2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2.1 函數(shù)奇偶性的概念學(xué)案 新人教A版必修第一冊

第1課時函數(shù)奇偶性的概念1理解函數(shù)奇偶性的定義2掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法3會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題函數(shù)的奇偶性溫馨提示：(1)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域(對照函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，以加深理解)(2)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，反之，若定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性1函數(shù)f(x)x21，f(x)，f(x)2x的圖象分別如圖所示：(1)各個圖象有怎樣的對稱性？(2)對于以上三個函數(shù)，分別計算f(x)，觀察對定義域內(nèi)的每一個x，f(x)與f(x)有怎樣的關(guān)系？答案(1)yx21的圖象關(guān)于y軸對稱；y和y2x的圖象關(guān)于原點對稱(2)對于f(x)x21，f(x)x21f(x)；對于f(x)，f(x)f(x)；對于f(x)2x，f(x)2xf(x)2判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交()(2)奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點()(3)函數(shù)f(x)x2，x1,2是偶函數(shù)()(4)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)f(x)0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)題型一函數(shù)奇偶性的判斷【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)思路導(dǎo)引借助奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)為偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)的定義域為1,1，關(guān)于原點對稱，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(3)函數(shù)f(x)的定義域為x|x1，不關(guān)于原點對稱，f(x)是非奇非偶函數(shù)(4)f(x)的定義域是(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當x>0時，x<0，f(x)1(2x)12xf(x)；當x<0時，x>0，f(x)1(2x)12xf(x)綜上可知，對于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)判斷函數(shù)奇偶性的2種方法(1)定義法(2)圖象法針對訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)xR，關(guān)于原點對稱，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)為偶函數(shù)(2)xR，關(guān)于原點對稱，又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(3)f(x)的定義域為1,0)(0,1，關(guān)于原點對稱，又f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱當x>0時，x<0，f(x)x2x(xx2)f(x)，當x<0時，x>0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).題型二奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象【典例2】已知奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，且在區(qū)間0,5上的圖象如圖所示(1)畫出在區(qū)間5,0上的圖象(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合思路導(dǎo)引根據(jù)奇函數(shù)圖象特征作出函數(shù)圖象，再求解解(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以yf(x)在5,5上的圖象關(guān)于原點對稱由yf(x)在0,5上的圖象，可知它在5,0上的圖象，如圖所示(2)由圖象知，使f(x)<0的x的取值集合為(2,0)(2,5)變式若將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，試畫出在區(qū)間5,0上的圖象解因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以yf(x)在5,5上的圖象關(guān)于y軸對稱由yf(x)在0,5上的圖象，可知它在5,0上的圖象，如圖所示巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題針對訓(xùn)練2定義在3，11,3上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示(1)請在坐標系中補全函數(shù)f(x)的圖象；(2)比較f(1)與f(3)的大小解(1)由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點對稱，其圖象如圖所示(2)觀察圖象，知f(3)<f(1).題型三利用函數(shù)的奇偶性求值【典例3】(1)若函數(shù)f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，定義域為a1,2a，則a_，b_；(2)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則a_.思路導(dǎo)引(1)先由定義域關(guān)于原點對稱確定a值，再利用偶函數(shù)的定義求b；(2)利用奇函數(shù)的定義求a值解析(1)函數(shù)f(x)在a1,2a上是偶函數(shù)，a12a0，得a.又f(x)f(x)，即x2bx1bx2bx1b對x均成立，b0.(2)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即.顯然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.答案(1)0(2)1利用奇偶性求參數(shù)的2種類型(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域為a，b，根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用ab0求參數(shù)(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解針對訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)為偶函數(shù)，則m的值是()A1B2C3D4解析由f(x)f(x)，得(m1)x2(m2)x(m27m12)(m1)x2(m2)x(m27m12)，所以m2.答案B4已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)x2，則f(1)_.解析f(x)為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)x2，f(1)f(1)2.答案2課堂歸納小結(jié)1一個條件：定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)的一個必要不充分條件2兩個性質(zhì)：函數(shù)為奇函數(shù)它的圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)為偶函數(shù)它的圖象關(guān)于y軸對稱3證明一個函數(shù)是奇函數(shù)，必須對f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)而證明一個函數(shù)不是奇函數(shù)，只要能舉出一個反例就可以了4熟悉常見函數(shù)的奇偶性：一次函數(shù)ykxb(k0)，當b0時是奇函數(shù)；當b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)y(k0)為奇函數(shù)yax2bxc(a0)，當b0時是偶函數(shù)，當b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).1函數(shù)yf(x)，x1，a(a>1)是奇函數(shù)，則a等于()A1B0C1D無法確定解析由1a0，得a1.選C.答案C2下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()AyxBy2x23CyDyx2，x0,1解析A項中的函數(shù)為奇函數(shù)；C、D選項中的函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；B項中的函數(shù)為偶函數(shù)故選B.答案B3函數(shù)f(x)x的圖象()A關(guān)于y軸對稱B關(guān)于直線yx對稱C關(guān)于坐標原點對稱D關(guān)于直線yx對稱解析函數(shù)f(x)x的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱，且f(x)(x)xf(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱答案C4若f(x)(xa)(x4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.解析由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)為偶函數(shù)，則a40，即a4.答案45已知yf(x)是偶函數(shù)，yg(x)是奇函數(shù)，它們的定義域都是3,3，且它們在0,3上的圖象如圖所示，求不等式<0的解集解由題知，yf(x)是偶函數(shù)，yg(x)是奇函數(shù)根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性畫出yf(x)，yg(x)在3，0上的圖象如圖所示由圖可知f(x)>00<x<2或2<x<0，g(x)>01<x<3或1<x<0.<0或可求得其解集是x|2<x<1或0<x<1或2<x<3課后作業(yè)(二十一)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Ay|x|By2xCyDyx28解析A、D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶，而C項中函數(shù)為奇函數(shù)答案C2下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是()解析選項A中的圖象關(guān)于原點或y軸均不對稱，故排除；選項C、D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，故排除；選項B中的圖象關(guān)于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù)故選B.答案B3已知yf(x)，x(a，a)，F(xiàn)(x)f(x)f(x)，則F(x)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)解析F(x)f(x)f(x)F(x)又x(a，a)關(guān)于原點對稱，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)答案B4對于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下面四個結(jié)論：若f(x)是偶函數(shù)，則f(2)f(2)；若f(2)f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；若f(2)f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；若f(2)f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)其中正確的個數(shù)為()A1B2C3D4解析正確；錯誤，僅兩個特殊的函數(shù)值相等不足以確定函數(shù)的奇偶性，需要滿足“任意”；正確；錯誤，反例：f(x)0滿足條件，該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)答案B5若f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，則g(x)ax3bx2cx是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù)D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析f(x)ax2bxc是偶函數(shù)，f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx.g(x)a(x)3c(x)g(x)，g(x)為奇函數(shù)答案A二、填空題6奇函數(shù)f(x)的定義域是(t,2t3)，則t_.解析由奇函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，知t2t30，得t1.答案17函數(shù)f(x)x3ax，若f(1)3，則f(1)的值為_解析xR，且f(x)x3axf(x)，f(x)是奇函數(shù)f(1)f(1)3.答案38設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)x21，則f(2)f(0)_.解析由題意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.答案5三、解答題9判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)x2|xa|1.解(1)由x10，得f(x)的定義域為x|x1，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)不具有奇偶性(2)1x1且x0，定義域為x|1x1，且x0f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(3)f(x)的定義域為R，f(x)x2|xa|1.又f(x)x2|xa|1，當a0時，f(x)f(x)，此時f(x)為偶函數(shù)；當a0時，|xa|xa|，此時f(x)不具有奇偶性10(1)如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值(2)如圖，給出偶函數(shù)yf(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大小解(1)奇函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點P(x，f(x)關(guān)于原點的對稱點為P(x，f(x)，圖為圖補充后的圖象，易知f(3)2.(2)偶函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點P(x，f(x)關(guān)于y軸的對稱點為P(x，f(x)，圖為圖補充后的圖象，易知f(1)>f(3)綜合運用11設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Bf(x)|g(x)|是奇函數(shù)C|f(x)|g(x)是偶函數(shù)Df(x)|g(x)|是偶函數(shù)解析函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f(x)f(x)，g(x)g(x)對于選項A，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)±(|f(x)|g(x)，故其不具有奇偶性；對于選項B，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，故函數(shù)為偶函數(shù)；對于選項C，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)±(|f(x)|g(x)，故其不具有奇偶性；對于選項D，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，故函數(shù)為偶函數(shù)綜上，選D.答案D12已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于()A4B3C2D1解析由題意知f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4.兩式相加，解得g(1)3.答案B13若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a等于_解析函數(shù)f(x)的定義域為x.又f(x)為奇函數(shù)，定義域應(yīng)關(guān)于原點對稱，a.答案14已知yf(x)是奇函數(shù)，當x<0時，f(x)x2ax，且f(3)6，則a的值為_解析因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a×(3)6，解得a5.答案515已知函數(shù)f(x)對一切x、y都有f(xy)f(x)f(y)(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)若f(3)a，試用a表示f(12)解(1)證明：由已知f(xy)f(x)f(y)，令yx得f(0)f(x)f(x)，令xy0得f(0)2f(0)，所以f(0)0.所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，故f(x)是奇函數(shù)(2)因為f(x)為奇函數(shù)所以f(3)f(3)a，所以f(3)a.又f(12)f(6)f(6)2f(3)2f(3)4f(3)，所以f(12)4a.13