（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專(zhuān)練 第9講 解析幾何教學(xué)案 理

第9講　解析幾何 調(diào)研一　直線(xiàn)與圓 ■備考工具—————————————— 一、直線(xiàn)方程的相關(guān)概念 1．表示直線(xiàn)方向的兩個(gè)量 (1)直線(xiàn)的傾斜角： ①定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)(取x軸作為基準(zhǔn))，x軸正方向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角． ②范圍：0°≤α<180°. (2)直線(xiàn)的斜率： ①定義：當(dāng)α≠90°時(shí)，tanα表示直線(xiàn)l的斜率，用k表示，即k＝tanα；當(dāng)α＝90°時(shí)，直線(xiàn)l的斜率k不存在． ②計(jì)算公式：給定兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，經(jīng)過(guò)P1，P2兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式為k＝. 2．直線(xiàn)方程的形式 (1)點(diǎn)斜式：y－y0＝k·(x－x0) (2)斜截式：y＝kx＋b (3)兩點(diǎn)式：＝ (4)截距式：＋＝1 (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) (6)參數(shù)式：(t為參數(shù)) 3．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 4．距離 距離 公式 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 兩條平行直線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離 d＝ 二、圓的方程及相關(guān)概念 1．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程： 名稱(chēng) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的一般方程 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心 (a，b) 半徑 r (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (3)參數(shù)方程： (θ為參數(shù)) 圓心(a，b)，半徑為r. 2．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線(xiàn)l的距離為d，由消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ. 方法 位置關(guān)系　　　　 幾何法 代數(shù)法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d>r Δ<0 3.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，R>r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表示： 位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 同心圓 幾何特征 d>R＋r d＝R＋r R－r<d< R＋r d＝R－r 0<d<R－r d＝0 代數(shù)特征 無(wú)實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 兩組實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 無(wú)實(shí)數(shù)解 無(wú)實(shí)數(shù)解 公切線(xiàn)條數(shù) 4 3 2 1 0 0 三、重要公式 1．中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足 若線(xiàn)段的中點(diǎn)為M(x0，y0)，一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則另一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0－a,2y0－b)． 2．弦心距公式和弦長(zhǎng)公式 (1)弦心距公式：直線(xiàn)截圓所得的弦長(zhǎng)為2a，圓的半徑為r，弦心距為d，則弦心距公式為d＝. (2)弦長(zhǎng)公式：l＝2a＝2. 3．切線(xiàn)長(zhǎng)公式 圓的方程為f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0，圓外有一點(diǎn)P(x0，y0)，由點(diǎn)P向圓引的切線(xiàn)的長(zhǎng)為l＝. ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊，則直線(xiàn)sinA·x＋ay－c＝0與bx－sinB·y＋sinC＝0的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　　　　　 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：由題意可得直線(xiàn)sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，所以直線(xiàn)sinA·x＋ay－c＝0與直線(xiàn)bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故選C. 答案：C 2．若直線(xiàn)l1：ax＋y－1＝0與l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，則a的值為(　　) A．1 B．－3 C．0或－ D．1或－3 解析：由題設(shè)可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.當(dāng)a＝－3時(shí)兩直線(xiàn)重合，應(yīng)舍去，故選A. 答案：A 3．[2019·合肥調(diào)研]已知直線(xiàn)l：x＋y－5＝0與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦長(zhǎng)為2，則圓C的半徑r＝(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：解法一：依題意，圓C的圓心為(2,1)，圓心到直線(xiàn)的距離d＝＝，又弦長(zhǎng)為2，所以2＝2，所以r＝2，故選B. 解法二：聯(lián)立得，整理得2x2－12x＋20－r2＝0，設(shè)直線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝2，解得r＝2. 答案：B 4．[2019·河北九校聯(lián)考]圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線(xiàn)3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 解析：由題意設(shè)所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m>0)，則＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故選C. 答案：C 5．[2019·廣州調(diào)研]若點(diǎn)P(1,1)為圓C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線(xiàn)的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析：由圓的方程易知圓心C的坐標(biāo)為(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝＝－.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根據(jù)弦MN所在的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)得所求直線(xiàn)方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故選D. 答案：D 6．[2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)]已知兩點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圓(x－)2＋(y－1)2＝1上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(0,3] B．[1,3] C．[2,3] D．[1,2] 解析：以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，則由題意知圓(x－)2＋(y－1)2＝1與圓x2＋y2＝a2有公共點(diǎn)，則|a－1|≤≤a＋1，解得1≤a≤3，故選B. 答案：B 7．[2019·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線(xiàn)y＝x＋(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x＋y＝0的距離的最小值是________． 解析：通解：設(shè)P，x>0，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x＋y＝0的距離d＝＝≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝時(shí)取等號(hào)，故點(diǎn)P到直線(xiàn)x＋y＝0的距離的最小值是4. 優(yōu)解：由y＝x＋(x>0)得y′＝1－，令1－＝－1，得x＝，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，3)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)x＋y＝0的距離最小，最小值為＝4. 答案：4 8．[2019·唐山摸底]已知直線(xiàn)l：kx－y－k＋2＝0與圓C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)_______． 解析：直線(xiàn)l的方程為y－2＝k(x－1)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(1,2)，由已知可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝8，可知圓心C(0,1)，半徑r＝2，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線(xiàn)l與CP垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，因?yàn)閨CP|＝＝，故|AB|min＝2＝2. 答案：2 9．[2019·廣東六校聯(lián)考]已知點(diǎn)P(－1,2)及圓(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|＋|QT|的值為_(kāi)_______． 解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(－1，－2)，如圖，連接PP′，P′Q，由對(duì)稱(chēng)性可知，P′Q與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圓(x－3)2＋(y－4)2＝4的圓心為A(3,4)，半徑r＝2，連接AP′，AT，則|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝＝4. 答案：4 10．[2019·浙江卷]已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線(xiàn)2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________. 解析：解法一：設(shè)過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)且與直線(xiàn)2x－y＋3＝0垂直的直線(xiàn)方程為l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，則r＝＝. 解法二：因?yàn)橹本€(xiàn)2x－y＋3＝0與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝. 答案：－2　 調(diào)研二　橢圓、雙曲線(xiàn) ■備考工具—————————————— 一、定義 1．橢圓的定義 (1)定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距． (2)集合語(yǔ)言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c為常數(shù)． (3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡為線(xiàn)段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡不存在． 2．雙曲線(xiàn)的定義及理解 (1)定義：平面上到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．兩定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距． (2)符號(hào)語(yǔ)言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)當(dāng)|MF1|－|MF2|＝2a時(shí)，曲線(xiàn)僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)的一支；當(dāng)|MF1|－|MF2|＝－2a時(shí)，曲線(xiàn)僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)的一支；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在． 二、方程和性質(zhì) 1．橢圓的方程與性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 a2＝b2＋c2 2.雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≥a或y≤－a 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 軸 實(shí)軸：線(xiàn)段A1A2，虛軸：B1B2 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 漸近線(xiàn) y＝±x y＝±x 三、離心率e的作用 (1)橢圓：e越大，圖形越扁． (2)雙曲線(xiàn)：e越大，開(kāi)口越小． 四、常見(jiàn)結(jié)論 1．橢圓 (1)橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)為，通徑是最短的焦點(diǎn)弦． (2)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則|PF|∈[a－c，a＋c]，即橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為a＋c，最小值為a－c. (3)橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形． 如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ. ①當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大． ②＝|PF1|·|PF2|·sinθ＝b2·＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為bc. ③焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)． (4)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，AB是過(guò)F1的弦，則|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a. (5)AB為橢圓＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則 ①弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|(其中k為直線(xiàn)AB的斜率)； ②直線(xiàn)AB的斜率kAB＝－. 2．雙曲線(xiàn) (1)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為b. (2)若P是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a. (4)若P是雙曲線(xiàn)上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2. (5)若P是雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a. (6)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，AB是過(guò)F1的弦，則|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a. (7)AB為雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)．則 ①弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|(其中k為直線(xiàn)AB的斜率)； ②直線(xiàn)AB的斜率kAB＝. 五、特殊曲線(xiàn) 1．等軸雙曲線(xiàn) (1)定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等的雙曲線(xiàn)叫作等軸雙曲線(xiàn)． (2)性質(zhì)：①a＝b；②e＝；③漸近線(xiàn)互相垂直；④等軸雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)． 2．共軛雙曲線(xiàn) (1)定義：如果一條雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線(xiàn)的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線(xiàn)互為共軛雙曲線(xiàn)． (2)性質(zhì)：①它們有共同的漸近線(xiàn)；②它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1. 六、求橢圓、雙曲線(xiàn)離心率的方法 (1)定義法：直接求出a，c的值來(lái)解e，通過(guò)已知條件列方程，解出a，c的值． (2)解方程法：由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解． (3)通過(guò)特殊值或特殊位置求離心率．此方法多用于選擇題和填空題． (4)求離心率的最值(或范圍)，往往借助圖形的性質(zhì)、曲線(xiàn)的范圍、正余弦函數(shù)的有界性、基本不等式等來(lái)構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式，從而達(dá)到求解的目的． ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·北京卷]已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則(　　) A．a(chǎn)2＝2b2　　　　 B．3a2＝4b2 C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b 解析：由題意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2， ∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故選B. 答案：B 2．[2019·全國(guó)卷Ⅲ]雙曲線(xiàn)C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)＝×＝，所以S△PFO＝××＝. 答案：A 3．[2018·全國(guó)卷Ⅰ]已知雙曲線(xiàn)C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)－y2＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)F(2,0)，所以直線(xiàn)MN的方程為 y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3. 答案：B 4．[2019·洛陽(yáng)統(tǒng)考]已知雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(2，)在雙曲線(xiàn)上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則該雙曲線(xiàn)的方程為(　　) A．x2－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：通解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列， ∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵點(diǎn)P位于第一象限， ∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝＝，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，∴sin∠PF2F1＝，∴2＋＝1，化簡(jiǎn)得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，又－＝1，∴a2＝1，∴雙曲線(xiàn)的方程為x2－y2＝1，故選A. 優(yōu)解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵點(diǎn)P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a， ∴cos∠PF2F1＝＝，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，∴sin∠PF2F1＝，∴2＋＝1，化簡(jiǎn)得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，此時(shí)可以排除選項(xiàng)B，C，D，故選A. 答案：A 5．[2019·石家莊一模]已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：∵FP的斜率為－，F(xiàn)P∥l，∴直線(xiàn)l的斜率為－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－.∵AB的中點(diǎn)為M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc， ∴b＝c，∴a＝c，∴橢圓的離心率為，故選B. 答案：B 6．[2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)二]已知雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P使＝，則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是(　　) A. B．(1,2)∪ C. D．(1,2)∪ 解析：通解：因?yàn)椋剑渣c(diǎn)P不可能在雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)處， (1)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上(不包括雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn))時(shí)， 根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a， 因?yàn)椋剑? 所以由正弦定理得＝， 解得|PF1|＝，|PF2|＝， 所以c－2a＞0，所以e＞2. 在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即＋＞2c，整理得2a2＋3ac－c2＞0，所以e2－3e－2＜0，解得＜e＜.綜上，2＜e＜. (2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的左支上(不包括雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn))時(shí)， 根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得|PF1|－|PF2|＝－2a， 因?yàn)椋剑? 所以由正弦定理得＝， 解得|PF1|＝，|PF2|＝， 所以2a－c＞0，所以e＜2. 在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即＋＞2c，整理得2a2－ac＋c2＞0，所以e2－e＋2＞0，又2＋＞0恒成立，由e＞1，所以1＜e＜2. 綜上所述，該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍為(1,2)∪. 優(yōu)解：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P不可能在雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)處， (1)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上(不包括雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn))時(shí)， e＝＝2×＝2×＝2×＝2＞2， 因?yàn)閨PF2|＞c－a，所以e＜2＝2，所以e2－3e－2＜0，解得＜e＜，所以2＜e＜. (2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的左支上(不包括雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn))時(shí)， e＝＝2×＝2×＝2×＝2＜2，因?yàn)閨PF2|＞a＋c，所以e＞2＝2，所以e2－e＋2＞0，又2＋＞0恒成立，e＞1，所以1＜e＜2. 綜上所述，該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍為(1,2)∪. 答案：D 7．[2019·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線(xiàn)x2－＝1(b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是________． 解析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)x2－＝1(b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y＝±bx＝±x. 答案：y＝±x 8．[2019·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知c＝＝4.因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)， 則得 所以M的坐標(biāo)為(3，)． 答案：(3，) 9．[2019·全國(guó)卷Ⅰ]已知雙曲線(xiàn)C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)．若＝，·＝0，則C的離心率為_(kāi)_________． 解析：通解：因?yàn)?#183;＝0，所以F1B⊥F2B，如圖. 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO， 所以∠BOF2＝2∠BF1O. 因?yàn)椋?，所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因?yàn)橹本€(xiàn)OA，OB為雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因?yàn)閠an∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線(xiàn)的離心率e＝＝2. 優(yōu)解：因?yàn)?#183;＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c,0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線(xiàn)y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2. 答案：2 10．[2019·浙江卷]已知橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線(xiàn)段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線(xiàn)PF的斜率是________． 解析：通解：依題意，設(shè)點(diǎn)P(m，n)(n>0)，由題意知F(－2,0)，所以線(xiàn)段FP的中點(diǎn)M在圓x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又點(diǎn)P(m，n)在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝. 優(yōu)解：如圖，取PF的中點(diǎn)M，連接OM，由題意知|OM|＝|OF|＝2，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，在△PFF1中，OM為中位線(xiàn)，所以|PF1|＝4，由橢圓的定義知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.因?yàn)镸為PF的中點(diǎn)，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，過(guò)O作OH⊥MF于點(diǎn)H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝. 答案： 調(diào)研三　拋物線(xiàn) ■備考工具—————————————— 1．拋物線(xiàn)的定義 平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫作拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)． 2．拋物線(xiàn)定義的理解 拋物線(xiàn)的定義是解決拋物線(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問(wèn)題中涉及拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線(xiàn)定義就能解決問(wèn)題． 3．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 圖形 頂點(diǎn) (0,0) 對(duì)稱(chēng)軸 x軸 y軸 焦點(diǎn) F F F F 準(zhǔn)線(xiàn) x＝－ x＝ y＝－ y＝ 4.拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 焦點(diǎn)弦：線(xiàn)段AB為拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝； (2)y1y2＝－p2； (3)焦半徑|AF|＝x1＋； (4)弦長(zhǎng)l＝x1＋x2＋p.當(dāng)弦AB⊥x軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p，此時(shí)的弦又叫通徑； (5)弦長(zhǎng)l＝(θ為AB的傾斜角)． 5．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 判斷直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線(xiàn)l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線(xiàn)C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程． 即消去y得ax2＋bx＋c＝0. (1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ>0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相交； Δ＝0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相切； Δ<0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相離． (2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程，則直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線(xiàn)，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線(xiàn)，則直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是平行或重合． 6．重要結(jié)論 (1)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切；以焦半徑為直徑的圓與y軸相切(開(kāi)口向右或向左)． (2)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，則切線(xiàn)互相垂直，且交點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上． ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·安徽五校質(zhì)檢二]已知拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，且|PF|＝，則p＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．1 解析：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－，因?yàn)镻在拋物線(xiàn)上，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d＝＋＝|PF|＝，則p＝，故選B. 答案：B 2．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]若拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析：由題意知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，所以＝，解得p＝8，故選D. 答案：D 3．[2019·天津卷]已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l.若l與雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：由題意，可得F(1,0)，直線(xiàn)l的方程為x＝－1，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x.將x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線(xiàn)的離心率e＝＝＝. 答案：D 4．[2019·江西五校聯(lián)考]過(guò)拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線(xiàn)與C的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)M，若|MN|＝|AB|，則直線(xiàn)l的傾斜角為(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 解析：分別過(guò)A，B，N作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，N′，由拋物線(xiàn)的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因?yàn)閨MN|＝|AB|，所以|NN′|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直線(xiàn)MN的傾斜角為120°，又直線(xiàn)MN與直線(xiàn)l垂直且直線(xiàn)l的傾斜角為銳角，所以直線(xiàn)l的傾斜角為30°，故選B. 答案：B 5．[2019·廣東六校聯(lián)考]拋物線(xiàn)y＝2x2上有一動(dòng)弦AB，中點(diǎn)為M，且弦AB的長(zhǎng)為3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為(　　) A. B. C. D．1 解析：通解：由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋b.由題意知y0≥b>0.聯(lián)立得整理得2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b>0，x1＋x2＝，x1x2＝－，則|AB|＝，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y0＝＝x＋x＝＋b.因?yàn)橄褹B的長(zhǎng)為3，所以＝3，即(1＋k2)＝9，故(1＋4y0－4b)(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)(4y0＋4b)＝36.由基本不等式得，(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2＝12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即1＋8y0≥12，y0≥，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為.故選A. 優(yōu)解：由題意得，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線(xiàn)y＝－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則y0＝(y1＋y2)＝＝(|AF|＋|BF|)－≥|AB|－＝.(當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取等號(hào))． 答案：A 6．[2019·安徽示范高中聯(lián)考]設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為(　　) A．4或8 B．2或4 C．2或8 D．4或16 解析：拋物線(xiàn)C的方程為y2＝2px(p>0)， ∴F，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－.如圖，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為K，則|KF|＝p.過(guò)M作MP平行于x軸交準(zhǔn)線(xiàn)于P，則|MP|＝|MF|＝5.取MF的中點(diǎn)為N，過(guò)N作NQ平行于x軸交準(zhǔn)線(xiàn)于Q，交y軸于A，則|NQ|＝＝＋，|AN|＝|NQ|－＝＝，∴以MF為直徑的圓與y軸相切，A為切點(diǎn)，即A(0,2)， ∴N，故M，∴16＝2p，p2－10p＋16＝0，∴p＝2或p＝8，故選C. 答案：C 7．[2019·湖南四校調(diào)研]已知F是拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：通解：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l：x＝－2與x軸交于點(diǎn)F′，作MB⊥l于點(diǎn)B，NA⊥l于點(diǎn)A，則|AN|＝2，|FF′|＝4.在直角梯形ANFF′中，由中位線(xiàn)定理，知|BM|＝＝3.由拋物線(xiàn)的定義，知|MF|＝|MB|＝3，結(jié)合題意，有|MN|＝|MF|＝3，所以|FN|＝|FM|＋|MN|＝6，故選B. 優(yōu)解：設(shè)N(0，a)，由題意知F(2,0)，則M，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，所以＝8，解得a＝±4，所以N(0，±4)，所以|FN|＝＝6，故選B. 答案：B 8．[2019·山西第一次聯(lián)考]已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為M，N，若|MN|＝4，|NF|＝4，則p＝(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：通解：易得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l：x＝－.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可得F，M，N，故|MF|2＝2＋(y1－0)2＝p2＋y，即(4)2＝p2＋y，即y＝48－p2.|NF|2＝2＋(y2－0)2＝p2＋y，即42＝p2＋y，即y＝16－p2.又直線(xiàn)PQ過(guò)焦點(diǎn)F，所以y1y2＝－p2，所以(y1y2)2＝(－p2)2，即yp＝(48－p2)(16－p2)＝p4，整理得p2＝12，所以p＝2. 優(yōu)解：根據(jù)題意，得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－，F(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為x＝ty＋，與拋物線(xiàn)方程y2＝2px聯(lián)立，得y2－2pty－p2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2＝－p2，設(shè)MN與x軸的交點(diǎn)為H，則由題意可得M，N，＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，·＝p2＋y1y2＝0，故MF⊥NF，所以|MN|＝＝8，所以由等面積法可得p＝|FH|＝＝＝2. 答案：C 9．[2019·惠州調(diào)研]設(shè)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)C，若＝，則|AF|＝(　　) A. B．4 C．3 D．2 解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線(xiàn)的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程得，k2x2－4(1＋k2)x＋4k2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1·x2＝4?、?分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AA1，BB1，垂足分別為點(diǎn)A1，B1，則＝＝＝＝，即5x1－2x2＋3＝0　②，由①②得x1＝1或x1＝－(舍去)，∴|AF|＝x1＋1＝2，故選D. 答案：D 10．[2019·山西八校聯(lián)考]已知A是拋物線(xiàn)y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上的射影是點(diǎn)C，B是圓D：(x－3)2＋(y－2)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AB|＋|AC|的最小值是________． 解析：圓D：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圓心為D(3,2)，半徑r＝1.拋物線(xiàn)y2＝－4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(－1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝1.如圖，設(shè)點(diǎn)A在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為點(diǎn)H，則|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AH|－1.連接AF，由拋物線(xiàn)的定義可知|AH|＝|AF|，∴|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AF|－1.易知D，B，A，F(xiàn)四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|AB|＋|AF|取得最小值，連接DF，則(|AB|＋|AF|)min＝|DF|－r＝－1＝2－1，∴(|AB|＋|AC|)min＝2－2. 答案：2－2 21