（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2

（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系知識點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？答案平行梳理性質(zhì)定理文字語言如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行符號語言ab圖形語言知識點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直梳理性質(zhì)定理文字語言如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面符號語言，l，a，ala圖形語言1若平面平面，任取直線l，則必有l(wèi).(×)2已知兩個平面垂直，過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面(×)類型一線面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例1如圖所示，在正方體A1B1C1D1ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交求證：EFBD1.考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行證明如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.反思與感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直. (5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行跟蹤訓(xùn)練1如圖，l，PA，PB，垂足分別為A，B，a，aAB.求證：al.考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行證明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.類型二面面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例2如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求證：BCAB.考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線線垂直證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作ADPB于點(diǎn)D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，PA，AD平面PAB，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思與感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是DAB60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為邊AD的中點(diǎn)求證：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線面垂直證明(1)四邊形ABCD是菱形且DAB60°，ABD是正三角形，又G為AD的中點(diǎn)，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，由題意知PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用命題角度1線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化例3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化證明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四邊形ABED中，ABAD，四邊形ABED為矩形，BECD.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD，CD平面PAD，CDPD.又E，F(xiàn)分別為CD和PC的中點(diǎn)，EFPD，CDEF.EFBEE，EF，BE平面BEF，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.反思與感悟在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求證：平面ABD平面ACD.考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化證明平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，在平面ABC內(nèi)，作AEBC于點(diǎn)E，如圖，則AE平面BCD.又CD平面BCD，AECD.又BCCD，AEBCE，AE，BC平面ABC，CD平面ABC，又AB平面ABC，ABCD.又ABAC，ACCDC，AC，CD平面ACD.AB平面ACD.又AB平面ABD，平面ABD平面ACD.命題角度2垂直中的探索性問題例4已知在三棱錐ABCD中，BCD90°，BCCD1，AB平面BCD，ADB60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點(diǎn)，且(01)(1)求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；(2)當(dāng)為何值時，平面BEF平面ACD?考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計算與探索性問題(1)證明BCD90°，BCCD.AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC.，EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.故不論為何值，總有平面BEF平面ABC.(2)解由(1)得EF平面ABC，BE平面ABC，EFBE.要使平面BEF平面ACD，只需BEAC.BCD90°，BCCD1，BD.又AB平面BCD，ADB60°，AB，AC，BE，AE，.故當(dāng)時，平面BEF平面ACD.反思與感悟解決開放性問題一般先從結(jié)論入手，分析得到該結(jié)論所需的條件或與其等價的條件，此類型題考查空間想象能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計算與探索性問題(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，ADD1C.AD，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1.AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解連接AD1，AE，設(shè)AD1A1DM，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，需使MND1E.又M是AD1的中點(diǎn)，N是AE的中點(diǎn)，又易知ABNEDN，ABDE，即E是DC的中點(diǎn)綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時，可使D1E平面A1BD.1給出下列說法：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線垂直其中正確說法的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D2平面平面，直線a，則()Aa BaCa與相交 D以上都有可能考點(diǎn)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系題點(diǎn)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的判定答案D解析因?yàn)閍平面，平面平面，所以直線a與垂直、相交、平行都有可能3已知直線l平面，直線m平面.有下面四個說法：lm；lm；lm；lm.其中正確的兩個說法是()A B C D考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案C解析l，m，lm，故正確；lm，l，m，又m，故正確4如圖，在三棱錐PABC中，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90°，PA1，AB2，則PB_.考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計算答案解析側(cè)面PAC底面ABC，交線為AC，PAC90°(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.5.如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，求證：平面SCD平面SBC.考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用證明因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因?yàn)锽C平面SBC，所以平面SCD平面SBC.1線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)2面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：一、選擇題1在圓柱的一個底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A相交 B平行C異面 D相交或平行考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理判定線線平行答案B解析由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面，所以它們平行2在長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EFA1B1于點(diǎn)F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A平行 BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直 D相交且垂直考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線面垂直答案D解析在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF平面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1.3如圖所示，在三棱錐PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，則()APD平面ABCBPD平面ABCCPD與平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線面垂直答案B解析PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面PAB，PD平面ABC.4在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，則BD與CC1的位置關(guān)系為()A平行 B共面C垂直 D不垂直考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線線垂直答案C解析如圖所示，在四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故選C.5下列說法中錯誤的是()A如果平面平面，那么平面所有直線都垂直于平面B如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l平面考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案A解析顯然A不正確，若兩個平面垂直，一個平面內(nèi)只有和交線垂直的直線才和另一個平面垂直6設(shè)l是直線，是兩個不同的平面，下列結(jié)論正確的是()A若l，l，則 B若l，l，則C若，l，則l D若，l，則l考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案B解析設(shè)a，若直線la，且l，l，則l，l，因此不一定平行于，故A錯誤；由于l，故在內(nèi)存在直線ll，又因?yàn)閘，所以l，故，所以B正確；若，在內(nèi)作交線的垂線l，則l，此時l在平面內(nèi)，因此C錯誤；已知，若a，la，且l不在平面，內(nèi)，則l且l，因此D錯誤7.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A與 B與C與 D與考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化答案B解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，則SGSE，這與SGSES矛盾，排除A，故選B.二、填空題8設(shè)兩個平面，直線l，下列三個條件：l；l；.若以其中兩個作為前提條件，另一個作為結(jié)論，則可構(gòu)成三個命題，這三個命題中，正確命題的個數(shù)為_考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案1解析作為前提條件，作為結(jié)論構(gòu)成的命題正確，過l作一平面與交于l，則ll，所以l，故；作為前提條件，作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯誤，這時可能有l(wèi)；作為前提條件，作為結(jié)論構(gòu)成的命題錯誤，這時l與的各種位置關(guān)系都可能存在9.如圖，直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則CD的長為_考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計算答案解析如圖，連接BC，二面角l為直二面角，AC，且ACl，AC.又BC，ACBC，BC2AB2AC23.又BDCD，CD.10.如圖，四面體PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90°，AC8，BC6，則PC_.考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)有關(guān)面面垂直性質(zhì)的計算答案7解析取AB的中點(diǎn)D，連接PD，PAPB，PDAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，PD平面ABC，PDCD.連接DC，則PDC為直角三角形，在RtABC中，AB2，在RtDBC中，DC，PD.在RtPCD中，PC7.11如圖，在平行四邊形ABCD中，ABBD，沿BD將ABD折起，使平面ABD平面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為_考點(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)判定兩平面垂直答案3解析因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，ABBD，所以AB平面BCD，所以平面ABC平面BCD.在折起前，因?yàn)锳BBD，ABCD，所以CDBD.又因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，共3對三、解答題12如圖所示，四棱錐PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：BE平面PAC.考點(diǎn)題點(diǎn)證明(1)如圖所示，設(shè)ACBEO，連接OF，EC.由于E為AD的中點(diǎn)，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此，四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)又F為PC的中點(diǎn)，因此，在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由題意，知EDBC，EDBC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.13如圖，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中點(diǎn)，沿DE將ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求證：ABAC；(2)如果ABAC，求證：平面ADE平面BCDE.考點(diǎn)垂直問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化證明(1)過A作AMDE于點(diǎn)M，則由題意可得AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，所以M是DE的中點(diǎn)取BC的中點(diǎn)N，連接MN，則MNBC，又AMMNM，所以BC平面AMN，所以ANBC.又N是BC的中點(diǎn)，所以ABC為等腰三角形，所以ABAC.(2)取BC的中點(diǎn)N，連接AN.因?yàn)锳BAC，所以ANBC.取DE的中點(diǎn)M，連接MN，AM，所以MNBC，又ANMNN，所以BC平面AMN，所以AMBC.又M是DE的中點(diǎn)，ADAE，所以AMDE.又因?yàn)镈E與BC是平面BCDE內(nèi)的兩條相交直線，所以AM平面BCDE.又因?yàn)锳M平面ADE，所以平面ADE平面BCDE.四、探究與拓展14在三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90°，ABC是邊長為4的正三角形，PC4，M是AB邊上的一動點(diǎn)，則PM的最小值為()A2 B2C4 D4考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計算與探索性問題答案B解析如圖，連接CM，則由題意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可在ABC中，當(dāng)CMAB時，CM有最小值，此時有CM4×2，所以PM的最小值為2.15如圖所示，在RtABC中，C90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖所示(1)求證：DE平面A1CB；(2)求證：A1FBE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？說明理由考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計算與探索性問題(1)證明因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DEBC.又DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)證明由已知得DCBC且DEBC，所以DEDC.又DEA1D，A1DCDD，A1D，CD平面A1DC，所以DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD，CDDED，CD，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)解線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖所示，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，連接DP，PQ，QE，則PQBC.又因?yàn)镈EBC，所以DEPQ，所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，所以DEA1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1CDP，又DEDPD，DE，DP平面DEP，所以A1C平面DEP，從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，且Q為A1B的中點(diǎn)時，A1C平面DEQ.