2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式學(xué)案 文（含解析）新人教A版

第一節(jié)　不等關(guān)系與不等式 2019考綱考題考情 1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系 (1)a＞b?a－b＞0； (2)a＝b?a－b＝0； (3)a＜b?a－b＜0。 2．不等式的性質(zhì) (1)對(duì)稱(chēng)性：a＞b?b＜a。(雙向性) (2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c。(單向性) (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c。(雙向性) (4)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d。(單向性) (5)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc。 (6)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd。(單向性) (7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)。(單向性) (8)開(kāi)方法則：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)。(單向性) (9)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab＞0，則a＜b?＞。(雙向性) 注意以下結(jié)論： 1．a(chǎn)>b，ab>0?<。 2．a(chǎn)<0<b?<。 3．a(chǎn)>b>0,0<c<d?>。 4．0<a<x<b或a<x<b<0?<<。 5．若a>b>0，m>0，則<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)。 一、走進(jìn)教材 1．(必修5P74練習(xí)T3改編)若a，b都是實(shí)數(shù)，則“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析?。?gt;0?>?a>b≥0?a2>b2，但由a2－b2>0－>0。故選A。 答案　A 2．(必修5P75A組T2改編)________(填“>”“<”或“＝”)。 解析　分母有理化有＝＋2，＝＋，顯然＋2<＋，所以<。 答案　< 二、走近高考 3．(2018·北京高考)能說(shuō)明“若a>b，則<”為假命題的一組a，b的值依次為_(kāi)_______。 解析　由題意知，當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿足a>b，但是>，故答案可以為1，－1。(答案不唯一，滿足a>0，b<0即可) 答案　1，－1(答案不唯一) 4．(2017·北京高考)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： (ⅰ)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； (ⅱ)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； (ⅲ)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)。 ①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_(kāi)_______。 ②該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)_______。 解析　令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為x，y，z，且2z>x>y>z，①若教師人數(shù)為4，則4<y<x<8，當(dāng)x＝7時(shí)，y取得最大值6。②當(dāng)z＝1時(shí)，1＝z<y<x<2，不滿足條件；當(dāng)z＝2時(shí)，2＝z<y<x<4，不滿足條件；當(dāng)z＝3時(shí)，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，滿足條件。所以該小組人數(shù)的最小值為3＋4＋5＝12。 答案?、?　②12 三、走出誤區(qū) 微提醒：①亂用不等式的相乘性致錯(cuò)；②命題的必要性出錯(cuò)；③求范圍亂用不等式的加法原理致錯(cuò)。 5．若a>b>0，c<d<0，則一定有(　　) A．－>0 B．－<0 C．> D．< 解析　因?yàn)閏<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，－bd<－ac，即bd>ac，又cd>0，>，即>。故選D。 答案　D 6．設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2。即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝。所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件。故選A。 答案　A 7．若－<α<β<，則α－β的取值范圍是________。 解析　由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0。 答案　(－π，0) 考點(diǎn)一比較大小 【例1】　(1)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．c≥b>a B．a(chǎn)>c≥b C．c>b>a D．a(chǎn)>c>b (2)若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析　(1)因?yàn)閏－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， 所以c≥b。 又b＋c＝6－4a＋3a2， 所以2b＝2＋2a2，b＝a2＋1， 所以b－a＝a2－a＋1＝2＋>0， 所以b>a，所以c≥b>a。 (2)易知a，b，c都是正數(shù)， ＝＝log8164<1，所以a>b； ＝＝log6251 024>1， 所以b>c。即c<b<a。 解析：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)＝，y′＝， 易知當(dāng)x>e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。 因?yàn)閑<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)， 即c<b<a。 答案　(1)A　(2)B 比較大小的常用方法 1．作差法 一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論。其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式。當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差。 2．作商法 一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論。 3．函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系。 【變式訓(xùn)練】　(1)設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B (2)若a＝1816，b＝1618，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______。 解析　(1)因?yàn)锳≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B。故選B。 (2)＝＝16＝1616＝16，因?yàn)椤?0,1)，所以16<1，因?yàn)?816>0,1618>0，所以1816<1618，即a<b。 答案　(1)B　(2)a<b 考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)應(yīng)用 【例2】　(1)若a<b<0，給出下列不等式： ①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>。 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)設(shè)0<a<1，b>c>0，則下列結(jié)論不正確的是(　　) A．a(chǎn)b<ac B．ba>ca C．logab<logac D．> 解析　(1)因?yàn)閍<b<0，所以|a|>|b|>0，所以a2>b2，故a2＋1>b2，①正確。a<b<0?－a>－b>0?－a＋1>－b＋1>0，故|1－a|>|b－1|，②正確。a<b<0?a＋b<a<b<0，所以>>，③正確。故選D。 (2)取a＝，b＝4，c＝2，則由＝，＝，故D結(jié)論錯(cuò)誤。故選D。 答案　(1)D　(2)D 解決此類(lèi)題目常用的三種方法 1．直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件。 2．利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案。 3．利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷。 【變式訓(xùn)練】　(1)若a<b<0，則下列不等式不能成立的是(　　) A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>ab C．> D．> (2)已知x>y，則下列不等式一定成立的是(　　) A．< B．log2(x－y)>0 C．x2>y2 D．x<y 解析　(1)由a<b<0，得|a|>|b|，A成立；因?yàn)閍<b<0，所以a2>ab，B成立；因?yàn)閍<b<0，所以>，C成立；當(dāng)a＝－2，b＝－1時(shí)，＝－1，＝－，>不成立。故選D。 (2)A中，當(dāng)x＝1，y＝－1時(shí)，<不成立，所以A錯(cuò)；B中，當(dāng)x＝1，y＝時(shí)，log2(x－y)＝－1<0，所以B錯(cuò)；C中，當(dāng)x＝1，y＝－1時(shí)，x2>y2不成立，所以C錯(cuò)；D中，f(x)＝x在R上單調(diào)遞減，當(dāng)x>y時(shí)，x<y成立，故選D。 答案　(1)D　(2)D 考點(diǎn)三求代數(shù)式的取值范圍 【例3】　(1)三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，則的取值范圍是(　　) A． B． C．[2,3] D．[1,2] (2)已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，則9x＋y的取值范圍是________。 解析　(1)三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，所以1≤＋≤2，≤1＋≤，即－≤－1－≤－，所以1－≤－1≤2－，即即所以≤≤。故選A。 (2)設(shè)9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，則9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比較兩邊系數(shù)得得a＝－6，b＝7。由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤。 答案　(1)A　(2) 求代數(shù)式的取值范圍 利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑。 【變式訓(xùn)練】　(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________。 (2)已知f(a，b)＝ax＋by，如果1≤f(1,1)≤2，且－1≤f(1，－1)≤1，則f(2,1)的取值范圍是________。 解析　(1)因?yàn)椋?<x<4,2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2。由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，所以1<3x＋2y<18。 (2)由條件f(a，b)＝ax＋by，可知f(1,1)＝x＋y，f(1，－1)＝x－y，則1≤x＋y≤2，且－1≤x－y≤1。設(shè)f(2,1)＝2x＋y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，即2x＋y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，于是解得而≤(x＋y)≤3，－≤(x－y)≤，所以1≤2x＋y≤，即f(2,1)的取值范圍是。 答案　(1)(－4,2)　(1,18)　(2) 1．(配合例1使用)已知等比數(shù)列{an}中，a1>0，q>0，前n項(xiàng)和為Sn，則與的大小關(guān)系為_(kāi)_______。 解析　當(dāng)q＝1時(shí)，＝3，＝5，所以<。當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，－＝－＝＝<0，所以<。綜上可知<。 答案　< 2．(配合例2使用)若x>y>1,0<a<b<1，則下列各式中一定成立的是(　　) A．xa>yb B．xa<yb C．a(chǎn)x<by D．a(chǎn)x>by 解析　易知函數(shù)y＝ax(0<a<1)在R上單調(diào)遞減，因?yàn)閤>y>1,0<a<b<1，所以ax<ay<by。故選C。 答案　C 7