（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案

（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計算.4.和三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)的范圍問題熱點(diǎn)一三角恒等變換1三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”2三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45°等(2)項的拆分與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)若cos，則cos等于()A. B C. D答案D解析cos，cossinsin，cos12sin2.(2)已知sin ，sin()，均為銳角，則等于()A. B. C. D.答案C解析因為，均為銳角，所以<<.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin()××.所以.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解跟蹤演練1(1)已知cos3sin，則tan_.答案24解析cos3sin，sin 3sin，sin 3sin3sin cos3cos sinsin cos ，tan ，又tantan2，tan24.(2)若sin 2，則sin 2等于()A. B C. D答案B解析由題意得2(cos sin )sin 2，將上式兩邊分別平方，得44sin 23sin22，即3sin224sin 240，解得sin 2或sin 22(舍去)，所以sin 2.熱點(diǎn)二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.變形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2017·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即284c24c·cos ，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.思維升華關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口跟蹤演練2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B60°，c8.(1)若點(diǎn)M，N是線段BC的兩個三等分點(diǎn)，BMBC，2，求AM的值；(2)若b12，求ABC的面積解(1)由題意得M，N是線段BC的兩個三等分點(diǎn)，設(shè)BMx，則BN2x，AN2x，又B60°，AB8，在ABN中，由余弦定理得12x2644x22×8×2xcos 60°，解得x2(負(fù)值舍去)，則BM2.在ABM中，由余弦定理，得AB2BM22AB·BM·cos BAM2，AM2.(2)在ABC中，由正弦定理，得sin C.又b>c，所以B>C，則C為銳角，所以cos C.則sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C××，所以ABC的面積Sbcsin A48×248.熱點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三角形的形狀例3(2018·天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因為a<c，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.思維升華解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求解跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)2cos2xsin1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)，若bc2a，且·6，求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函數(shù)f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，可解得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由f(A)sin，可得2A2k或2A2k(kZ)A(0，)，A，·bccos Abc6，bc12，又2abc，cos A111，a2.真題體驗1(2017·山東改編)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列等式成立的是_(填序號)a2b; b2a; A2B; B2A.答案解析等式右邊sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin(AC)sin Acos Csin B，等式左邊sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由cos C>0，得sin A2sin B.根據(jù)正弦定理，得a2b.2(2018·全國)已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.答案解析sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().3(2018·全國改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C_.答案解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.又C(0，)，C.4(2018·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，sin A.由余弦定理得cos A>0，cos A，bc，SABCbcsin A××.押題預(yù)測1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，則ABC的面積為_押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點(diǎn)答案解析因為0<A<，cos A，所以sin A.又由cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C知，cos C>0，并結(jié)合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C .于是sin Bcos C .由a及正弦定理，得c.故ABC的面積Sacsin B.2設(shè)函數(shù)f(x)sin2sin xcos x(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f 的值；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，試求g(x)在上的最小值押題依據(jù)三角函數(shù)是高考的熱點(diǎn)問題，是解答題的重要考查題型利用三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式是解決此類問題的關(guān)鍵，換元法與整體代換法是最基本的解決方法考查重點(diǎn)是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有時會與解三角形問題進(jìn)行綜合考查解(1)f(x)sin2sin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos.所以函數(shù)f(x)的最小正周期T，f cos.(2)g(x)f coscos.因為x，所以2x.所以當(dāng)2x，即x時，g(x)取得最小值，此時g(x)min1.3已知f(x)sin(x) 滿足ff(x)，若其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)(1)求f(x)的解析式；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2ca)cos Bbcos A，求f(A)的取值范圍押題依據(jù)三角函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)，是解答題的常考題型，常與解三角形相結(jié)合，此題很好地體現(xiàn)了綜合性，是高考中的熱點(diǎn)解(1)f f(x)，f(x)f f(x)，T，2，則f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為g(x)sin，而g(x)為奇函數(shù)，則有k，kZ，而|<，則有，從而f(x)sin.(2)(2ca)cos Bbcos A，由正弦定理得2sin Ccos Bsin(AB)sin C，又C，sin C0，cos B，B.ABC是銳角三角形，CA<，<A<，0<2A<，sin(0,1，f(A)sin(0,1A組專題通關(guān)1(2018·全國)若sin ，則cos 2等于()A. B. C D答案B解析sin ，cos 212sin212×2.2tan 70°tan 50°tan 70°tan 50°的值為()A. B. C D答案D解析因為tan 120°，即tan 70°tan 50°tan 70°tan 50°.3已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos A，則該三角形為()A等腰三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D直角三角形答案D解析由cos A，即，化簡得c2a2b2，所以ABC為直角三角形4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，sin C2cos B，則()AA BB Ccb Dc2a答案D解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，又a2b2c2bc，所以cos A，又A(0，)，所以A，則sin C2cos B2cos2cos Csin C，則cos C0，又C(0，)，所以C，所以B，在ABC中，由正弦定理得，化簡得cb2a.綜上所述，選D.5已知為銳角，則2tan 的最小值為()A1 B2 C. D.答案D解析方法一由tan 2有意義，為銳角可得45°，為銳角，tan >0，2tan 2tan ×2，當(dāng)且僅當(dāng)tan ，即tan ，時等號成立故選D.方法二為銳角，sin >0，cos >0，2tan ×2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選D.6(2018·浙江省臺州中學(xué)統(tǒng)考)已知sin cos 且，則sin 2_，的值為_答案解析由sin cos ，得sin cos ，兩邊平方得(sin cos )212sin cos 1sin 2，則sin 2.因為，所以sin >0，cos >0，則sin cos ，聯(lián)立解得cos ，則cos 22cos21，又由sin cos 得，sin，則sin，所以.7(2018·杭州模擬)設(shè)ABC內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為r與R，且sin Asin Bsin C234，則cos C_；當(dāng)BC1時，ABC的面積為_答案解析sin Asin Bsin C234，由正弦定理得abc234.令a2t，b3t，c4t，則cos C，sin C.當(dāng)BC1時，AC，SABC×1××.8(2018·溫州市適應(yīng)性測試)在ABC中，AD為邊BC上的中線，AB1，AD5，B45°，則sinADC_，AC_.答案解析在ABD中，由正弦定理得，則sinADB，則sinADCsin(ADB)sinADB.在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22AB·BDcos B，即5212BD22BDcos 45°，解得BD4(舍負(fù))，則BC2BD8，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BCcos B12(8)22×1×8cos 45°113，所以AC.9(2018·浙江)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P.(1)求sin()的值；(2)若角滿足sin()，求cos 的值解(1)由角的終邊過點(diǎn)P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的終邊過點(diǎn)P，得cos .由sin()，得cos()±.由()，得cos cos()cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10(2018·浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2bcos C2ac.(1)求B的大??；(2)若2，且|1，求ABC面積的最大值解(1)由2bcos C2ac及正弦定理，得2sin Bcos C2sin Asin C，即2sin Bcos C2sin(BC)sin C，2sin Ccos Bsin C，C(0，)，sin C0，cos B，又B(0，)，B.(2)由條件知，M為AB的中點(diǎn)，在BCM中，由余弦定理可得cos B，BM2BC21BM·BC2BM·BC，BM·BC2，當(dāng)且僅當(dāng)BMBC時等號成立又SABCBC·BAsin BC·BM1，ABC面積的最大值是1.B組能力提高11已知2sin 1cos ，則tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因為2sin 1cos ，所以4sin cos 12sin2，解得sin 0或2cos sin ，即tan 0或2，又tan ，當(dāng)tan 0時，tan 0；當(dāng)tan 2時，tan .12在銳角ABC中，角A所對的邊為a，ABC的面積S，給出以下結(jié)論：sin A2sin Bsin C；tan Btan C2tan Btan C；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；tan Atan Btan C有最小值8.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案D解析由Sabsin C，得a2bsin C，又，得sin A2sin Bsin C，故正確；由sin A2sin Bsin C，得sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，兩邊同時除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，故正確；因為tan(AB)，且tan(AB)tan(C)tan C，所以tan C，整理移項得tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，故正確；由tan Btan C2tan Btan C，tan Atan(BC)，且tan A，tan B，tan C都是正數(shù)，得tan Atan Btan C·tan Btan C·tan Btan C，設(shè)mtan Btan C1，則m>0，tan Atan Btan C24448，當(dāng)且僅當(dāng)mtan Btan C11，即tan Btan C2時取“”，此時tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以tan Atan Btan C的最小值是8，故正確，故選D.13(2018·北京)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析由余弦定理得cos B，a2c2b22accos B又S(a2c2b2)，acsin B×2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C為鈍角，CA>，0<A<.由正弦定理得·.0<tan A<，>，>×2，即>2.的取值范圍是(2，)14如圖，在ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD6，BD3，DC2.(1)如圖1，若ADBC，求BAC的大??；(2)如圖2，若ABC，求ADC的面積解(1)設(shè)BAD，DAC.因為ADBC，AD6，BD3，DC2，所以tan ，tan ，所以tanBACtan()1.又BAC(0，)，所以BAC.(2)設(shè)BAD.在ABD中，ABC，AD6，BD3.由正弦定理得，解得sin .因為AD>BD，所以為銳角，從而cos .因此sinADCsinsin cos cos sin .所以ADC的面積S×AD×DC·sinADC×6×2×(1)