2019屆高考數(shù)學總復習 模塊三 數(shù)列 第10講 數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列學案 理

第10講數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列1.(1)2014·全國卷數(shù)列an滿足an+1=11-an,a8=2,則a1=. (2)2018·全國卷記Sn為數(shù)列an的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=. 試做   命題角度數(shù)列的遞推問題(1)解決數(shù)列的遞推問題:關(guān)鍵一,利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2得出an與an+1(或an-1)的遞推式;關(guān)鍵二,觀察遞推式的形式,采用不同的方法求an.(2)若遞推式形如an+1=an+f(n),an+1=f(n)·an,則可分別通過累加、累乘法求得通項公式,或用迭代法求得通項公式;若遞推式形如an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),且p1),則通?；癁閍n+1-t=p(an-t)的形式,其中t=q1-p,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.2.(1)2017·全國卷等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項的和為()A.-24B.-3C.3D.8(2)2016·全國卷設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為. 試做  命題角度等差、等比數(shù)列的基本計算關(guān)鍵一:基本量思想(等差數(shù)列:首項a1和公差d.等比數(shù)列:首項a1和公比q).關(guān)鍵二:等差數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q(m,n,p,qN*),則an+am=ap+aq;等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q(m,n,p,qN*),則anam=apaq.3.(1)2017·全國卷等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則k=1n1Sk=. (2)2015·全國卷設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=. 試做  命題角度數(shù)列求和關(guān)鍵一:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求解.關(guān)鍵二:利用數(shù)列求和方法(公式法、倒序相加法、分組求和法、并項求和法、錯位相減法、裂項相消法)求解.小題1數(shù)列的遞推關(guān)系1 (1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若3Sn=2an-3n,則a2018= ()A.22018-1B.32018-6C.122018-72D.132018-103(2)已知數(shù)列an滿足a1=15,an+1-ann=2(nN*),則ann的最小值為. 聽課筆記    【考場點撥】由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式,常用的方法有:求出數(shù)列的前幾項,再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式(注意驗證);將已知遞推關(guān)系式整理、變形得到等差或等比數(shù)列的通項公式,或用累加法(適用于an+1=an+f(n)型)、累乘法(適用于an+1=an·f(n)型)、待定系數(shù)法(適用于an+1=pan+q型)求通項公式.【自我檢測】1.數(shù)列an滿足a1=1,且對任意的m,nN*,都有am+n=am+an+mn,則1a1+1a2+1a3+1a2017等于 ()A.20162017B.20172018C.20171009D.402420172.定義各項均不為0的數(shù)列an:a1=1,a2=1,當n3時,an=an-1+an-12an-2.定義各項均不為0的數(shù)列bn:b1=1,b2=3,當n3時,bn=bn-1+bn-12bn-2.則b2017a2018=()A.2017B.2018C.2019D.10093.在數(shù)列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,則數(shù)列an的前2018項和S2018=. 4.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且an+Sn=3n-1,則數(shù)列an的通項公式an=. 小題2等差、等比數(shù)列的基本計算2 (1)已知數(shù)列an的前n項和Sn=2n+1-2,bn=log2(an2·2an),數(shù)列bn的前n項和為Tn,則滿足Tn>1024的n的最小值為()A.9B.10C.12D.15(2)已知等差數(shù)列an中,a3=7,a9=19,Sn為數(shù)列an的前n項和,則Sn+10an+1的最小值為. 聽課筆記    【考場點撥】等差、等比數(shù)列問題的求解策略:(1)抓住基本量,首項a1、公差d或公比q;(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征,如前n項和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式為an=p·qn-1(p,q0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列;(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常采用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算.【自我檢測】1.已知數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,若a1,a3,a2成等差數(shù)列,則公比q的值為()A.-12B.-2C.1或-12D.-1或122.等比數(shù)列an的首項為3,公比q1,若a4,a3,a5成等差數(shù)列,則數(shù)列an的前5項和S5=()A.-31B.33C.45D.933.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當Sn取得最小值時,n的值為. 4.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=9,a5=1,則使得Sn>0成立的n的最大值為. 小題3等差、等比數(shù)列的性質(zhì)3 (1)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的兩個根,則S13=()A.58B.54C.56D.52(2)已知數(shù)列an的各項都為正數(shù),對任意的m,nN*,am·an=am+n恒成立,且a3·a5+a4=72,則log2a1+log2a2+log2a7=. 聽課筆記    【考場點撥】等差、等比數(shù)列性質(zhì)使用的注意點:(1)通項性質(zhì):若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),則對于等差數(shù)列有am+an=ap+aq=2ak,對于等比數(shù)列有aman=apaq=ak2.(2)前n項和的性質(zhì):對于等差數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等差數(shù)列;對于等比數(shù)列,若有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比數(shù)列,則僅在q-1,或q=-1且m為奇數(shù)時滿足.【自我檢測】1.已知數(shù)列an為等差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,且滿足a2017+a2018=,b202=4,則tana2+a4033b1b39= ()A.-1B.22C.1D.32.已知等比數(shù)列an中,a5=2,a6a8=8,則a2018-a2016a2014-a2012=()A.2B.4C.6D.83.已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且S10=10,S30=130,則S40= ()A.-510B.400C.400或-510D.30或404.已知等差數(shù)列an的公差不為0,a1=1,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,an的前n項和為Sn,則Sn= ()A.n(n+1)2B.(n+1)22C.n2+12D.n(n+3)4小題4等差、等比數(shù)列的綜合問題4 (1)已知等差數(shù)列an的前n項和為Tn,a3=4,T6=27,數(shù)列bn滿足bn+1=b1+b2+b3+bn,b1=b2=1,設(shè)cn=an+bn,則數(shù)列cn的前11項和S11= ()A.1062B.2124C.1101D.1100(2)已知數(shù)列an的通項公式為an=n+t(tR),數(shù)列bn為公比小于1的等比數(shù)列,且滿足b1·b4=8,b2+b3=6,設(shè)cn=an+bn2+|an-bn|2,在數(shù)列cn中,若c4cn(nN*),則實數(shù)t的取值范圍為.  聽課筆記    【考場點撥】解決數(shù)列的綜合問題的易失分點:(1)公式an=Sn-Sn-1適用于所有數(shù)列,但易忽略n2這個前提;(2)對含有字母的等比數(shù)列求和時要注意q=1或q1的情況,公式Sn=a1(1-qn)1-q只適用于q1的情況.【自我檢測】1.已知數(shù)列an的各項均為整數(shù),a8=-2,a13=4,前12項依次成等差數(shù)列,從第11項起依次成等比數(shù)列,則a15=()A.8B.16C.64D.1282.已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1a6=2a3,a4與2a6的等差中項為32,則S5= ()A.315325B.30C.31D.3153243.當n為正整數(shù)時,定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù),如N(3)=3,N(10)=5.若S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+N(2n),則S(5)=()A.342B.345C.341D.3464.已知等比數(shù)列an滿足a2a5=2a3,且a4,54,2a7成等差數(shù)列,則a1·a2··an的最大值為. 模塊三數(shù)列第10講數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列典型真題研析1.(1)12(2)-63解析 (1)由題易知a8=11-a7=2,得a7=12;a7=11-a6=12,得a6=-1;a6=11-a5=-1,得a5=2,于是可知數(shù)列an具有周期性,且周期為3,所以a1=a7=12.(2)方法一:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,又由Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n2),得Sn=2Sn-1-1(n2),即Sn-1=2(Sn-1-1)(n2),所以數(shù)列Sn-1是以S1-1=-2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以S6-1=(-2)×25=-64,則S6=-63.方法二:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1.由Sn=2an+1,得Sn-1=2an-1+1(n2),-得an=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2),所以an是以a1=-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,于是S6=(-1)×(1-26)1-2=-63.2.(1)A(2)64解析 (1)an為等差數(shù)列,且a2,a3,a6成等比數(shù)列,則a32=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).將a1=1代入上式并化簡,得d2+2d=0,d0,d=-2,S6=6a1+6×52d=1×6+6×52×(-2)=-24.(2)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,則q=a2+a4a1+a3=12,可得a1+14a1=10,得a1=8,所以an=8×12n-1=12n-4.所以a1a2an=12-3-2-1+0+(n-4)=12 12(n2-7n),易知當n=3或n=4時,12(n2-7n)取得最小值-6,故a1a2an的最大值為12-6=64.3.(1)2nn+1(2)-1n解析 (1)設(shè)公差為d,則a1+2d=3且4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以Sk=k(k+1)2,1Sk=21k-1k+1,所以k=1n1Sk=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.(2)因為a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn+1-1Sn=-1,所以數(shù)列1Sn是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以1Sn=-n,所以Sn=-1n.考點考法探究小題1例1(1)A(2)274解析 (1)由題意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),兩式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,即an+1=-2an-3,即an+1+1=-2(an+1),由3S1=2a1-3=3a1,可得a1=-3,a1+1=-2,數(shù)列an+1是首項為-2,公比為-2的等比數(shù)列,據(jù)此有a2018+1=(-2)×(-2)2017=22018,a2018=22018-1.(2)由an+1-ann=2,得an+1-an=2n,a1=15,當n2時,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=15+2+4+2(n-1)=15+2×n(n-1)2=n2-n+15,a1=15滿足上式,an=n2-n+15,ann=n+15n-1,易知當n依次取1,2,3時,n+15n-1的值遞減;當n取大于或等于4的自然數(shù)時,n+15n-1的值遞增.當n=3時,ann=3+5-1=7;當n=4時,ann=4+154-1=274.故ann的最小值為274.【自我檢測】1.C解析 an+m=am+an+mn對任意的m,nN*都成立,an+1=an+a1+n=an+1+n,即an+1-an=1+n,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2),把上面(n-1)個式子相加可得,an-a1=2+3+4+n,an=1+2+3+n=n(n+1)2(n2),當n=1時,a1=1,滿足上式,an=n(n+1)2,從而有1an=2n(n+1)=21n-1n+1,1a1+1a2+1a3+1a2017=2×1-12+12-13+12017-12018=20171009.2.D解析 當n3時,由an=an-1+an-12an-2兩邊同除以an-1,可得anan-1=1+an-1an-2,即anan-1-an-1an-2=1,則數(shù)列anan-1是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以anan-1=n-1(n2),所以an=a1×a2a1×a3a2××anan-1=1×1×2××(n-1)(n2).同理可得bnbn-1-bn-1bn-2=1(n3),則數(shù)列bnbn-1是首項為3,公差為1的等差數(shù)列,所以bnbn-1=n+1(n2),可得bn=b1×b2b1×b3b2××bnbn-1=1×3×4××(n+1)(n2),所以b2017a2018=1×3×4××20181×1×2××2017=1009,故選D.3.3解析 a1=0,an+1=3+an1-3an,a2=31=3,a3=3+31-3×3=23-2=-3,a4=3-31+3×3=0,數(shù)列an具有周期性,其周期為3,且a1+a2+a3=0,則S2018=S3×672+2=a1+a2=3.4.3-12n-2解析 由an+Sn=3n-1,得當n2時,an-1+Sn-1=3n-4,兩式相減得an=12an-1+32,an-3=12(an-1-3).當n=1時,a1+S1=3-1=2,a1=1,a1-3=-2,數(shù)列an-3是以-2為首項,12為公比的等比數(shù)列,an-3=-2·12n-1,an=3-12n-2.小題2例2(1)A(2)3解析 (1)因為數(shù)列an的前n項和Sn=2n+1-2,所以當n2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,當n=1時,a1=21+1-2=2,滿足上式,所以an=2n,所以bn=log2(an2·2an)=log2an2+log22an=2n+2n,所以數(shù)列bn的前n項和Tn=n(2+2n)2+2(1-2n)1-2=n(n+1)+2n+1-2,易知當nN*時,Tn遞增.當n=9時,T9=9×10+210-2=1112>1024;當n=8時,T8=8×9+29-2=582<1024.所以滿足Tn>1024的n的最小值為9.(2)a3=7,a9=19,公差d=a9-a39-3=19-76=2,an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2),Sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12(n+1)+9n+112×2(n+1)·9n+1=3,當且僅當n=2時取等號.【自我檢測】1.C解析 由題意知2a3=a1+a2,2a1q2=a1q+a1,即2q2=q+1,q=1或q=-12.2.B解析 等比數(shù)列an的首項為3,an=3qn-1,又a4,a3,a5成等差數(shù)列,a4+a5=2a3,q2+q=2,(q+2)(q-1)=0,q=-2,an=3·(-2)n-1,S5=3×1-(-2)51-(-2)=33,故選B.3.6解析 設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得d=2,所以Sn=-11n+n(n-1)2×2=n2-12n=(n-6)2-36,所以當n=6時,Sn取得最小值.4.9解析 因為a1=9,a5=1,所以公差d=1-94=-2,所以Sn=9n+12n(n-1)(-2)=10n-n2,令Sn>0,得0<n<10,所以使得Sn>0成立的n的最大值為9.小題3例3(1)D(2)21解析 (1)由根與系數(shù)的關(guān)系可得a4+a10=8,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a13=a4+a10=8,則S13=13×(a1+a13)2=13×82=52.(2)令m=1,am·an=am+n,a1·an=a1+n,數(shù)列an為等比數(shù)列.由a3·a5+a4=72,得a42+a4=72,a4>0,a4=8,log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1·a2··a7)=log2a47=log287=21.【自我檢測】1.C解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a2+a4033=a2017+a2018=,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,b1b39=b202=4,所以tana2+a4033b1b39=tan4=1,故選C.2.A解析 設(shè)數(shù)列an的公比為q.數(shù)列an是等比數(shù)列,a6a8=a72=8,a7=22(與a5同號),q2=a7a5=2,a2018-a2016a2014-a2012=q4=(2)2=2.故選A.3.B解析 正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等比數(shù)列,10×(130-S20)=(S20-10)2,解得S20=40或S20=-30(舍),故S40-S30=270,S40=400,故選B.4.A解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0).a2,a4,a8成等比數(shù)列,a42=a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+7d),(1+3d)2=(1+d)·(1+7d),d=1,Sn=n+n(n-1)2=n(n+1)2.故選A.小題4例4(1)C(2)-4,-2解析 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a1+2d=4,6a1+15d=27,解得a1=2,d=1,數(shù)列an的通項公式為an=n+1.當n2時,bn+1-bn=bn,bn+1=2bn,即數(shù)列bn從第二項起為等比數(shù)列,bn=2n-2(n2),數(shù)列bn的通項公式為bn=1,n=1,2n-2,n2.分組求和可得數(shù)列cn的前11項和S11=(2+3+4+12)+(1+1+2+22+29)=77+210=1101.(2)在等比數(shù)列bn中,由b1·b4=8得b2·b3=8,又b2+b3=6,且公比q小于1,b2=4,b3=2,q=b3b2=12,因此bn=b2qn-2=4×12n-2=12n-4.由cn=an+bn2+|an-bn|2,得cn=bn(anbn),an(an>bn),cn是取an,bn中的較大者.由題易知c4是數(shù)列cn中的最小項,又bn=12n-4遞減,an=n+t遞增,當c4=a4時,c4cn,即a4cn,a4是數(shù)列cn中的最小項,則必須滿足b4<a4b3,即124-4<4+t123-4,解得-3<t-2;當c4=b4時,c4cn,即b4cn,b4是數(shù)列cn中的最小項,則必須滿足a4b4a5,即4+t124-45+t,解得-4t-3.綜上所述,實數(shù)t的取值范圍是-4,-2.【自我檢測】1.B解析 設(shè)由數(shù)列an的前12項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,從第11項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,由a13=a122a11=(-2+4d)2-2+3d=4,解得d=1或d=34,又數(shù)列an的各項均為整數(shù),故d=1,所以q=a13a12=2,所以an=n-10,n12,2n-11,n13,故a15=24=16,故選B.2.C解析 設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q,q>0.a1a6=2a3,a4與2a6的等差中項為32,a12q5=2a1q2,a1(q3+2q5)=3,得a1=16,q=12,則S5=16×1-1251-12=31.3.A解析 由題設(shè)知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,S(n)=1+3+5+(2n-1)+N(2)+N(4)+N(6)+N(2n)=4n-1+N(1)+N(2)+N(3)+N(2n-1)=4n-1+S(n-1)(n2),又S(1)=N(1)+N(2)=2,S(n)=4n-1+4n-2+41+2=4n+23,S(5)=45+23=342.故選A.4.1024解析 設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知得a3a4=a2a5=2a3a4=2,a4+2a7=2×54a7=14,a7a4=18=q3,q=12=2-1,a1=a4q3=24,an=24·2-(n-1)=25-n,a1·a2··an=24×23××25-n=24+3+(5-n)=2n4+(5-n)2=2-n2+9n2=2-(n-92)2+8142,當n=4或5時,a1·a2··an取得最大值1024.備選理由 例1為由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式問題,難度較大;例2考查等比數(shù)列前n項和中參數(shù)的計算,不同于原例2只考查等差、等比數(shù)列的基本量的計算;例3考查等比數(shù)列的計算,采用整體求解比較方便;例4為等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題;例5是一道等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題.例1配例1使用 已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=13,若anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n2,nN*),則數(shù)列an的通項公式為an=. 答案 12n-1解析 anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n2,nN*),1an+1+2an-1=3an,即1an+1-1an=21an-1an-1,又1a2-1a1=2,數(shù)列1an+1-1an是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,1an+1-1an=2n,當n2時,1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1+1a1=2n-1+2n-2+2+1=2n-12-1=2n-1.當n=1時,1a1=1,滿足上式,1an=2n-1,an=12n-1.例2配例2使用 已知等比數(shù)列an的前n項和Sn=32n-1+r,則r的值為 ()A.13B.-13C.19D.-19解析 B當n=1時,a1=S1=3+r;當n2時,an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=8·32n-3=8·32n-2·3-1=83·9n-1.數(shù)列an為等比數(shù)列,3+r=83,r=-13,故選B.例3配例2使用 在等比數(shù)列an中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a8+a9+a10=. 答案 128解析 設(shè)數(shù)列an的公比為q.a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q=2,q=2,a8+a9+a10=(a1+a2+a3)q7=27=128.例4配例3使用 在等差數(shù)列an中,其前n項和為Sn,若2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則S13+2a7=()A.17B.26C.30D.56解析 C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a7=2a4,a9+a11=2a10,則有6a4+6a10=24,即a1+6d=2,所以S13=13a1+13×122d=13(a1+6d)=26,2a7=2(a1+6d)=4,所以S13+2a7=30.例5配例4使用 已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比q1,且a2,12a3,a1成等差數(shù)列,則a4+a5a2+a3的值為()A.1+52B.3+52C.5-12D.3-52或3+52解析 B由題得12a3×2=a2+a1,a1q2=a1q+a1,q=1+52,a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=3+52.14