（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第15講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第15講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【課程要求】了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及參數(shù)的范圍對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p41【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f(x)>0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性()答案 (1)×(2)2選修22p32A組T4如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(2，1)上，f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1，3)上，f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4，5)上，f(x)是增函數(shù)D當(dāng)x2時(shí)，f(x)取到極小值解析在(4，5)上f(x)>0恒成立，f(x)是增函數(shù)答案C3選修22p24例2函數(shù)f(x)x36x2的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)<0，得0<x<4，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，4)答案 (0，4)4若函數(shù)f(x)lnxax22在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2 B(2，)C.D.解析f(x)2ax，2ax210在內(nèi)恒成立，所以a，由于x，所以x2，所以a.答案D5已知f(x)1xsinx，則f(2)，f(3)，f()的大小關(guān)系正確的是()Af(2)>f(3)>f() Bf(3)>f(2)>f()Cf(2)>f()>f(3) Df()>f(3)>f(2)解析f(x)1xsinx，則f(x)1cosx0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)2<3<，f()>f(3)>f(2)答案D6已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)在R上恒有f(x)<2(xR)，則不等式f(x)<2x1的解集為_解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)2<0，g(x)在R上為減函數(shù)，g(1)f(1)210.由g(x)<0g(1)，得x>1.不等式的解集為(1，)答案 (1，)【知識(shí)要點(diǎn)】1函數(shù)的單調(diào)性：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減2在某區(qū)間內(nèi)f(x)>0(f(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件3可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p41不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例1(1)已知函數(shù)f(x)xlnx，則f(x)()A在上單調(diào)遞增B在上單調(diào)遞減C在上單調(diào)遞增D在上單調(diào)遞減解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)xlnx的定義域?yàn)?0，)，所以f(x)lnx1(x>0)，當(dāng)f(x)>0時(shí)，解得x>，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)f(x)<0時(shí)，解得0<x<，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D.答案D(2)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x22x3)f(x)>0的解集為_解析由題圖可知不等式(x22x3)f(x)>0等價(jià)于或解得x(，1)(1，1)(3，)答案 (，1)(1，1)(3，)小結(jié)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域. (2)求f(x). (3)解不等式f(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間. (4)解不等式f(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間1已知定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)f(x)xsinxcosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析f(x)sinxxcosxsinxxcosx令f(x)xcosx>0，則其在區(qū)間(，)上的解集為，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.答案，2已知函數(shù)f(x)x22cosx，若f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象大致是()解析設(shè)g(x)f(x)2x2sinx，g(x)22cosx0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增答案A含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x，討論f(x)的單調(diào)性解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，則f(x)e2x在(，)上單調(diào)遞增若a0，則由f(x)0，得xlna.當(dāng)x(，lna)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(lna，)時(shí)，f(x)0.故f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增若a0，則由f(x)0，得xln.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增小結(jié)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題3已知g(x)x22alnx在1，2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析g(x)2x，由已知得g(x)0在1，2上恒成立，可得ax2在1，2上恒成立又當(dāng)x1，2時(shí)，4.a.答案4已知函數(shù)f(x)x24x3lnx在區(qū)間t，t1上不單調(diào)，則t的取值范圍是_解析由題意知f(x)x4，由f(x)0，得函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為1和3，則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上就不單調(diào)，由t<1<t1或t<3<t1，得0<t<1或2<t<3.答案 (0，1)(2，3)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題例3(1)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)yf(x)使不等式2f(x)<xf(x)<3f(x)恒成立，其中f(x)>0，yf(x)為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，則()A8<<16B4<<8C3<<4D2<<3解析xf(x)2f(x)>0，x>0，>0，y在(0，)上單調(diào)遞增，>，又f(x)>0，>4.xf(x)3f(x)<0，x>0，<0，y在(0，)上單調(diào)遞減，<，又f(x)>0，<8.綜上，4<<8.答案B(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)>1，f(0)4，則不等式exf(x)>ex3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析令g(x)exf(x)ex，g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)>1，g(x)>0，yg(x)在定義域上單調(diào)遞增，exf(x)>ex3，g(x)>3，g(0)3，g(x)>g(0)，x>0，故選A.答案A小結(jié)1.構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)值的比較大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解2構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解不等式解集時(shí)，先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x)>f(h(x)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x)5已知定義在上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且對(duì)于任意的x，都有f(x)sinx<f(x)cosx，則()A.f>fBf>f(1)C.f<fD.f<f解析令g(x)，則g(x)，由已知g(x)<0在上恒成立，g(x)在上單調(diào)遞減，g>g，即>，f>f.答案A6已知函數(shù)f(x)x32xex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若f(a1)f(2a2)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由f(x)x32xex，得f(x)x32xexf(x)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)又f(x)3x22ex3x2223x20，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)，所以f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增因?yàn)閒(a1)f(2a2)0，所以f(a1)f(2a2)f(2a2)，所以a12a2，解得1a，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用問(wèn)題例4已知函數(shù)f(x)x3xcosxax2sinx2acosx，g2xcosxx22sinx3acosx(a為常數(shù)，aR)(1)討論函數(shù)f的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，證明：當(dāng)0<a<1，x>0時(shí)，h(x)>0.解析 (1)f(x)x2cosxxsinx2axcosx2asinx(x2a)(xsinx), 令(x)xsinx，則(x)1cosx0，故(x)在R上單調(diào)遞增，又(0)0，故x(，0)時(shí)(x)<0，x(0，)時(shí)(x)>0，則令f(x)0，x12a，x20.()當(dāng)a<0時(shí)，有x(，2a)與x(0，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x(2a，0)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；()當(dāng)a>0時(shí)，有x(，0)與x(2a，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x(0，2a)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；()當(dāng)a0時(shí)，有xR時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.(2)h(x)f(x)g(x)x3xcosxx2sinxacosx(0<a<1，x>0)，h(x)x2cosxxsinxaxcosxasinx(xa)(xsinx)，令t(x)xsinx(x>0)，則t(x)1cosx0，故t(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又t(0)0，故t(x)>0，令h(x)0xa，且x(0，a)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；x(a，)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；所以h(x)minh(a)a3acosaa3sinaacosaa3sina，令m(a)a3sina(0<a<1)，則m(a)a2cosa，m(a)asina<0(0<a<1)，m(a)a2cosa在(0，1)上單調(diào)遞減，又m(1)cos1>cos0，m(a)>0，m(a)在(0，1)上單調(diào)遞增，又m(0)0，m(a)>0在(0，1)上恒成立，所以當(dāng)0<a<1，x>0時(shí)，h(x)>0.小結(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法：證明f(x)<g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，利用F(x)的單調(diào)性證明7已知函數(shù)f(x)axlnx(aR)(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若函數(shù)f(x)圖象的一條切線為x軸，且函數(shù)g(x)，若存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2滿足g(x1)g(x2)，求證：x1x2<1.解析 (1)由題意：x>0，f(x)ax，顯然：當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0，當(dāng)a>0時(shí)，0<x<，f(x)<0，x>，f(x)>0，故有：a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，)上遞減；a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，0)，g(x)，令h(x)lnx，h(x)，顯然：x1時(shí)，h(x)>0，又h(x)，0<x<1時(shí)，h(x)>0，x(0，)上，h(x)>0，故h(x)在(0，)上遞增，而h(1)0，x(0，1)時(shí)，h(x)<0，x(1，)時(shí)，h(x)>0，g(x)且g(x)在(0，1)上遞減，在(1，)上遞增，g(1)0.當(dāng)x>1時(shí)，0<<1，令G(x)g(x)gh(x)f(x)f(x)ff，故：G(x)f(x)f(x)(1)>0，故：G(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故G(x)>G(1)0，g(x)>g.設(shè)0<x1<1<x2，則g(x1)g(x2)>g，而0<<1，由g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，故：x1<，x1x2<1.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p43(2018·全國(guó)卷理)已知函數(shù)f(x)xalnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：<a2.解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1.()若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時(shí)f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減()若a>2，令f(x)0得，x或x.當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1<x2，則x2>1.由于1a2a2a，所以<a2等價(jià)于x22lnx2<0.設(shè)函數(shù)g(x)x2lnx，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0.所以x22lnx2<0，即<a2.12