2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.2 函數(shù)概念的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊

第2課時函數(shù)概念的應(yīng)用1理解兩個函數(shù)為同一函數(shù)的概念2會求一些簡單函數(shù)的定義域、值域1常見函數(shù)的定義域和值域2.函數(shù)的三要素由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域3相同函數(shù)值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，我們就稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)兩個函數(shù)如果僅對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，則它們不是相同的函數(shù)1已知函數(shù)f(x).(1)函數(shù)f(x)的定義域是什么？(2)函數(shù)f(x)的值域是什么？答案(1)(，11，)(2)0，)2判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了()(2)兩個函數(shù)相同指定義域和值域相同的函數(shù)()(3)f(x)3x4與f(t)3t4是相同的函數(shù)()(4)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中有唯一的數(shù)與之對應(yīng)()(5)函數(shù)f(2x1)的定義域指2x1的取值范圍()答案(1)(2)×(3)(4)×(5)×題型一同一函數(shù)的判斷【典例1】下列各組式子是否表示同一函數(shù)？為什么？(1)f(x)|x|，(t)；(2)y，y()2；(3)y·，u；(4)y，yx3.思路導(dǎo)引兩個函數(shù)表示同一函數(shù)的關(guān)鍵條件是定義域相同，對應(yīng)關(guān)系一致解(1)f(x)與(t)的定義域相同，又(t)|t|，即f(x)與(t)的對應(yīng)關(guān)系也相同，f(x)與(t)是同一函數(shù)(2)y的定義域為R，y()2的定義域為x|x0，兩者定義域不同，故y與y()2不是同一函數(shù)(3)y·的定義域為x|1x1，u的定義域為v|1v1，即兩者定義域相同又y·，兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同故y·與u是同一函數(shù)(4)y|x3|與yx3的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，y與yx3不是同一函數(shù)判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的方法判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一函數(shù)；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同針對訓(xùn)練1與函數(shù)yx1為同一函數(shù)的是()AyBm()2Cyxx0Dy解析A中的x不能取0；B中的n1；C中的x不能取0；D化簡以后為yt1.故選D.答案D2下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是()Ayx1與yByx21與st21Cy2x與y2x(x0)Dy(x1)2與yx2解析對于選項A，前者定義域為R，后者定義域為x|x1，不是同一函數(shù)；對于選項B，雖然變量不同，但定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)；對于選項C，雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，不是同一函數(shù)；對于選項D，雖然定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)答案B題型二求函數(shù)值和值域【典例2】(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)求f(2)、g(2)的值；求fg(3)的值(2)求下列函數(shù)的值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y；y2x.思路導(dǎo)引(1)代入法求值；(2)結(jié)合解析式的特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笾涤蚪?1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.g(3)32211，fg(3)f(11).(2)(觀察法)x1,2,3,4,5，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為2,3,4,5,6(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，可得函數(shù)的值域為2,6)(分離常數(shù)法)y2，顯然0，y2.故函數(shù)的值域為(，2)(2，)(換元法)設(shè)t，則t0，且xt21.y2(t21)t2t2t222.t0，y.故函數(shù)的值域為.(1)函數(shù)求值的方法已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值求fg(a)的值應(yīng)遵循由里往外的原則(2)求函數(shù)值域常用的4種方法觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法求其值域；分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；換元法：即運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域?qū)τ趂(x)axb(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a0)型的函數(shù)常用換元法針對訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)，若f(a)2，則實數(shù)a_.解析由f(a)2，得a1.答案14求下列函數(shù)的值域：(1)y1；(2)y；(3)yx.解(1)(觀察法)0，11.y1的值域為1，)(2)(分離常數(shù)法)y.0，y.函數(shù)的值域為.(3)(換元法)設(shè)u，則x(u0)，yu(u0)由u0知(u1)21，y.函數(shù)yx的值域為.題型三求抽象函數(shù)的定義域【典例3】已知函數(shù)f(x)的定義域為1,3，求函數(shù)f(2x1)的定義域思路導(dǎo)引定義域是x的取值范圍，f(x)中的x與f(2x1)中的2x1是相對應(yīng)的解因為函數(shù)f(x)的定義域為1,3，即x1,3，函數(shù)f(2x1)中2x1的范圍與函數(shù)f(x)中x的范圍相同，所以2x11,3，所以x0,1，即函數(shù)f(2x1)的定義域是0,1變式(1)若將本例條件改為“函數(shù)f(2x1)的定義域為1,3”，求函數(shù)f(x)的定義域(2)若將本例條件改為“函數(shù)f(1x)的定義域為1,3”，其他不變，如何求解？解(1)因為x1,3，所以2x13,7，即函數(shù)f(x)的定義域是3,7(2)因為函數(shù)f(1x)的定義域為1,3，所以x1,3，所以1x2,0，所以函數(shù)f(x)的定義域為2,0由2x12,0，得x，所以f(2x1)的定義域為.兩類抽象函數(shù)的定義域的求法(1)已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域：若f(x)的定義域為a，b，則fg(x)中ag(x)b，從中解得x的取值集合即為fg(x)的定義域(2)已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域：若fg(x)的定義域為a，b，即axb，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為f(x)的定義域針對訓(xùn)練5若函數(shù)f(x)的定義域是0,1，則函數(shù)f(2x)f的定義域為_解析由得0x，所以函數(shù)f(2x)f的定義域為.答案6若函數(shù)f(x21)的定義域為3，1，則f(x)的定義域為_解析由x3，1，得x210,8，所以f(x)的定義域為0,8答案0,8課堂歸納小結(jié)1對同一函數(shù)的概念的理解(1)函數(shù)有三個要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定函數(shù)的值域，因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)(2)定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不一定相同如yx與y3x的定義域和值域都是R，但它們的對應(yīng)關(guān)系不同，所以是兩個不同的函數(shù)2求函數(shù)值域的常用方法有：觀察法、配方法、分離常數(shù)法、換元法.1下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()Ayx1和yByx0和y1Cf(x)(x1)2和g(x)(x1)2Df(x)和g(m)解析A中的函數(shù)定義域不同；B中yx0的x不能取0；C中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故選D.答案D2設(shè)f(x)，則()A1 B1 C. D解析×1.答案B3下列函數(shù)中，值域為(0，)的是()AyByCyDyx21解析y的值域為0，)，y的值域為(，0)(0，)，yx21的值域為1，)答案B4已知函數(shù)f(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)解析由f(x)的定義域是0,2知，解得0x<1，所以g(x)的定義域為0,1)答案B5已知函數(shù)f(x)2x3，xxN|1x5，則函數(shù)f(x)的值域為_解析x1,2,3,4,5f(x)2x31,1,3,5,7f(x)的值域為1,1,3,5,7答案1,1,3,5,7課后作業(yè)(十六)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1已知函數(shù)f(x)x，則f(2)f(2)的值是()A1 B0 C1 D2解析f(2)f(2)220.答案B2下列函數(shù)，值域為0，)的是()Ayx1(x>1) Byx2Cy(x>0) Dy解析yx1(x>1)的值域為(0，)；yx2的值域為0，)；y(x>0)的值域為(0，)；y的值域為(，0)(0，)，故選B.答案B3下列函數(shù)與函數(shù)yx是同一函數(shù)的是()Ay|x| ByCyDy解析選項A和選項C中，函數(shù)的值域都是0，)；選項D中，函數(shù)的定義域是(，0)(0，)；選項B中函數(shù)的定義域和值域都和函數(shù)yx相同，對應(yīng)關(guān)系也等價，因此選B.答案B4已知函數(shù)f(x)的定義域為1,2)，則函數(shù)f(x1)的定義域為()A1,2) B0,2)C0,3) D2,1)解析f(x)的定義域為1,2)，1x1<2，得0x<3，f(x1)的定義域為0,3)答案C5函數(shù)y的值域是()A(，5) B(5，)C(，5)(5，) D(，1)(1，)解析y5，且0，y5，即函數(shù)的值域為(，5)(5，)答案C二、填空題6設(shè)函數(shù)f(x)x22x1，若f(a)2，則實數(shù)a_.解析由f(a)2，得a22a12，解得a1或a3.答案1或37函數(shù)y的定義域是A，函數(shù)y的值域是B，則AB_(用區(qū)間表示)解析要使函數(shù)式y(tǒng)有意義，只需x2，即Ax|x2；函數(shù)y0，即By|y0，則ABx|0x<2或x>2答案0,2)(2，)8已知函數(shù)f(x)的定義域為(1,1)，則函數(shù)g(x)ff(2x1)的定義域是_解析由題意知即0<x<1.答案(0,1)三、解答題9已知函數(shù)f(x)x2x1.(1)求f(2)，f，f(a1)；(2)若f(x)5，求x.解(1)f(2)22215，f1，f(a1)(a1)2(a1)1a23a1.(2)f(x)x2x15，x2x60，解得x2或x3.10求下列函數(shù)的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)yx24x6，x1,5)；(3)y；(4)yx.解(1)x1,2,3,4,5，(2x1)3,5,7,9,11，即所求函數(shù)的值域為3,5,7,9,11(2)yx24x6(x2)22.x1,5)，其圖象如圖所示，當(dāng)x2時，y2；當(dāng)x5時，y11.所求函數(shù)的值域為2,11)(3)函數(shù)的定義域為x|x1，y5，所以函數(shù)的值域為y|y5(4)要使函數(shù)式有意義，需x10，即x1，故函數(shù)的定義域為x|x1設(shè)t，則xt21(t0)，于是yt21t2，又t0，故y，所以函數(shù)的值域為y|y綜合運用11函數(shù)f(x)(xR)的值域是()A(0,1) B(0,1 C0,1) D0,1解析由于xR，所以x211,0<1，即0<y1.答案B12下列函數(shù)中，對于定義域內(nèi)的任意x，f(x1)f(x)1恒成立的為()Af(x)x1 Bf(x)x2Cf(x)Dy|x|解析對于A選項，f(x1)(x1)1f(x)1，成立對于B選項，f(x1)(x1)2f(x)1，不成立對于C選項，f(x1)，f(x)11，不成立對于D選項，f(x1)|x1|，f(x)1|x|1，不成立答案A13若函數(shù)f(2x1)的定義域為0,1)，則函數(shù)f(13x)的定義域為_解解法一(過渡搭橋)：因為f(2x1)的定義域為0,1)，即0x<1，所以12x1<1.所以f(x)的定義域為1,1)所以113x<1，解得0<x.所以f(13x)的定義域為.解法二(整體求解)：由于函數(shù)f(2x1)的定義域為0,1)，即0x<1，故12x1<1.由于函數(shù)f(2x1)與f(13x)中，2x1與13x整體范圍一致，故113x<1，解得0<x.所以函數(shù)f(13x)的定義域為.答案14若函數(shù)y的值域為0，)，則a的取值范圍是_解析函數(shù)y的值域為0，)，則函數(shù)f(x)ax22ax3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.則，解得a3.所以a的取值范圍是3，)答案3，)15已知函數(shù)f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值(2)求證：f(x)f是定值(3)求f(2)ff(3)ff(2019)f的值解(1)因為f(x)，所以f(2)f1，f(3)f1.(2)證明：f(x)f1.(3)由(2)知f(x)f1，所以f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2019)f1.所以f(2)ff(3)ff(2019)f2018.13