2018-2019版高中數(shù)學 第二講 講明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法學案 新人教A版選修4-5

三反證法與放縮法學習目標1.理解反證法的理論依據(jù)，掌握反證法的基本步驟，會用反證法證明不等式.2.理解用放縮法證明不等式的原理，會用放縮法證明一些不等式知識點一反證法思考什么是反證法？用反證法證明時，導出矛盾有哪幾種可能？答案(1)反證法就是在否定結論的前提下推出矛盾，從而說明結論是正確的(2)矛盾可以是與已知條件矛盾，也可以是與已知的定義、定理矛盾梳理反證法(1)反證法的定義：先假設要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立(2)反證法證明不等式的一般步驟：假設命題不成立；依據(jù)假設推理論證；推出矛盾以說明假設不成立，從而斷定原命題成立知識點二放縮法思考放縮法是證明不等式的一種特有的方法，那么放縮法的原理是什么？答案不等式的傳遞性；等量加(減)不等量為不等量梳理放縮法(1)放縮法證明的定義證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的這種方法稱為放縮法(2)放縮法的理論依據(jù)不等式的傳遞性等量加(減)不等量為不等量同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較類型一反證法證明不等式例1設a0，b0，且ab，證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時成立證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1可知，ab22，即ab2，當且僅當ab1時等號成立(2)假設a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時成立反思與感悟當待證不等式的結論為否定性命題時，常用反證法來證明，對結論的否定要全面不能遺漏，最后的結論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設矛盾跟蹤訓練1設0a2,0b2,0c2，求證：(2a)·c，(2b)·a，(2c)·b不可能都大于1.證明假設(2a)·c，(2b)·a，(2c)·b都大于1，即(2a)·c1，(2b)·a1，(2c)·b1，則(2a)·c·(2b)·a·(2c)·b1，(2a)(2b)(2c)·abc1.0a2,0b2,0c2，(2a)·a21，同理(2b)·b1，(2c)·c1，(2a)·a·(2b)·b·(2c)·c1，(2a)(2b)(2c)·abc1，這與式矛盾(2a)·c，(2b)·a，(2c)·b不可能都大于1.例2已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.反思與感悟(1)當欲證明的結論中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時，若正面難以找到解題的突破口，可轉換視角，用反證法證明(2)在用反證法證明的過程中，由于作出了與結論相反的假設，相當于增加了題設條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾跟蹤訓練2若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個大于零證明假設a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，則abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，這與abc0矛盾，因此假設不成立a，b，c中至少有一個大于0.類型二放縮法證明不等式例3已知實數(shù)x，y，z不全為零，求證：(xyz)證明x.同理可得y，z.由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加，得(xyz)反思與感悟(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，謹慎地采取措施，進行恰當?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換成較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目的跟蹤訓練3求證：12(nN且n2)證明k(k1)k2k(k1)(kN且k2)，即(kN且k2)分別令k2,3，n，得1，將這些不等式相加，得1，即1，1111，即12(nN且n2)成立.1用放縮法證明不等式時，下列各式正確的是()A.B.Cx2x3x23D|a1|a|1答案D解析對于A，x的正、負不定；對于B，m的正、負不定；對于C，x的正、負不定；對于D，由絕對值三角不等式知，D正確2用反證法證明命題“a，b，c全為0”時，其假設為()Aa，b，c全不為0Ba，b，c至少有一個為0Ca，b，c至少有一個不為0Da，b，c至多有一個不為0答案C3如果abab，則實數(shù)a，b應滿足的條件是_答案a0，b0，ab解析由及知a0，b0，又abab，即()2()0.ab，a0，b0，ab.4已知0a3,0b3,0c3.求證：a(3b)，b(3c)，c(3a)不可能都大于.證明假設a(3b)，b(3c)，c(3a).因為a，b，c均為小于3的正數(shù)，所以，從而有.但是.當且僅當abc時，中取等號顯然與相矛盾，假設不成立，故命題得證1常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設常見詞語至少有一個至多有一個唯一一個不是不可能全都是否定假設一個也沒有有兩個或兩個以上沒有或有兩個或兩個以上是有或存在不全不都是2.放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項或減項(2)在分式中增大或減小分子或分母(3)應用重要不等式放縮，如a2b22ab，ab2，(a，b，c0)(4)利用函數(shù)的單調性等一、選擇題1P(a，b，c均為正數(shù))與3的大小關系為()AP3BP3CP3DP3答案C解析P3.2設x，y，z都是正實數(shù)，ax，by，cz，則a，b，c三個數(shù)()A至少有一個不大于2B都小于2C至少有一個不小于2D都大于2答案C解析假設a，b，c都小于2，則abc6，又abcxyz6，與abc6矛盾所以a，b，c至少有一個不小于2.A、B、D可用特殊值法排除故選C.3已知a0，b0，c0，且a2b2c2，則anbn與cn(n3，nN)的大小關系為()AanbncnBanbncnCanbncnDanbncn答案B解析a2b2c2，221，01,01，yx，yx均為減函數(shù)當n3時，有n2，n2，nn221，anbncn.4設x0，y0，A，B，則A與B的大小關系為()AABBABCABDAB答案D解析x0，y0，AB.5對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與ab及ac中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)為()A0B1C2D3答案C解析對于，假設(ab)2(bc)2(ca)20，這時abc，與已知矛盾，故(ab)2(bc)2(ca)20，故正確；對于，假設ab與ab及ac都不成立，這時abc，與已知矛盾，故ab與ab及ac中至少有一個成立，故正確；對于，顯然不正確6設a，b，c是正數(shù)，Pabc，Qbca，Rcab，則“P·Q·R0”是“P，Q，R同時大于零”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析必要性顯然成立充分性：若P·Q·R0，則P，Q，R同時大于零或其中有兩個負的，假設其中有兩個負的成立，不妨設P0，Q0，R0，因為P0，Q0，即abc，bca.所以abbcca.所以b0，與b0矛盾，故假設不成立，故充分性成立二、填空題7若A，則A與1的大小關系為_答案A1解析A1.共210個8用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：則ABC90°90°C180°，這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，故結論錯誤所以一個三角形不可能有兩個直角假設ABC有兩個直角，不妨設AB90°.上述步驟的正確順序是_答案解析由反證法的證明題步驟可知，正確順序應該是.9已知aR，則，從大到小的順序為_答案解析因為2，2，所以22，所以 .10某同學準備用反證法證明如下一個問題：函數(shù)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)，如果對于不同的x1，x20,1，滿足|f(x1)f(x2)|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|，那么它的反設應該是_答案存在x1，x20,1且x1x2滿足|f(x1)f(x2)|x1x2|，使|f(x1)f(x2)|成立三、解答題11實數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，且acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)，證明假設a，b，c，d都是非負數(shù)由abcd1知，a，b，c，d0,1從而ac，bd，acbd1，即acbd1，與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)12設n是正整數(shù)，求證：1.證明由2nnkn(k1,2，n)，得，當k1時，當k2時，當kn時，1.原不等式成立13設a，bR,0x1,0y1，求證：對于任意實數(shù)a，b必存在滿足條件的x，y，使|xyaxby|成立證明假設對一切0x1,0y1，結論不成立，則有|xyaxby|.令x0，y1，得|b|；令x1，y0，得|a|；令xy1，得|1ab|.又|1ab|1|a|b|1，這與上式矛盾故假設不成立，原命題結論正確四、探究與拓展14完成反證法證題的全過程題目：設a1，a2，a7是由數(shù)字1,2，7任意排成的一個數(shù)列，求證：乘積p(a11)(a22)·(a77)為偶數(shù)證明：假設p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因為7個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有(a11)(a22)(a77)為_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.與矛盾，故p為偶數(shù)答案a11，a22，a77奇數(shù)0解析由假設p為奇數(shù)可知，(a11)，(a22)，(a77)均為奇數(shù)，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)相矛盾15已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明：是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)證明：.證明(1)由an13an1，得an13.又a1，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列所以an，因此an的通項公式為an.(2)由(1)知，因為當n1時，3n12×3n1，所以.于是1.所以.10