2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 15

2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 15 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分． 1． 曲線在點(diǎn)（1,－1）處的切線方程是 ▲ ． 2． 若（R，i為虛數(shù)單位），則ab= ▲ ． 3．命題“若實(shí)數(shù)a滿足，則”的否命題是 ▲ 命題（填“真”、“假”之一）． 4． 把一個(gè)體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1 cm3的27個(gè)小正方體，現(xiàn) 從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 ▲ ． 5． 某教師出了一份三道題的測(cè)試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例 分別為30％、50％、10％和10％，則全班學(xué)生的平均分為 ▲ 分． 6．設(shè)和都是元素為向量的集 合，則M∩N= ▲ ． 7． 在如圖所示的算法流程圖中，若輸入m = 4，n = 3，則輸出的 a= ▲ ． 8．設(shè)等差數(shù)列的公差為正數(shù)，若 則 ▲ ． 9．設(shè)是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： ▲ （用代號(hào)表示）． 10．定義在R上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，．下列四個(gè) 不等關(guān)系：；；；． 其中正確的個(gè)數(shù)是 ▲ ． 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，△ABC 的頂點(diǎn) C在雙曲線的右支上，則的值是 ▲ ． 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)、，定義：． 已 知點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則使取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ▲ ． 13．若實(shí)數(shù)x，y，z，t滿足，則的最小值為 ▲ ． 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)，使得 =，則的取值范圍是 ▲ ． 【填空題答案】 1. x－y－2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. ①③④②（或②③④①） 10. 1 11. 12.  13.   14. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 如圖，平面平面，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO 的中點(diǎn)，，．求證： （1）平面； （2）∥平面． 【證明】由題意可知，為等腰直角三角形， 為等邊三角形． …………………2分 （1）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以， 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面? 平面，所以面． …………………5分 因?yàn)槠矫?，所以? 在等腰三角形內(nèi)，，為所在邊的中點(diǎn)，所以， 又，所以平面；…………………8分 （2）連AF交BE于Q，連QO． 因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)， 所以，且Q是△PAB的重心，…………………10分 于是，所以FG//QO. …………………12分 因?yàn)槠矫鍱BO，平面EBO，所以∥平面． …………………14分 【注】第（2）小題亦可通過(guò)取PE中點(diǎn)H，利用平面FGH//平面EBO證得. 16．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)． （1）設(shè)，且，求的值； （2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值． 【解】（1）==．……3分 由，得， ………………5分 于是，因?yàn)?，所以? ………………7分 （2）因?yàn)?，由?）知． ………………9分 因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以，于是. ① 在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a，b. 由余弦定理得，所以．  ② 由①②可得或 于是． ………………12分 由正弦定理得， 所以． ………………14分 17．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、， 上、下頂點(diǎn)分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓 關(guān)于直線對(duì)稱． （1）求橢圓E的離心率； （2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （3）若圓的面積為，求圓的方程． 【解】（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0）， 因?yàn)橹本€的傾斜角的正弦值為，所以， 于是，即，所以橢圓E的離心率 …………4分 （2）由可設(shè)，，則， 于是的方程為：， 故的中點(diǎn)到的距離， …………………………6分 又以為直徑的圓的半徑，即有， 所以直線與圓相切． …………………………8分 （3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而， …………………………10分 設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為， 則 …………………………12分 解得．所以，圓的方程為．…………………14分 18．（本小題滿分16分） 如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的 半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地． （1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為△RST，求場(chǎng)地的最大面積； （2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積． 【解】（1）如右圖，過(guò)S作SH⊥RT于H， S△RST=． ……………………2分 由題意，△RST在月牙形公園里， RT與圓Q只能相切或相離； ……………………4分 RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形， 則有RT≤4，SH≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立． 此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為S△RST==4（km2）． ……………………6分 （2）同(1)的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形， AD必須切圓Q于P，再設(shè)∠BPA=，則有 ． ……………………8分 令，則 ． ………………… 11分 若，， 又時(shí)，，時(shí)，， …………………14分 函數(shù)在處取到極大值也是最大值， 故時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為（km2）． …………………16分 19． （本小題滿分16分） 設(shè)定義在區(qū)間[x1， x2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向 量=，，=(x，y)，當(dāng)實(shí)數(shù)λ滿足x=λ x1+(1－λ) x2時(shí)，記向 量=λ+(1－λ)．定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1，x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指 “k恒成立”，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)． （1）設(shè)函數(shù) f(x)=x2在區(qū)間[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，求k的取值范圍； （2）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)k=下線性近似． （參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln(e－1)=0.541） 【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ， 所以B，N，A三點(diǎn)共線， ……………………2分 又由x=λ x1+(1－λ) x2與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標(biāo)相同． ……………4分 對(duì)于 [0，1]上的函數(shù)y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 則有，故； 所以k的取值范圍是． ……………………6分 （2）對(duì)于上的函數(shù)， A()，B()， ……………………8分 則直線AB的方程， ……………………10分 令，其中， 于是， ……………………13分 列表如下： x em (em，em+1－em) em+1－em (em+1－em，em+1) em+1 + 0 － 0 增 減 0 則，且在處取得最大值， 又0.123，從而命題成立． ……………………16分 20．(本小題滿分16分) 已知數(shù)列滿足． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存 在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為． 【解】（1）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 所以； 綜上所述，． ……………………3分 （2）當(dāng)時(shí)，若存在p，r使成等差數(shù)列，則， 因?yàn)椋?，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時(shí)不存在； …………5分 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以， ……………………7分 令，得，此時(shí)，， 所以，， 所以； 綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在p，r；當(dāng)時(shí)，存在滿足題設(shè). ……………………10分 （3）作如下構(gòu)造：，其中， 它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)， ……12分 顯然它們成等比數(shù)列，且，，所以它們能組成三角形． 由的任意性，這樣的三角形有無(wú)窮多個(gè)． ……………………14分 下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似： 若三角形和相似，且，則， 整理得，所以，這與條件相矛盾， 因此，任意兩個(gè)三角形不相似． 故命題成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小題當(dāng)ak不是質(zhì)數(shù)時(shí)，p，r的解不唯一； 2. 第（3）小題構(gòu)造的依據(jù)如下：不妨設(shè)，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因?yàn)槿?xiàng)均為整數(shù)，所以為內(nèi)的既約分?jǐn)?shù)且含平方數(shù)因子，經(jīng)驗(yàn)證，僅含或時(shí)不合，所以； 3．第（3）小題的構(gòu)造形式不唯一． 數(shù)學(xué)II（附加題） 21．【選做題】本題包括A，B，C，D四小題，請(qǐng)選定其中兩題作答，每小題10分，共計(jì)20分， 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． A．選修4—1：幾何證明選講 自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°， ∠BPC=40°，求∠MPB的大?。? 【解】因?yàn)镸A為圓O的切線，所以． 又M為PA的中點(diǎn)，所以． 因?yàn)椋裕? ………………5分 于是． 在△MCP中，由，得∠MPB=20°． ………………10分 B．選修4—2：矩陣與變換 已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值的一個(gè)特征向量為，屬于特征值 的一個(gè)特征向量為．求矩陣A． 【解】由特征值、特征向量定義可知，A， 即，得 ……………………5分 同理可得 解得．因此矩陣A． …………10分 C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為．以直角坐標(biāo)系原 點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．點(diǎn) P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值． 【解】化簡(jiǎn)為， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為． …………………4分 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得P到直線l的距離， 即，其中． …………………8分 當(dāng)時(shí)，． ………………10分 D．選修4—5：不等式選講 若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值． 【解】因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a+b+c=1， 所以，，………………5分 即， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取最小值1． ………………10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分． 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 22．在正方體中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1E＝λEO. （1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值； （2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值. 【解】(1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)， E， 于是，. 由cos＝＝. 所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. ……………………5分 （2）設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ……………………7分 由D1E＝λEO，則E，=. 又設(shè)平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0. 得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) . 因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2． ……………………10分 23．一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）設(shè)拋擲5次的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E； （2）求恰好得到n分的概率． 【解】（1）所拋5次得分的概率為P(＝i)= (i=5，6，7，8，9，10)， 其分布列如下： 5 6 7 8 9 10 P E== (分) . ……………………5分 （2）令pn表示恰好得到n分的概率. 不出現(xiàn)n分的唯一情況是得到n－1分以后再擲出一次反面. 因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)n分”的概率是1－pn，“恰好得到n－1分”的概率是pn－1， 因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是，所以有1－pn=pn－1， ……………………7分 即pn－=－. 于是是以p1－=－=－為首項(xiàng)，以－為公比的等比數(shù)列. 所以pn－=－，即pn＝. 答：恰好得到n分的概率是. …………………10分