陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 如何正確使用兩個基本原理解題拓展資料素材 北師大版選修2-3
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陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 如何正確使用兩個基本原理解題拓展資料素材 北師大版選修2-3
如何正確使用兩個基本原理解題 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是分析解決排列組合等問題、推導(dǎo)排列、組合公式的重要依據(jù),其應(yīng)用非常廣泛、重要。學(xué)好這兩個原理為后面知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。一、 正確區(qū)分兩個原理1、分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題。區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法互相依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事。2、兩個基本原理的區(qū)別在于前者分類加法計數(shù)原理每次得到的是最后結(jié)果;后者分步乘法計數(shù)原理每次得到的是中間結(jié)果。表解如下:加法原理乘法原理區(qū)別一完成一件事,共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事,共分n不步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的、“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)例1、在由開關(guān)組A與B組成的并聯(lián)電路中,如圖,只合上一個開關(guān)來接通電源,要使電燈發(fā)光的方法有多少種?解:因為只要合上圖中的任一開關(guān),電燈即發(fā)光,由于在開關(guān)組A中有2個開關(guān)開關(guān)組B中有3個開關(guān),應(yīng)用分類加法計數(shù)原理,所以共有235種接通電源使電燈發(fā)光的方法。例2、在由開關(guān)組A,B組成的串聯(lián)電路中,如圖,只合上兩個開關(guān)以接通電路電源,要使電燈發(fā)光的方法有幾種?解:只有在合上A組兩個開關(guān)中的任意1個之后,再合上B組3個開關(guān)中的任意1個,才能使電燈的電源接通,電燈才能發(fā)光。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有2×36種不同的方法接通電源,使電燈發(fā)光。點(diǎn)評:通過上面兩道物理并聯(lián)與串聯(lián)的求解,對兩個原理的理解從根本上理解。二、 應(yīng)用兩原理的關(guān)鍵1、對于分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用問題,需要來分類的問題時,一是要準(zhǔn)確、透徹地理解題意;二是分類時,必須確定一個分類標(biāo)準(zhǔn),而分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇,則需要在仔細(xì)分析題意的基礎(chǔ)上來確定。2、對于分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用問題,需要我們自己確定一個分步的步驟,然后依照步驟進(jìn)行操作即可。例3、三邊長均為整數(shù),且最大邊長為11的三角形有多少個?解:利用三角形兩邊之和大于第三邊的特性,逐類討論。令兩邊長用x、y表示,且不妨設(shè),要構(gòu)成三角形,必須當(dāng)y取11時,x1,2,3,11,可有11個三角形;當(dāng)y取10時,x2,3,10,可有9個三角形;當(dāng)y取6時,x6,可有1個三角形,所以所求三角形的個數(shù)為119753136個。例4、求4320的不同的正約數(shù)的個數(shù)。分析:因為,所以它的正約數(shù)(如15)的質(zhì)因數(shù)必在2、3、5中(如3和5),但該質(zhì)因數(shù)的指數(shù)的取法不同,以此作為分步依據(jù)即可。解:設(shè)4320的正約數(shù)為,則可取0、1、2、3、4、5;可取0、1、2、3;可取0、1;故所求的正約數(shù)的個數(shù)為6×4×248個。點(diǎn)評:本題中沒有給出如何尋找4320的正約數(shù)的步驟,需要我們自己來確定,那么如何構(gòu)造這個分步步驟呢?本題解答是從它的一個具體正約數(shù)15入手分析,不難發(fā)現(xiàn)它的質(zhì)因數(shù)為3和5,都在4320的質(zhì)因數(shù)2、3、5中,即153×5,由此推廣到一般有:要確定4320的一個正約數(shù),只需確定2、3、5的指數(shù)、即可,從而構(gòu)建一個分步步驟。由此可見,要構(gòu)建一個分步步驟,有時從特例入手分析,有利于我們尋找這個分步步驟。三、 善用幾種常見方法解決兩原理綜合性問題對于有些計數(shù)問題的解決,對它們既需要進(jìn)行“分類”,又需要進(jìn)行“分步”,那么此時就要注意綜合運(yùn)用兩個原理來解決問題。解決這類問題,首先要明確是先“分類”后“分步”,還是先“分步”,后“分類”;其次,在“分類”和“分步”的過程中,均要確定明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序。此外,還需掌握列舉法、樹枝圖法、排序法、模型法來準(zhǔn)確求解綜合性問題。例5、三人傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第1次傳球,經(jīng)過5次傳球后,球仍回到甲手中,則不同的傳球方式共有多少種?解:如圖所示:第一個空與第二個空不能是甲,分三類討論:(1)若第二個空是甲,則第一個空有2種選擇方法,第三個空有2種選擇方法,第四個空僅有1種選擇方法,所以2×24種方法;(2)若第三個空是甲,同上,有2×24種方法;(3)若第二個、第三個空都不填甲,則僅有如下兩種傳球方法:甲乙丙乙丙甲;甲丙乙丙乙甲.所以共有44210種方法。點(diǎn)評:在這里以空“”來構(gòu)造模型,從而使看不見摸不著的動態(tài)傳球問題變得形象直觀起來。