2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

34函數(shù)的應(yīng)用(一)1能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題2能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題幾類常見的函數(shù)模型1一次函數(shù)ykxb中k的取值是如何影響其圖象和性質(zhì)的？答案當(dāng)k>0時(shí)直線必經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)直線必經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)由哪些因素決定？答案二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)由開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)位置決定a決定拋物線的開口方向，直線x決定對(duì)稱軸的位置，決定頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)另外其單調(diào)性由開口方向及對(duì)稱軸決定3判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)ykx8(k0)在R上是增函數(shù)()(2)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的最大值是.()(3)分段函數(shù)中每一段的模型可以是一次函數(shù)或二次函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)題型一用一、二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例1】某商場(chǎng)經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場(chǎng)銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系：銷售單價(jià)x(元)30404550日銷售量y(件)6030150(1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤思路導(dǎo)引(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)，選擇合適的模型，從而用待定系數(shù)法求解；(2)日銷售利潤P每件利潤×銷量解(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出各點(diǎn)，如圖這些點(diǎn)近似地分布在一條直線上，猜想y與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)f(x)kxb(k0，且k，b為常數(shù))，則解得f(x)3x150，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(45,15)，點(diǎn)(50,0)也在此直線上y與x之間的函數(shù)解析式為y3x150(30x50)(2)由題意，得P(x30)(3x150)3x2240x45003(x40)2300(30x50)當(dāng)x40時(shí)，P有最大值300.故銷售單價(jià)為40元時(shí)，日銷售利潤最大在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題針對(duì)訓(xùn)練1.有l(wèi)米長的鋼材，要做成如右圖所示的窗框：上半部分為半圓，下半部分為四個(gè)全等的小矩形組成的矩形，則小矩形的長與寬之比為多少時(shí)，窗戶所通過的光線最多？并求出窗戶面積的最大值解設(shè)小矩形的長為x，寬為y，窗戶的面積為S，則由圖可得9xx6yl，所以6yl(9)x，所以Sx24xyx2xl(9)xx2lx2.要使窗戶所通過的光線最多，只需窗戶的面積S最大由6y>0，得0<x<.因?yàn)?<<，所以當(dāng)x，y，即時(shí)，窗戶的面積S有最大值，且Smax.題型二用冪函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例2】在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下，當(dāng)氣體通過圓形管道時(shí)，其流量R與管道半徑r的四次方成正比(1)寫出函數(shù)解析式；(2)假設(shè)氣體在半徑為3 cm的管道中的流量為400 cm3/s，求該氣體通過半徑為r cm的管道時(shí)，其流量R的表達(dá)式；(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5 cm，計(jì)算該氣體的流量(精度為1 cm3/s)解(1)由題意得Rkr4(k是大于0的常數(shù))(2)由r3 cm，R400 cm3/s，得k·34400，k，流量R的表達(dá)式為R·r4.(3)R·r4，當(dāng)r5 cm時(shí)，R×543086(cm3/s)利用冪函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟(1)設(shè)出函數(shù)關(guān)系式(2)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式(3)根據(jù)題意，利用得出的函數(shù)關(guān)系式解決問題針對(duì)訓(xùn)練2某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？解(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)k1x(x0)，g(x)k2(x0)，結(jié)合已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬元，則投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品(20x)萬元，依題意得獲得收益為yf(x)g(20x)(0x20)，令t(0t2)，則x20t2，所以y(t2)23，所以當(dāng)t2，即x16時(shí)，y取得最大值，ymax3.故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品4萬元時(shí)，可使投資獲得最大收益，最大收益是3萬元.題型三用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例3】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))思路導(dǎo)引用待定系數(shù)法確定v(x)的表達(dá)式，再確定f(x)解(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60×201200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)x2x(x2200x)(x100)2，所以當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/時(shí)構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn)建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對(duì)每一區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式針對(duì)訓(xùn)練3某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛旅游點(diǎn)規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入(即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費(fèi)后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式(2)試問日凈收入最多時(shí)每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？解(1)當(dāng)x6時(shí)，y50x115，令50x115>0，解得x>2.3.又因?yàn)閤N，x3，所以3x6，且xN.當(dāng)6<x20，且xN時(shí)，y503(x6)x1153x268x115，綜上可知yf(x)(2)當(dāng)3x6，且xN時(shí)，因?yàn)閥50x115是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時(shí)，ymax185元當(dāng)6<x20，且xN時(shí)，y3x268x11532，所以當(dāng)x11時(shí)，ymax270元綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時(shí)才能使日凈收入最多，為270元課堂歸納小結(jié)解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型，這是解應(yīng)用問題的難點(diǎn)所在；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.1某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費(fèi)為：電動(dòng)自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛若該天普通自行車存車x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()Ay0.2x(0x4000)By0.5x(0x4000)Cy0.1x1200(0x4000)Dy0.1x1200(0x4000)解析由題意得y0.3(4000x)0.2x0.1x1200.(0x4000)答案C2某公司市場(chǎng)營銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是()A310元B300元C390元D280元解析由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y(tǒng)500x300(x0)，當(dāng)x0時(shí)，y300.答案B3下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是()這幾年生活水平逐年得到提高；生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；雖然2016年生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善A1B2C3D4解析由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在20142015年最陡；故正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在20152016年最平緩，故不正確；“生活價(jià)格指數(shù)”略呈下降，而“生活費(fèi)收入指數(shù)”呈上升趨勢(shì)，故正確答案C4李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.(1)當(dāng)x10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；(2)在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_解析(1)x10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付(6080)10130元(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元，當(dāng)y<120元時(shí)，李明得到的金額為y×80%，符合要求；當(dāng)y120元時(shí)，有(yx)×80%y×70%恒成立，即8(yx)7y，x，因?yàn)閙in15，所以x的最大值為15.答案(1)130(2)155.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上(1)設(shè)MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值解(1)如圖所示，延長NP交AF于點(diǎn)Q，所以PQ8y，EQx4.在EDF中，所以.所以yx10，定義域?yàn)?,8(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則Sxyx(x10)250.又x4,8，所以當(dāng)x8時(shí)，S取最大值48.課后作業(yè)(二十四)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購，也可以自己生產(chǎn)如果外購，每個(gè)配件的價(jià)格是1.10元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個(gè)配件的材料和勞力需0.60元，則決定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算)是()A1000件B1200件C1400件D1600件解析設(shè)生產(chǎn)x件時(shí)自產(chǎn)合算，由題意得1.1x8000.6x，解得x1600，故選D.答案D2生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本(單位：萬元)為C(x)x22x20.已知1萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A36萬件B22萬件C18萬件D9萬件解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)取最大值答案C3某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A15B40C25D130解析若4x60，則x15>10，不合題意；若2x1060，則x25，滿足題意；若1.5x60，則x40<100，不合題意故擬錄用25人答案C4某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A45.606萬元B45.6萬元C45.56萬元D45.51萬元解析依題意，可設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15x)輛，故總利潤S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(0x15)，對(duì)稱軸為直線x10.2，又xN*，當(dāng)x10時(shí)，Smax45.6.答案B5根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30 min，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15 min，那么c和A的值分別是()A75,25B75,16C60,25D60,16解析由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為30，解得c60.將c60代入15，得A16.答案D二、填空題6若等腰三角形的周長為20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為_解析由題意，得2xy20，y202x.y>0，202x>0，x<10.又三角形兩邊之和大于第三邊，解得x>5，5<x<10，故所求函數(shù)的解析式為y202x(5<x<10)答案y202x(5<x<10)7某種型號(hào)的汽車緊急剎車后滑行的距離y(km)與剎車時(shí)的速度x(km/h)的關(guān)系可以用yax2來描述，已知這種型號(hào)的汽車在速度為60 km/h時(shí)，緊急剎車后滑行的距離為b km.若一輛這種型號(hào)的汽車緊急剎車后滑行的距離為3b km，則這輛車的行駛速度為_km/h.解析由題意得a×602b，解得a，所以yx2.因?yàn)閥3b，所以x23b，解得x60(舍去)或x60，所以這輛車的行駛速度是60 km/h.答案608某商店每月按出廠價(jià)每瓶3元購進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若零售價(jià)定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價(jià)每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為_元/瓶解析設(shè)銷售價(jià)每瓶定為x元，利潤為y元，則y(x3)80(x3)(9x)80(x6)2720(x3)，所以x6時(shí)，y取得最大值答案6三、解答題9某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：P(tN*)設(shè)該商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q40t(0<t30，tN*)，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？解設(shè)日銷售金額為y(元)，則yPQ，所以y(tN*)當(dāng)0<t<25且tN*時(shí)，y(t10)2900，所以當(dāng)t10時(shí)，ymax900(元)當(dāng)25t30且tN*時(shí)，y(t70)2900，所以當(dāng)t25時(shí)，ymax1125(元)結(jié)合得ymax1125(元)因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時(shí)日銷售金額達(dá)到最大10醫(yī)院通過撒某種藥物對(duì)病房進(jìn)行消毒已知開始撒放這種藥物時(shí)，濃度激增，中間有一段時(shí)間，藥物的濃度保持在一個(gè)理想狀態(tài)，隨后藥物濃度開始下降若撒放藥物后3小時(shí)內(nèi)的濃度變化可用下面的函數(shù)表示，其中x表示時(shí)間(單位：小時(shí))，f(x)表示藥物的濃度：f(x)(1)撒放藥物多少小時(shí)后，藥物的濃度最高？能維持多長時(shí)間？(2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時(shí)，那么在撒放藥物后，能否達(dá)到消毒要求？并簡(jiǎn)要說明理由解(1)當(dāng)0<x1時(shí)，f(x)x24x40(x2)244，f(x)在(0,1上是增函數(shù)，其最大值為f(1)43；f(x)在(2,3上單調(diào)遞減，故當(dāng)2<x3時(shí)，f(x)<3×24842.因此，撒放藥物1小時(shí)后，藥物的濃度最高為43，并維持1小時(shí)(2)當(dāng)0<x1時(shí)，令f(x)41.75，即(x2)24441.75，解得x3.5(舍去)或x0.5；當(dāng)2<x3時(shí)，令f(x)41.75，即3x4841.75，解得x2.08.因此藥物濃度在41.75以上的時(shí)間為2.080.51.58小時(shí)，撒放藥物后，能夠達(dá)到消毒要求綜合運(yùn)用11擬定從甲地到乙地通話m min的電話費(fèi)f(m)1.06·(0.50m1)，其中m>0，m是大于或等于m的最小整數(shù)(如33，3.74，5.26)，則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5 min的通話費(fèi)為()A3.71B3.97C4.24D4.77解析5.5 min的通話費(fèi)為f(5.5)1.06×(0.50×5.51)1.06×(0.50×61)1.06×44.24.答案C12某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物定一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是_解析設(shè)新價(jià)為b，則售價(jià)為b(120%)原價(jià)為a，進(jìn)價(jià)為a(125%)依題意，有b(120%)a(125%)b(120%)×25%，化簡(jiǎn)得ba，yb×20%·xa×20%·x，即yx(xN*)答案yx(xN*)13漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為m(m>0)，為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量已知魚群的年增長量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_該函數(shù)的定義域是_解析根據(jù)題意知，空閑率是，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是ykx·，0<x<m.答案ykx·x|0<x<m14國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)不超過30，游客需付給旅行社飛機(jī)票每張900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)每團(tuán)15000元(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？解(1)由題意，得y即y(2)設(shè)旅行社獲利S(x)元，則S(x)即S(x)因?yàn)镾(x)900x15000在區(qū)間(0,30上為增函數(shù)，所以當(dāng)x30時(shí)，S(x)取最大值12000元，又S(x)10(x60)221000在區(qū)間(30,75上，當(dāng)x60時(shí)，S(x)取得最大值21000.故當(dāng)每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤14