（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.2 空間圖形的公理(二)學(xué)案 北師大版必修2

（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 4.2 空間圖形的公理(二)學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握公理4及等角定理.2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角知識點(diǎn)一平行公理(公理4)思考在平面內(nèi)，直線a，b，c，若ab，bc，則ac.該結(jié)論在空間中是否成立？答案成立梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行(2)符號表示：ac.知識點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系思考在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？觀察下面兩個(gè)圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎？答案平行與相交教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線；六角螺母中直線AB與CD.梳理異面直線的概念(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托(3)判斷兩直線為異面直線的方法定義法；兩直線既不平行也不相交(4)空間兩條直線的三種位置關(guān)系從是否有公共點(diǎn)的角度來分：從是否共面的角度來分：知識點(diǎn)三等角定理思考觀察圖，在平行六面體ABCDABCD中，ADC與ADC，ADC與DAB的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？答案從圖中可以看出，ADCADC，ADCDAB180°. 梳理等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)知識點(diǎn)四異面直線所成的角思考在平行六面體A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？答案相等梳理異面直線所成角的定義定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb結(jié)論我們把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為，則0°<90°.特殊情況當(dāng)90°時(shí)，a與b互相垂直，記作：ab.1分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線(×)2兩直線若不是異面直線，則必相交或平行()3若ABAB，ACAC，則BACBAC.(×)類型一公理4及等角定理的應(yīng)用例1在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AB，BC的中點(diǎn)，求證：EEFF.考點(diǎn)平行公理題點(diǎn)判斷、證明線線平行證明因?yàn)镋，E分別是AB，AB的中點(diǎn)，所以BEBE，且BEBE.所以四邊形EBBE是平行四邊形，所以EEBB，同理可證FFBB.所以EEFF.反思與感悟(1)空間兩條直線平行的證明：定義法：即證明兩條直線在同一平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行(2)“等角”定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.考點(diǎn)空間等角定理題點(diǎn)判斷、證明角的關(guān)系證明(1)如圖 ，連接AC，在ACD中，M，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，MN是ACD的中位線，MNAC，MNAC.由正方體的性質(zhì)得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四邊形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM與D1A1C1相等或互補(bǔ)而DNM與D1A1C1均為銳角，DNMD1A1C1.類型二異面直線命題角度1異面直線的判定例2(1)若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c的位置關(guān)系是()A異面 B相交或平行C平行或異面 D相交、平行或異面考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案D解析異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a，b異面，直線c的位置可如圖所示(2)如圖，已知正方體ABCDABCD.哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定解由異面直線的定義可知，棱AD，DC，CC，DD，DC，BC所在直線分別與直線BA是異面直線反思與感悟判斷兩直線是否為異面直線，只需判斷它們是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是異面直線跟蹤訓(xùn)練2(1)在四棱錐PABCD中，各棱所在的直線互相異面的有_對考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案8解析與AB異面的有側(cè)棱PD和PC，同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側(cè)棱，故共有異面直線4×28(對)(2)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定解還原的正方體如圖所示異面直線有三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.命題角度2求異面直線所成的角例3在空間四邊形ABCD中，ABCD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角解如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EGAB且EGAB，GFCD且GFCD，由ABCD知EGFG，從而可知GEF為EF與AB所成角，EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成角AB與CD所成角為30°，EGF30°或150°，由EGFG知EFG為等腰三角形，當(dāng)EGF30°時(shí)，GEF75°，當(dāng)EGF150°時(shí)，GEF15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.反思與感悟(1)異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時(shí)，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點(diǎn)O常選取兩異面直線中其中一個(gè)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個(gè)特殊點(diǎn)(2)求異面直線所成的角的一般步驟：作角：平移成相交直線證明：用定義證明前一步的角為所求計(jì)算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD與AADD的中心，則EF與CD所成角的大小是_考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角答案45°解析連接BD，則E為BD的中點(diǎn)，連接AB，則EFAB，又CDAB，所以BAB為異面直線EF與CD所成的角，即BAB45°.1一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A平行或異面 B相交或異面C異面 D相交考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案B解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1BB1，AA1DD1，顯然BB1BCB，DD1與BC是異面直線，故選B.2若OAOA，OBOB，且AOB130°，則AOB為()A130° B50°C130°或50° D不能確定考點(diǎn)空間等角定理題點(diǎn)利用等角定理求角答案C解析根據(jù)定理，AOB與AOB相等或互補(bǔ)，即AOB130°或AOB50°.3下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()垂直于同一直線的兩條直線互相平行；平行于同一直線的兩直線平行；若直線a，b，c滿足ab，bc，則ac；若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線A1 B2 C3 D4考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析均為錯(cuò)誤結(jié)論可舉反例，如a，b，c三線兩兩垂直如圖甲所示，c，d與異面直線l1，l2交于四個(gè)點(diǎn)，此時(shí)c，d異面；當(dāng)點(diǎn)A在直線l1上運(yùn)動(其余三點(diǎn)不動)時(shí)，會出現(xiàn)點(diǎn)A與B重合的情形，如圖乙所示，此時(shí)c，d共面相交4如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填序號)考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案解析中，G，M是中點(diǎn)，AGBM，AGBM，GMAB，GMAB，HNAB，HNAB，四邊形GHNM是平行四邊形GHMN，即G，H，M，N四點(diǎn)共面；中，H，G，N三點(diǎn)共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點(diǎn)M顯然不在平面HGN內(nèi)，H，G，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面；中，G，M是中點(diǎn)，GMCD，GMCD，GMHN，GMHN，即GMNH是梯形，則GH，MN必相交，H，G，M，N四點(diǎn)共面；中，同，G，H，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角解(1)如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCDA1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，ACA1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)如圖所示，連接BD.由(1)知ACA1C1，AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角EF是ABD的中位線，EFBD.又ACBD，ACEF，EFA1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.1判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義很多情況下，定義就是一種常用的判定方法2在研究異面直線所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°，解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成角的大小作異面直線所成的角可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；中位線平移法；補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)一、選擇題1如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是其所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的是()考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案C解析選項(xiàng)A，B中RS與PQ平行；選項(xiàng)D中RS與PQ相交，故選C.2兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形()A全等 B不相似C僅有一個(gè)角相等 D相似考點(diǎn)空間等角定理題點(diǎn)判斷、證明角的關(guān)系答案D解析由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對應(yīng)相等，故選D.3已知異面直線a，b分別在平面，內(nèi)，且c，那么直線c一定()A與a，b都相交B只能與a，b中的一條相交C至少與a，b中的一條相交D與a，b都平行考點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系的判定答案C解析若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，知ab，與a，b異面矛盾，故選C.4空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是()A空間四邊形 B矩形C菱形 D正方形考點(diǎn)平行公理題點(diǎn)判斷、證明線線平行答案B解析如圖，易證四邊形EFGH為平行四邊形又E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，EFAC.又FGBD，EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角而AC與BD所成的角為90°，EFG90°，故四邊形EFGH為矩形5.如圖所示，已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不正確的是()Al與AD平行Bl與AB異面Cl與CD所成角為30°Dl與BD垂直考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案A6.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()ACC1與B1E是異面直線BC1C與AE共面CAE與B1C1是異面直線DAE與B1C1所成的角為60°考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案C解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，ABC為正三角形，所以AEBC，D錯(cuò)誤綜上所述，故選C.7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角為()A30° B45°C60° D90°考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角答案C解析如圖，連接BC1，A1C1.BC1AD1，異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160°.故異面直線A1B與AD1所成的角為60°.8若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c()A一定平行B一定相交C一定是異面直線D平行、相交或異面都有可能考點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案D解析當(dāng)a，b，c共面時(shí)，ac；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，a與c可能異面也可能相交二、填空題9.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(填序號)考點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案解析直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故錯(cuò)誤；正確10在空間四邊形ABCD中，如圖所示，則EH與FG的位置關(guān)系是_考點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案平行解析如圖，連接BD，在ABD中，則EHBD，同理可得FGBD.EHFG.11如果兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐所在的12條直線中，異面直線共有_對考點(diǎn)異面直線的判定題點(diǎn)異面直線的判定答案24解析六條側(cè)棱不是異面直線，一條側(cè)棱與底面六邊形的兩邊相交，與另四條邊異面，這樣異面直線一共有4×624(對)12如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)AC與DD1所成的角為_；(2)AC與D1C1所成的角為_考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角答案(1)90°(2)45°解析(1)DD1和AC是異面直線，因?yàn)锳A1DD1，所以A1AC為DD1和AC所成的角因?yàn)锳A1AC，所以A1AC90°，所以DD1和AC所成的角是90°.(2)因?yàn)镈CD1C1，所以ACD是AC和D1C1所成的角又ACD45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.三、解答題13.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，BCAD，BEAF，BEAF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)判斷C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？考點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與直線的位置關(guān)系判定的應(yīng)用(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，GHBC，GHBC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)解C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由如下：由BEAF，BEAF，G為FA的中點(diǎn)知，BEGF，BEGF，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BGCH，BGCH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面四、探究與拓展14.如圖，在三棱錐DABC中，ACBD，且ACBD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于()A30° B45°C60° D90°考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG.E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)GAC，EGBD，且FGAC，EGBD.又ACBD，F(xiàn)GEG，EFG為EF與AC所成的角或其補(bǔ)角ACBD，F(xiàn)GEG，F(xiàn)GE90°，EFG為等腰直角三角形，EFG45°，即EF與AC所成的角為45°.15.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，BAC90°，且ABACAA1，求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值考點(diǎn)異面直線所成的角題點(diǎn)求異面直線所成的角解如圖所示，把三棱柱補(bǔ)為四棱柱ABDCA1B1D1C1，連接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性質(zhì)知BD1AC1，則A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角設(shè)ABa，AA1與AC，AB所成的角均為60°，且ABACAA1，A1Ba，BD1AC12AA1·cos 30°a.又BAC90°，在矩形ABDC中，ADa，A1D1a，A1DA1B2BD，BA1D190°，在RtBA1D1中，cosA1BD1.