2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.1 函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性1理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念2會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性3會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)的單調(diào)性溫馨提示：定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常規(guī)定x1<x2；(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間溫馨提示：(1)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，它是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)(2)函數(shù)f(x)在定義域的某個(gè)區(qū)間D上單調(diào)，不一定在定義域上單調(diào)如f(x)x2等(3)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性，如f(x)，它的定義域是N，但不具有單調(diào)性1觀察下列函數(shù)圖象：(1)從圖象上看，自變量x增大時(shí)，函數(shù)f(x)的值如何變化？(2)甲、乙圖中，若x1<x2，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是什么？(3)丙圖中，若x1<x2，f(x1)<f(x2)，則自變量x屬于哪個(gè)區(qū)間？如何用符號(hào)表示這一現(xiàn)象答案(1)甲：自變量x增大時(shí)，函數(shù)f(x)也隨之變大乙：自變量x增大時(shí)，函數(shù)f(x)隨之減小丙：在y軸左側(cè)函數(shù)f(x)的值隨x的增大而減??；在y軸右側(cè)，函數(shù)f(x)的值隨x的增大而增大(2)甲：x1<x2，f(x1)<f(x2)乙：x1<x2，f(x1)>f(x2)(3)0，)x1，x20，)，若x1<x2，則f(x1)<f(x2)2判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)yx2在R上是增函數(shù)()(2)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性()(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“x1，x2”改為“x1，x2”()(4)若函數(shù)f(x)在2，)上為增函數(shù)，則f(x)在3,4上也為增函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)×(4)題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【典例1】證明函數(shù)f(x)x在(，2)上是增函數(shù)思路導(dǎo)引設(shè)出x1<x2<2，判定f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系證明x1，x2(，2)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1<x2<2，x1x2<0，x1x2>4，x1x24>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)函數(shù)f(x)x在(，2)上是增函數(shù)證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟針對(duì)訓(xùn)練1求證：函數(shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，在(，0)上是增函數(shù)證明x1，x2(，0)，且x1<x2，有f(x1)f(x2).x1<x2<0，x2x1>0，x1x2<0，xx>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)函數(shù)f(x)在(，0)上是增函數(shù)x1，x2(0，)，且x1<x2，有f(x1)f(x2).0<x1<x2，x2x1>0，x2x1>0，xx>0.f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)函數(shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù).題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)；(2)f(x)|x23x2|.思路導(dǎo)引(1)先求出函數(shù)的定義域，再利用定義求解；(2)作出函數(shù)yx23x2的圖象，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，結(jié)合圖象寫(xiě)出f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，x1，x2(，1)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).因?yàn)閤1<x2<1，所以x2x1>0，x11<0，x21<0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函數(shù)f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞減綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1)，(1，)(2)f(x)|x23x2|作出函數(shù)的圖象，如圖所示根據(jù)圖象，可知，單調(diào)遞增區(qū)間是和2，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(，1和.(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法定義法：即先求出定義域，再利用定義法進(jìn)行判斷求解圖象法：即先畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的注意點(diǎn)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“”連接兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，而要用“和”或“，”連接針對(duì)訓(xùn)練2函數(shù)f(x)2的單調(diào)遞減區(qū)間是_解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)當(dāng)x1<x2<0時(shí)，f(x1)f(x2)>0，f(x)在(，0)上為減函數(shù)；當(dāng)0<x1<x2時(shí)，f(x1)f(x2)>0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，(0，)答案(，0)，(0，)3作出函數(shù)f(x)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解f(x)的圖象如圖所示由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1和(1,2；單調(diào)遞增區(qū)間為(2，).題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)x22(1a)x2在4，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(2)已知yf(x)在定義域(，)上是減函數(shù)，且f(1a)<f(2a1)，求a的取值范圍思路導(dǎo)引二次函數(shù)的單調(diào)性由開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸確定，與函數(shù)值有關(guān)的不等式問(wèn)題依據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系解(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的增區(qū)間是1a，)又已知f(x)在4，)上是增函數(shù)，1a4，即a3.所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，)(2)f(x)在R上是減函數(shù)，且f(1a)<f(2a1)，1a>2a1，得a<，a的取值范圍是.變式(1)若本例(1)條件改為“函數(shù)f(x)x22(1a)x2的單調(diào)遞增區(qū)間為4，)”，其他條件不變，如何求解？(2)若本例(2)中“定義域(，)”改為“定義域(1,1)”，其他條件不變，如何求解？解(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的遞增區(qū)間為1a，)1a4，得a3.(2)由題意可知解得0<a<1.又f(x)在(1,1)上是減函數(shù)，且f(1a)<f(2a1)，1a>2a1，即a<.由可知，0<a<，即所求a的取值范圍是.函數(shù)單調(diào)性的3個(gè)應(yīng)用要點(diǎn)(1)二次函數(shù)的單調(diào)性由于只與對(duì)稱(chēng)軸及開(kāi)口方向有關(guān)，因此處理起來(lái)較容易，只需結(jié)合圖象即可獲解(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)與已知單調(diào)區(qū)間比較，求參數(shù)的取值范圍(3)需注意若一函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的針對(duì)訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是()Af(a)>f(2a) Bf(a2)<f(a)Cf(a2a)<f(a) Df(a21)<f(a2)解析f(x)在(，)為減函數(shù)，且a21>a2，f(a21)<f(a2)選D.答案D5函數(shù)f(x)x22mx3在區(qū)間1,2上單調(diào)，則m的取值范圍是_解析二次函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是否單調(diào)取決于對(duì)稱(chēng)軸的位置，函數(shù)f(x)x22mx3的對(duì)稱(chēng)軸為xm，函數(shù)在區(qū)間1,2上單調(diào)，則m1或m2.答案m|m1或m2課堂歸納小結(jié)1.若f(x)的定義域?yàn)镈，AD，BD，f(x)在A和B上都單調(diào)遞減，未必有f(x)在AB上單調(diào)遞減，如函數(shù)y.2.對(duì)增函數(shù)的判斷，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一個(gè)不等式來(lái)替代：(x1x2)f(x1)f(x2)>0或>0.對(duì)減函數(shù)的判斷，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代：(x1x2)f(x1)f(x2)<0或<0.3.熟悉一些常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等.4.若f(x)，g(x)都是增函數(shù)，h(x)是減函數(shù)，則：在定義域的交集(非空)上，f(x)g(x)單調(diào)遞增，f(x)h(x)單調(diào)遞增，f(x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減(f(x)0).5.對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x)，證明單調(diào)性時(shí)，也可以作商與1比較.1如圖所示，函數(shù)yf(x)在下列哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)()A4,4B4，31,4C3,1D3,4解析觀察題中圖象知，函數(shù)在3,1上是增函數(shù)答案C2下列函數(shù)中，在(，0內(nèi)為增函數(shù)的是()Ayx22 ByCy12xDy(x2)2解析選項(xiàng)A，B在(，0)上為減函數(shù)，選項(xiàng)D在(2，0上為減函數(shù)，只有選項(xiàng)C滿(mǎn)足在(，0內(nèi)為增函數(shù)故選C.答案C3若函數(shù)f(x)(2a1)xb是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.解析由一次函數(shù)的性質(zhì)得2a1<0，即a<.故選D.答案D4已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間1,1上的增函數(shù)，則滿(mǎn)足f(x)<f的實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)解析因?yàn)閒(x)在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，且f(x)<f，所以解得1x<.答案5已知函數(shù)f(x)，判斷f(x)在(0，)上的單調(diào)性并用定義證明解f(x)在(0，)上單調(diào)遞增證明如下：任取x1>x2>0，f(x1)f(x2)，由x1>x2>0知x11>0，x21>0，x1x2>0，故f(x1)f(x2)>0，即f(x)在(0，)上單調(diào)遞增課后作業(yè)(十九)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，在區(qū)間(b，c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)(b，c)上()A必是增函數(shù)B必是減函數(shù)C是增函數(shù)或減函數(shù)D無(wú)法確定單調(diào)性解析函數(shù)在區(qū)間(a，b)(b，c)上無(wú)法確定單調(diào)性如y在(0，)上是增函數(shù)，在(，0)上也是增函數(shù)，但在(，0)(0，)上并不具有單調(diào)性答案D2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()Ay|x| By3xCyDyx24解析因?yàn)?<0，所以一次函數(shù)yx3在R上遞減，反比例函數(shù)y在(0，)上遞減，二次函數(shù)yx24在(0，)上遞減故選A.答案A3對(duì)于函數(shù)yf(x)，在給定區(qū)間上有兩個(gè)數(shù)x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，則yf(x)()A一定是增函數(shù)B一定是減函數(shù)C可能是常數(shù)函數(shù)D單調(diào)性不能確定解析由單調(diào)性定義可知，不能用特殊值代替一般值答案D4函數(shù)yx2x1(xR)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.B1，)C.D(，)解析yx2x12，其對(duì)稱(chēng)軸為x，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)單調(diào)遞減答案C5若f(x)是(，)上的增函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是()Af(x)>f(0) Bf(x2)>f(0)Cf(3a1)<f(3a) Df(a21)f(2a)解析a212a(a1)20，a212a.當(dāng)a1時(shí)，f(a21)f(2a)；當(dāng)a1時(shí)，f(a21)>f(2a)故選D.答案D二、填空題6若函數(shù)f(x)2x2mx3，當(dāng)x2，)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x(，2)時(shí)是減函數(shù)，則f(1)_.解析由條件知x2是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，所以2，m8，則f(1)13.答案137已知函數(shù)f(x)|xa|在(，1)是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是_解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a，所以a1，解得a1.答案(，18已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x2)<f(1x)，則x的取值范圍為_(kāi)解析f(x)是定義在R上的增函數(shù)，又f(x2)<f(1x)，x2<1x，x<，即x的取值范圍是.答案三、解答題9畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出它們的值域和單調(diào)區(qū)間(1)y|x1|；(2)y(x3)|x1|.解(1)y|x1|，y其圖象如下圖所示：由圖象可得函數(shù)的值域?yàn)?，)(，1為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；1，)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)f(x)即f(x)圖象如圖所示結(jié)合圖象可知，f(x)在(，1)上是單調(diào)增函數(shù)，在1,1上是單調(diào)減函數(shù)，在1，)上是單調(diào)增函數(shù)函數(shù)的值域是R.10已知函數(shù)yf(x)在0，)上是減函數(shù)，試比較f與f(a2a1)的大小解a2a12，與a2a1都在區(qū)間0，)內(nèi)又yf(x)在區(qū)間0，)上是減函數(shù)，ff(a2a1).綜合運(yùn)用11如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa>BaCa<0 Da0解析當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的；當(dāng)a>0時(shí)，由函數(shù)f(x)ax22x3的圖象知，不可能在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，只有4，即a滿(mǎn)足函數(shù)f(x)在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是a0.答案D12已知函數(shù)f(x)x2bxc的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，則()Af(1)<f(1)<f(2) Bf(1)<f(2)<f(1)Cf(2)<f(1)<f(1) Df(1)<f(1)<f(2)解析因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，所以f(1)f(3)又函數(shù)f(x)的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，則f(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(1)故選B.答案B13已知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2解析依題意得實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足解得0<a2.答案D14設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)x1，x2R都有(x1x2)f(x1)f(x2)>0，則f(3)與f()的大小關(guān)系是_解析由(x1x2)f(x1)f(x2)>0，可知函數(shù)f(x)為增函數(shù)又3>，所以f(3)>f()答案f(3)>f()15設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，則不等式f(x)f(2)>1的解集為_(kāi)解析由條件可得f(x)f(2)f(2x)，又f(3)1，不等式f(x)f(2)>1，即為f(2x)>f(3)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，2x>3，解得x<.故不等式f(x)f(2)>1的解集為.答案16已知函數(shù)f(x)x在(1，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)1<x1<x2，x1x2>1.函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，f(x1)f(x2)x1(x1x2)<0.x1x2<0，1>0，即a>x1x2.1<x1<x2，x1x2>1，x1x2<1，a1.a的取值范圍是1，)14