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示2棱柱、棱錐、棱臺定義的關(guān)注點(1)棱柱的定義有以下兩個要點，缺一不可：有兩個平面(底面)互相平行；其余各面(側(cè)面)每相鄰兩個面的公共邊(側(cè)棱)都互相平行(2)棱錐的定義有以下兩個要點，缺一不可：有一個面(底面)是多邊形；其余各面(側(cè)面)是有一個公共頂點的三角形(3)用一水平平面截棱錐可得到棱臺一、選擇題1有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為()A四棱柱 B四棱錐C三棱柱 D三棱錐考點簡單幾何體題點簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案D解析四個面都是三角形的幾何體只能是三棱錐2如圖所示，在三棱臺ABCABC中，截去三棱錐AABC，則剩余部分是()A三棱錐 B四棱錐 C三棱柱 D三棱臺考點棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點棱錐的概念答案B解析由題圖知，剩余的部分是四棱錐ABCCB.3過球面上任意兩點A，B作大圓，可能的個數(shù)是()A有且只有一個 B一個或無窮多個C無數(shù)個 D以上均不正確考點簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點簡單轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案B解析當(dāng)過A，B的直線經(jīng)過球心時，經(jīng)過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時過A，B作球的大圓有無數(shù)個；當(dāng)直線AB不經(jīng)過球心O時，經(jīng)過A，B，O的截面就是一個大圓，這時只能作出一個大圓4下列說法正確的是()A圓錐的母線長等于底面圓直徑B圓柱的母線與軸垂直C圓臺的母線與軸平行D球的直徑必過球心考點簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題點簡單轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征答案D解析圓錐的母線長與底面圓的直徑不一定相等，故A錯；圓柱的母線與軸平行，故B錯；圓臺的母線與軸不平行，故C錯；球的直徑必過球心，故選D.5若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為12，則上、下底面的面積之比是()A12 B14 C21 D41考點棱臺的結(jié)構(gòu)特征題點與棱臺有關(guān)的運算答案B解析由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺上、下底面是相似多邊形，面積比為對應(yīng)邊之比的平方，故選B.6五棱柱中，不同在同一個側(cè)面且不同在同一個底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱對角線的條數(shù)共有()A20 B15 C12 D10考點棱柱的結(jié)構(gòu)特征題點與棱柱有關(guān)的運算答案D解析如圖，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，從頂點A出發(fā)的對角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點出發(fā)的對角線均有兩條，共2×510(條)7如圖所示，正四棱錐SABCD的所有棱長都為a，過不相鄰的兩條棱SA，SC作截面SAC，則截面的面積為()A.a2 Ba2 C.a2 D.a2考點棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點與棱錐有關(guān)的運算答案C解析根據(jù)正棱錐的性質(zhì)知，底面ABCD是正方形，故ACa.在等腰三角形SAC中，SASCa，又ACa，ASC90°，即SSACa2.8如圖陰影部分所示的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體為()A一個球體B一個球體中間挖去一個圓柱C一個圓柱D一個球體中間挖去一個長方體考點題點答案B解析外面圓旋轉(zhuǎn)形成球體，中間矩形旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱故選B.二、填空題9下列說法正確的是_(填序號)底面是正多邊形的棱錐為正棱錐；各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；底面是正多邊形且各側(cè)面全等的棱錐為正棱錐考點棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點棱錐概念的應(yīng)用答案解析由正棱錐的定義可知，均不正確；而不能保證這些全等的等腰三角形的腰長都作為側(cè)棱長，故不正確；只有符合正棱錐的定義，故正確10以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成_個三棱錐考點棱臺的結(jié)構(gòu)特征題點棱臺概念的應(yīng)用答案3解析如圖，分割為A1ABC，BA1CC1，C1A1B1B，3個棱錐11在半徑為13的球面上有A，B，C三點，其中AC6，BC8，AB10，則球心到經(jīng)過這三個點的截面的距離為_考點球的結(jié)構(gòu)特征題點與球有關(guān)的運算答案12解析由線段的長度知ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r5，所以d12.三、解答題12已知一個圓錐的底面半徑為r，高為h，在此圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在圓錐的底面上，與這個面相對的面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，求此正方體的棱長考點圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點與圓錐有關(guān)的運算解作出圓錐的一個縱截面如圖所示，其中AB，AC為母線，BC為底面圓直徑，DG，EF是正方體的棱，DE，GF是正方體的上、下底面的對角線，設(shè)正方體的棱長為x，則DGEFx，DEGFx，依題意，得ABCADE，x.13試從正方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點中任取若干連接后構(gòu)成以下簡單幾何體，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜?1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱考點棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用解(1)如圖所示，三棱錐A1AB1D1(答案不唯一)(2)如圖所示，三棱錐B1ACD1(答案不唯一)(3)如圖所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)四、探究與拓展14給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體，其中說法正確的是_(填序號)考點簡單幾何體題點簡單幾何體結(jié)構(gòu)應(yīng)用答案(1)(2)解析(1)正確，圓柱的底面是圓面；(2)正確，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)不正確，圓臺的任意兩條母線延長一定相交于一點；(4)不正確，夾在圓柱的兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體15如圖所示，正三棱錐SABC的側(cè)棱長為1，ASB40°，點M和點N分別是棱SB和SC上的點，求AMN的周長的最小值考點圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點與圓錐有關(guān)的運算解沿側(cè)棱SA將正三棱錐SABC的側(cè)面展開，得到三棱錐SABC的側(cè)面展開圖，如圖所示連接AA，當(dāng)M，N分別為AA與SB，SC的交點時，AMN的周長最小，即AA的長度SASA，ASBBSCCSA40°，ASA120°.SAASAA30°.作SFAA于點F，SA1，AFAFSA，AA，即AMN的周長的最小值為.