陜西省高中數(shù)學 第一章 推理與證明 高考中的合情推理例題訓練 北師大版選修2-2（通用）

高考中的合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，其主要形式有歸納和類比。一、歸納推理例1、（2020廣東）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球；第2、3、4、堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用n表示）分析：解決本題的關(guān)鍵之一是找出相鄰兩項的關(guān)系，即下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層的個數(shù)；其次是求出第一層的通項公式。解：f（1）1，觀察圖象可知f（2）4，f（3）10，f（4）20，下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層的個數(shù)，而第一層的個數(shù)滿足1，3，6，10，通項公式是，所以f（n）f（n1），所以有：f（2）f（1）f（3）f（2）f（4）f（3）f（n）f（n1）以上各式相加得：f（n）f（1）所以應該填：10；點評：求f（n）的通項公式時運用累差法思想求解。可見高考題多數(shù)依據(jù)課本知識、思想或方法的設計題目。解決問題的關(guān)鍵是找到相鄰兩項的關(guān)系。二、 類比推理（類比）例2、（2020湖北）半徑為r的圓的面積，周長，若將r看作上的變量，則， ，式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作看作上的變量，請你寫出類似于的式子：_，式可用語言敘述為_.解：由提供的形式找出球的兩個常用量體積、表面積公式，類似寫出恰好成立，.答案： 球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。 點評：主要考查類比意識考查學生分散思維，注意將圓的面積與周長與球的體積與表面積進行類比。結(jié)論類比：已知簡單命題A的結(jié)論去探索新命題B的結(jié)論，從而對問題從更高層次上去把握，這類題目能訓練學生的信息遷移能力和創(chuàng)造思維能力。例3、（2020上海）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>o，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。（1） 如果函數(shù)的值域為，求b的值；（2） 研究函數(shù)（常數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3） 對函數(shù)和（常數(shù)作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明）。解：（1）函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在處取得最小值 令，得（2）設，顯然函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，令得，令得或又因為在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是利用復合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)。 （3）推廣結(jié)論：當n是正奇數(shù)時，函數(shù)（常數(shù)是奇函數(shù)，故在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。而當n為正偶數(shù)時，函數(shù)（常數(shù)是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。點評：本題設計新穎，層層遞進，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分析解決問題的能力。