2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質 3.2.1.2 函數(shù)的最大（小）值學案 新人教A版必修第一冊

第2課時函數(shù)的最大(小)值1理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義2會借助單調性求最值3掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值1最大值(1)定義：一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標2最小值(1)定義：一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最小值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標溫馨提示：(1)最大(小)值必須是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素(2)并不是每一個函數(shù)都有最值，如函數(shù)y，既沒有最大值，也沒有最小值(3)最值是函數(shù)的整體性質，即在函數(shù)的整個定義域內研究其最值1函數(shù)yf(x)在2,2上的圖象如圖所示，試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應的x的值答案f(x)的最小值為1，此時x2；f(x)的最大值為2，此時x12判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值()(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小()(3)函數(shù)f(x)x在2,3)上的最大值為2，無最小值()(4)函數(shù)最大值對應圖象中的最高點，且該點只有一個()答案(1)×(2)×(3)(4)×題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并寫出函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)的最小值思路導引作出函數(shù)f(x)的圖象，結合圖象求解解(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1)由圖象可知，當x±1時，f(x)取最大值為f(±1)1；當x0時，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.(2)f(x)的圖象如圖2所示，f(x)的單調遞增區(qū)間是(，0)和0，)，函數(shù)的最小值為f(0)1.圖象法求最大(小)值的步驟針對訓練1利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值(1)y，x1,3；(2)y|x1|x2|.解(1)作出函數(shù)圖象如右圖所示，該函數(shù)的圖象既有最高點，也有最低點(1，2)，所以函數(shù)y，x1,3有最大值，最小值2；(2)y|x1|x2|作出函數(shù)的圖象，由右圖可知，y3,3所以函數(shù)的最大值為3，最小值為3.題型二利用單調性求函數(shù)的最大(小)值【典例2】已知函數(shù)f(x)x.(1)證明：f(x)在(1，)內是增函數(shù)；(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)證明：設x1，x2(1，)，且x1<x2.則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)·.x2>x1>1，x1x2<0，又x1x2>1，x1x21>0，故(x1x2)·<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，)內是增函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函數(shù)，當x2,4時，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值為，最小值為.函數(shù)的最值與單調性的關系(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是增函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最大值f(b)(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是減函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最小值f(b)(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間a，b的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值針對訓練2已知函數(shù)f(x)，x2,5，判斷函數(shù)f(x)的單調性，并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解任取2x1<x25，則f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1<x25，x1x2<0，x21>0，x11>0，f(x2)f(x1)<0.f(x2)<f(x1)f(x)在區(qū)間2,5上是單調減函數(shù)f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).題型三求二次函數(shù)的最大(小)值【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)3x212x5，x0,3，求函數(shù)的最大值和最小值(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值思路導引找出f(x)的對稱軸，分析對稱軸與給定區(qū)間的關系，結合單調性求最值解(1)函數(shù)f(x)3x212x53(x2)27，函數(shù)f(x)3(x2)27的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在0,2)上遞減，在2,3上遞增，并且f(0)5，f(2)7，f(3)4，所以在0,3上，f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)7.(2)函數(shù)圖象的對稱軸是xa，當a<2時，f(x)在2,4上是增函數(shù)，f(x)minf(2)64a.當a>4時，f(x)在2,4上是減函數(shù)，f(x)minf(4)188a.當2a4時，f(x)minf(a)2a2.f(x)min變式本例(2)條件變?yōu)?，若f(x)x22ax2，當x2,4時，f(x)a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解在2,4內，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4內恒成立，即af(x)max，x2,4又f(x)max當a3時，a188a，解得a2，此時有2a3.當a>3時，a64a，解得a，此時有a>3.綜上有實數(shù)a的取值范圍是2，)求解二次函數(shù)最值問題的順序(1)確定對稱軸與拋物線的開口方向、作圖(2)在圖象上標出定義域的位置(3)觀察單調性寫出最值針對訓練3已知函數(shù)f(x)x22xa(x0,2)有最小值2，則f(x)的最大值為()A4 B6 C1 D2解析函數(shù)f(x)x22xa的對稱軸為x1，在0,2上為增函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(0)a2，f(x)的最大值為f(2)8a6.答案B4已知函數(shù)f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析如圖可知f(x)在1，a內是單調遞減的，又f(x)的單調遞減區(qū)間為(，3，1<a3.答案(1,3題型四實際應用中的最值【典例4】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤表示為關于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益總成本利潤)思路導引先將利潤表示成關于x的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性求最值解(1)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為(20000100x)元，從而f(x)(2)當0x400時，f(x)(x300)225000，當x300時，f(x)max25000；當x>400時，f(x)60000100x是減函數(shù)，f(x)<60000100×40020000<25000.當x300時，f(x)max25000.即每月生產(chǎn)300臺儀器時公司所獲利潤最大，最大利潤為25000元求解函數(shù)最大(小)值的實際問題應注意的2點(1)解實際應用題要弄清題意，從實際出發(fā)，引入數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，列出函數(shù)關系式，分析函數(shù)的性質，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍(2)實際應用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉化為求函數(shù)最值來解決針對訓練5將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應為多少元？最大利潤是多少？解設售價為x元，利潤為y元，單個漲價(x50)元，銷量減少10(x50)個y(x40)(100010x)10(x70)290009000.故當x70時，ymax9000.答：售價為70元時，利潤最大為9000元.課堂歸納小結1求函數(shù)最大(小)值的常用方法(1)值域求出函數(shù)f(x)的值域，即可求其最值(注意必須確保存在函數(shù)值里的最值)；(2)單調性法通過研究函數(shù)的單調性來求函數(shù)的最值；(3)特殊函數(shù)法利用特殊函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、函數(shù)yx(a>0)的單調性來求其最值.2.函數(shù)的值域與最大(小)值的區(qū)別(1)函數(shù)的值域是一個集合，函數(shù)的最值是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素，即定義域中一定存在一個x0，使f(x0)M(最值)(2)函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大(小)值，如yx在x(1,1)時無最值.1函數(shù)f(x)在2，)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A3,0B3,1C3，無最小值D3，2解析觀察圖象可以知道，圖象的最高點坐標是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無最低點，即該函數(shù)不存在最小值故選C.答案C2已知函數(shù)f(x)|x|，x1,3，則f(x)的最大值為()A0 B1 C2 D3解析作出函數(shù)f(x)|x|，x1,3的圖象，如圖所示根據(jù)函數(shù)圖象可知，f(x)的最大值為3.答案D3下列函數(shù)在1,4上最大值為3的是()Ay2 By3x2Cyx2Dy1x解析B、C在1,4上均為增函數(shù)，A、D在1,4上均為減函數(shù)，代入端點值，即可求得最值，故選A.答案A4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_(m)解析設矩形花園的寬為y m，則，即y40x，矩形花園的面積Sx(40x)x240x(x20)2400，當x20時，面積最大答案205已知二次函數(shù)yx24x5，分別求下列條件下函數(shù)的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函數(shù)yx24x5的對稱軸為x2且開口向上，二次函數(shù)在x1,0上是單調遞減的ymin024×055.(2)當a2時，函數(shù)在xa，a1上是單調遞增的，ymina24a5；當a12即a1時，函數(shù)在a，a1上是單調遞減的，ymin(a1)24(a1)5a22a2；當a<2<a1即1<a<2時，ymin224×251.故函數(shù)的最小值為課后作業(yè)(二十)復習鞏固一、選擇題1函數(shù)yf(x)(2x2)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為()Af(2)，f(2)Bf，f(1)Cf，fDf，f(0)解析根據(jù)函數(shù)最值定義，結合函數(shù)圖象可知，當x時，有最小值f；當x時，有最大值f.答案C2函數(shù)yx22x2在區(qū)間2,3上的最大值、最小值分別是()A10,5 B10,1C5,1 D以上都不對解析因為yx22x2(x1)21，且x2,3，所以當x1時，ymin1，當x2時，ymax(21)2110.故選B.答案B3函數(shù)y(x2)在區(qū)間0,5上的最大值、最小值分別是()A.，0 B.，0C.，D最小值為，無最大值解析因為函數(shù)y在區(qū)間0,5上單調遞減，所以當x0時，ymax，當x5時，ymin.故選C.答案C4若函數(shù)yax1在1,2上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值是()A2B2C2或2D0解析由題意知a0，當a>0時，有(2a1)(a1)2，解得a2；當a<0時，有(a1)(2a1)2，解得a2.綜上知a±2.答案C5當0x2時，a<x22x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析令f(x)x22x，則f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a<0.答案C二、填空題6函數(shù)y，x3，1的最大值與最小值的差是_解析因為函數(shù)y在3，1上為增函數(shù)，所以ymin，ymax1，所以ymaxymin1.答案7已知函數(shù)f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為_解析函數(shù)f(x)x24xa(x2)24a，x0,1，且函數(shù)有最小值2.故當x0時，函數(shù)有最小值，當x1時，函數(shù)有最大值當x0時，f(0)a2，f(x)x24x2，當x1時，f(x)maxf(1)124×121.答案18.如圖，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標系那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關系式為h(x)x22x，x，則水流噴出的高度h的最大值是_m.解析由函數(shù)h(x)x22x，x的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點此時函數(shù)取得最大值對于函數(shù)h(x)x22x，x，若x1，函數(shù)有最大值h(x)max122×1(m)于是水流噴出的最高高度是m.答案三、解答題9已知函數(shù)f(x).(1)證明：函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)在1,5上的最大值和最小值解(1)證明：設x1、x2是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且x2>x1>，則f(x1)f(x2).由于x2>x1>，所以x2x1>0，且(2x11)·(2x21)>0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在1,5上是減函數(shù)，因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5的兩個端點上分別取得最大值與最小值，即最大值為f(1)3，最小值為f(5).10求函數(shù)f(x)x22ax2在1,1上的最小值解函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線xa，且函數(shù)圖象開口向上，如圖所示：當a>1時，f(x)在1,1上單調遞減，故f(x)minf(1)32a；當1a1時，f(x)在1,1上先減后增，故f(x)minf(a)2a2；當a<1時，f(x)在1,1上單調遞增，故f(x)minf(1)32a.綜上可知f(x)的最小值為f(x)min綜合運用11函數(shù)f(x)則f(x)的最大值與最小值分別為()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不對解析x1,2時，f(x)max2×2610，f(x)min2×168；x1,1時，f(x)max178，f(x)min176，f(x)max10，f(x)min6.答案A12已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A1，) B0,2C(，2 D1,2解析f(x)(x1)22，f(x)min2，f(x)max3，且f(1)2，f(0)f(2)3，1m2，故選D.答案D13某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(單位：萬元)分別為L1x221x和L22x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()A90萬元B60萬元C120萬元D120.25萬元解析設公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15x)輛，公司獲利為Lx221x2(15x)x219x30230，當x9或10時，L最大為120萬元答案C14函數(shù)y|x1|x2|的最小值為_解析化簡函數(shù)為y其圖象如圖所示，所以函數(shù)的最小值為3.答案315已知函數(shù)f(x)對任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當x>0時，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)是R上的單調減函數(shù)(2)求f(x)在3,3上的最小值解(1)證明：設x1，x2是任意的兩個實數(shù)，且x1<x2，則x2x1>0，因為x>0時，f(x)<0，所以f(x2x1)<0，又因為x2(x2x1)x1，所以f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)<0，所以f(x2)<f(x1)所以f(x)是R上的單調減函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在3,3上也是減函數(shù)，所以f(x)在3,3上的最小值為f(3)而f(3)f(1)f(2)3f(1)3×2.所以函數(shù)f(x)在3,3上的最小值是2.16