2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.2 分段函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊

第2課時分段函數(shù)1會用解析法及圖象法表示分段函數(shù)2給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì)3對生活中的一些實(shí)例，會用分段函數(shù)表示1分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)2分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集溫馨提示：(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的如y其“段”是不等長的(3)分段函數(shù)的圖象要分段來畫1某市空調(diào)公共汽車的標(biāo)價按下列規(guī)則判定：5千米以內(nèi)，票價2元；5千米以上，每增加5千米，票價增加1元(不足5千米的按5千米計(jì)算)已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)有11個汽車站(1)從起點(diǎn)站出發(fā)，公共汽車的行程x(千米)與票價y(元)有函數(shù)關(guān)系嗎？(2)函數(shù)的表達(dá)式是什么？(3)x與y之間有何特點(diǎn)？答案(1)有函數(shù)關(guān)系(2)y(3)x在不同區(qū)間內(nèi)取值時，與y所對應(yīng)的關(guān)系不同2判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成()(2)函數(shù)f(x)是分段函數(shù)()(3)分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的()(4)y|x1|與y是同一函數(shù)()答案(1)×(2)(3)(4)題型一分段函數(shù)求值【典例1】已知函數(shù)f(x)(1)求f(f(f(2)的值；(2)若f(a)，求a.思路導(dǎo)引根據(jù)自變量取值范圍代入對應(yīng)解析式求值解(1)2<1，f(2)2×(2)31，ff(2)f(1)2，f(f(f(2)f(2)1.(2)當(dāng)a>1時，f(a)1，a2>1；當(dāng)1a1時，f(a)a21，a±1,1；當(dāng)a<1時，f(a)2a3，a>1(舍去)綜上，a2或a±.(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解對于含有多層“f”的問題，要按照“由內(nèi)到外”的順序，逐層處理(2)已知函數(shù)值，求自變量的值時，要先將“f”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解針對訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)則ff(3)()A. B3 C. D.解析f(3)<1，ff(3)21.答案D2已知函數(shù)f(x)若f(x)3，則x_.解析若x1，由x13得x4.若x>1，由1x23得x24，解得x2或x2(舍去)綜上可得，所求x的值為4或2.答案4或2題型二分段函數(shù)的圖象【典例2】(1)作出下列分段函數(shù)的圖象：yy|x1|.(2)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動路程為x，ABP的面積為y，求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；畫出yf(x)的圖象思路導(dǎo)引(1)利用描點(diǎn)法分段作圖；(2)先依據(jù)x的變化范圍求出關(guān)系式解(1)函數(shù)圖象如圖1所示y|x1|，其圖象如圖2所示(2)y分段函數(shù)圖象的畫法(1)作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可(2)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象 針對訓(xùn)練3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，求f(x)的解析式并寫出f(x)的值域解由于f(x)的圖象由兩條線段組成，因此可設(shè)f(x)將點(diǎn)(1,0)，(0,1)代入f(x)axb，點(diǎn)(1，1)代入f(x)cx可得f(x)由圖象可得f(x)的值域?yàn)?1,1).題型三分段函數(shù)的綜合問題【典例3】已知函數(shù)f(x)|x3|x1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直線ya與f(x)的圖象無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路導(dǎo)引去掉絕對值符號，化簡f(x)，再分段求解解若x1，則x3<0，x10，f(x)(x3)(x1)4；若1<x3，則x30，x1>0，f(x)(x3)(x1)2x2；若x>3，則x3>0，x1>0，f(x)(x3)(x1)4.f(x)(1)1<x3時，42x2<4.f(x)的值域?yàn)?,4)444,4(2)f(x)>0，即或或解得x1，解得1<x<1，解得x.所以f(x)>0的解集為(，1(1,1)(，1)(3)f(x)的圖象如圖：由圖可知，當(dāng)a(，4)(4，)時，直線ya與f(x)的圖象無交點(diǎn)變式若aR，試探究方程f(x)a解的個數(shù)解由例3(3)知yf(x)的圖象，作出直線ya，可以看出：當(dāng)a±4時，ya與yf(x)有無數(shù)個交點(diǎn)；當(dāng)4<a<4時，ya與yf(x)有且僅有一個交點(diǎn)；當(dāng)a<4或a>4時，ya與yf(x)沒有交點(diǎn)綜上可知：當(dāng)a±4時，方程f(x)a有無數(shù)個解當(dāng)4<a<4時，方程f(x)a有一個解當(dāng)a<4或a>4時，方程f(x)a無解研究分段函數(shù)要牢牢抓住的2個要點(diǎn)(1)分段研究在每一段上研究函數(shù)(2)合并表達(dá)因?yàn)榉侄魏瘮?shù)無論分成多少段，仍是一個函數(shù)，對外是一個整體針對訓(xùn)練4已知f(x)(1)畫出f(x)的圖象；(2)若f(x)，求x的取值范圍；(3)求f(x)的值域解(1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示(2)由于f，結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使f(x)的x的取值范圍是.(3)由圖象知，當(dāng)1x1時，f(x)x2的值域?yàn)?,1，當(dāng)x>1或x<1時，f(x)1.所以f(x)的值域?yàn)?,1.題型四分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例4】某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為1520的新品種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚里溫度y()隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)大棚內(nèi)的溫度為18時是否適宜該品種蔬菜的生長？(3)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有多少小時？思路導(dǎo)引利用待定系數(shù)法求出x在每一段上的解析式，再分段研究解(1)設(shè)線段AD的解析式為ymxn(m0)，將點(diǎn)A(2,20)，D(0,10)代入，得，解得，線段AD的解析式為y5x10(0x2)雙曲線y經(jīng)過B(12,20)，20，解得k240，BC段的解析式為y(12x24)綜上所述，y與x的函數(shù)解析式為：y.(2)當(dāng)x18時，y，由于<15，大棚內(nèi)的溫度為18時不適宜該品種蔬菜的生長(3)令y15，當(dāng)0x2時，解5x1015，得x1，當(dāng)12x24時，解15，得x16.由于16115(小時)，恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有15小時對于應(yīng)用題，要在分析題意基礎(chǔ)上，弄清變量之間的關(guān)系，然后選擇適當(dāng)形式加以表示；若根據(jù)圖象求解析式，則要分段用待定系數(shù)法求出，最后用分段函數(shù)表示，分段函數(shù)要特別地把握準(zhǔn)定義域的各個“分點(diǎn)”針對訓(xùn)練5A，B兩地相距150公里，某汽車以每小時50公里的速度從A地到B地，在B地停留2小時之后，又以每小時60公里的速度返回A地寫出該車離A地的距離s(公里)關(guān)于時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖象解(1)汽車從A地到B地，速度為50公里/小時，則有s50t，到達(dá)B地所需時間為3(小時)(2)汽車在B地停留2小時，則有s150.(3)汽車從B地返回A地，速度為60公里/小時，則有s15060(t5)45060t，從B地到A地用時2.5(小時)綜上可得，該汽車離A地的距離s關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為s函數(shù)圖象如圖所示課堂歸納小結(jié)1分段函數(shù)(1)分段是針對定義域而言的，將定義域分成幾段，各段的對應(yīng)關(guān)系不一樣(2)一般而言，分段函數(shù)的定義域部分是各不相交的，這是由函數(shù)定義中的唯一性決定的(3)研究分段函數(shù)時，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是作分段函數(shù)的圖象時，可先將各段的圖象分別畫出來，從而得到整個函數(shù)的圖象2與分段函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題要理解題意，合理引進(jìn)變量，確定自變量分段的“段點(diǎn)”，注意在自變量分段的端點(diǎn)處要不重不漏.1已知f(x)則ff(7)的值為()A100 B10 C10 D100解析f(7)10，ff(7)f(10)10×10100.答案A2下列圖形是函數(shù)yx|x|的圖象的是()解析f(x)分別畫出yx2(取x0部分)及yx2(取x<0部分)即可答案D3函數(shù)f(x)的值域是()ARB0,23C0，) D0,3解析當(dāng)0x1時，0f(x)2，當(dāng)1<x<2時，f(x)2，當(dāng)x2時，f(x)3.故0f(x)2或f(x)3，故選B.答案B4下圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()Ay|x1|(0x2)By|x1|(0x2)Cy|x1|(0x2)Dy1|x1|(0x2)解析可將原點(diǎn)代入，排除選項(xiàng)A，C；再將點(diǎn)代入，排除D項(xiàng)答案B5設(shè)函數(shù)f(x)若ff(a)2，則a_.解析當(dāng)a0時，f(a)a22a2>0，ff(a)<0，顯然不成立；當(dāng)a>0時，f(a)a2，ff(a)a42a222，則a±或a0，故a.答案課后作業(yè)(十八)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1已知f(x)則f(2)()A2 B4 C2 D2或4解析f(2)(2)2，選A.答案A2函數(shù)f(x)|x1|的圖象是()解析f(x)|x1|選B.答案B3已知函數(shù)y使函數(shù)值為5的x的值是()A2 B2或C2或2 D2或2或解析當(dāng)x0時，令x215，解得x2；當(dāng)x>0時，令2x5，得x，不合題意，舍去答案A4.已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖所示，不含端點(diǎn))，則f等于()A B.C D.解析由圖可知，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)f1，ff1.答案B5某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米m元收費(fèi)；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費(fèi)某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個月實(shí)際用水量為()A13立方米 B14立方米C18立方米 D26立方米解析該單位職工每月應(yīng)繳水費(fèi)y與實(shí)際用水量x滿足的關(guān)系式為y由y16m，可知x>10，令2mx10m16m，解得x13.答案A二、填空題6已知函數(shù)f(x)，則不等式xf(x1)1的解集為_解析原不等式轉(zhuǎn)化為或解得1x1.答案1,17函數(shù)f(x)的值域是_解析當(dāng)0x1時，0f(x)1；當(dāng)1<x2時，0f(x)<1.所以0f(0)1，即f(x)的值域?yàn)?,1答案0,18已知f(x)則f(5)的值等于_解析f(5)f(52)f(3)f(32)f(1)f(12)f(1)2×12.答案2三、解答題9已知函數(shù)f(x)(1)求f的值；(2)若f(x)，求x的值解(1)因?yàn)閒2，所以ff.(2)f(x)，若|x|1，則|x1|2，得x或x.因?yàn)閨x|1，所以x的值不存在；若|x|>1，則，得x±，符合|x|>1.所以若f(x)，x的值為±.10已知函數(shù)f(x)1(2<x2)(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x)；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域解(1)當(dāng)0x2時，f(x)11，當(dāng)2<x<0時，f(x)11x.所以f(x)(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域?yàn)?,3)綜合運(yùn)用11設(shè)xR，定義符號函數(shù)sgnx則()A|x|x|sgnx| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgnx D|x|xsgnx解析由已知得，xsgnx而|x|所以|x|xsgnx，故選D.答案D12.如圖，拋物線y1ax2與直線y2bxc的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,4)，B(1,1)記f(x)為maxy1，y2，則f(x)的解析式為()解析由y1ax2過點(diǎn)B(1,1)得a1，yx2.由y2bxc過點(diǎn)A(2,4)，B(1,1)，有解得y2x2，結(jié)合圖象可得f(x)，選A.答案A13已知f(x)則ff等于()A2 B4 C2 D4解析f(x)fffff×2，f2×，ff4.答案B14設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)a0時，f(a)a1>1，解得a>4，符合a0；當(dāng)a<0時，f(a)>1，無解答案(4，)15若定義運(yùn)算ab則函數(shù)f(x)x(2x)的值域?yàn)開解析由題意得f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(，1答案(，116成都市出租車的現(xiàn)行計(jì)價標(biāo)準(zhǔn)是：路程在2 km以內(nèi)(含2 km)按起步價8元收取，超過2 km后的路程按1.9元/km收取，但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價為1.9×(150%)2.85(元/km)(1)將某乘客搭乘一次出租車的費(fèi)用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x60，單位：km)的分段函數(shù)；(2)某乘客的行程為16 km，他準(zhǔn)備先乘一輛出租車行駛8 km后，再換乘另一輛出租車完成余下行程，請問：他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全部行程更省錢？(現(xiàn)實(shí)中要計(jì)等待時間且最終付費(fèi)取整數(shù)，本題在計(jì)算時都不予考慮)解(1)由題意得，車費(fèi)f(x)關(guān)于路程x的函數(shù)為：f(x)(2)只乘一輛車的車費(fèi)為：f(16)2.85×165.340.3(元)；換乘2輛車的車費(fèi)為：2f(8)2×(4.21.9×8)38.8(元)40.3>38.8，該乘客換乘比只乘一輛車更省錢16