高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.2 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識 2.2.3 映射素材 北師大版必修1(通用)
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高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.2 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識 2.2.3 映射素材 北師大版必修1(通用)
映 射一、習(xí)題精選(1)設(shè)集合 , ,從 到 的對應(yīng)法則 不是映射的是( ) (2) 已知映射 ,其中集合 ,且對任意 ,在 中和它對應(yīng)的元素是 ,則集合 中元素的個數(shù)最少是_(3)設(shè)集合 , 下列四個圖象中,表示從 到 的映射的是( )(4)已知從 到 的映射 ,則 的原象是_ (5)已知從 到 的映射是 ,從 到 的映射是 ,其中 ,則從 到 的映射是_(6)已知集合 , ,且 是由 到 的一一映射,求 的值答案:(1) ; (2) 4; (3) ; (4) 或 ; (5) ; (6) 二、典型例題例1 下列集合 到集合 的對應(yīng)中,判斷哪些是 到 的映射? 判斷哪些是 到 的一一映射?(1) ,對應(yīng)法則 (2) , , , , (3) , ,對應(yīng)法則 取正弦(4) , ,對應(yīng)法則 除以2得的余數(shù)(5) , ,對應(yīng)法則 (6) , ,對應(yīng)法則 作等邊三角形的內(nèi)切圓分析:解決的起點是讀懂各對應(yīng)中的法則含義,判斷的依據(jù)是映射和一一映射的概念,要求對“任一對唯一”有準(zhǔn)確的理解,對問題考慮要細(xì)致,周全解:(1)是映射,不是一一映射,因為集合 中有些元素(正整數(shù))沒有原象(2)是映射,是一一映射不同的正實數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實數(shù),任何一個正數(shù)都存在倒數(shù) (3)是映射,是一一映射,因為集合 中的角的正弦值各不相同,且集合 中每一個值都可以是集合 中角的正弦值(4)是映射,不是一一映射,因為集合 中不同元素對應(yīng)集合 中相同的元素(5)不是映射,因為集合 中的元素(如4)對應(yīng)集合 中兩個元素(2和-2)(6)是映射,是一一映射,因為任何一個等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓,而任何一個圓都可以是一個等邊三角形的內(nèi)切圓邊長不同,圓的半徑也不同說明:此題的主要目的在于明確映射構(gòu)成的三要素的要求,特別是對于集合 ,集合 及對應(yīng)法則 有哪些具體要求,包括對法則 是數(shù)學(xué)符號語言給出時的理解例2 給出下列關(guān)于從集合 到集合 的映射的論述,其中正確的有_(1) 中任何一個元素在 中必有原象; (2) 中不同元素在 中的象也不同 ;(3) 中任何一個元素在 中的象是唯一的;(4) 中任何一個元素在 中可以有不同的象;(5) 中某一元素在 中的原象可能不止一個;(6)集合 與 一定是數(shù)集;(7)記號 與 的含義是一樣的分析:此題是對抽象的映射概念的認(rèn)識,理論性較強,要求較高,判斷時可以讓學(xué)生借助具體的例子來幫助解: (1)不對 (2)不對 (3)對 (4)不對 (5)對 (6)不對 (7)不對說明:對此題的判斷可以將映射中隱含的特點都描述出來,對映射的認(rèn)識更加全面,準(zhǔn)確例3 (1) , , , , 在 的作用下, 的原象是多少?14的象是多少? (2)設(shè)集合 偶數(shù),映射 把集合A中的元素 映射到集合B中的元素 ,則在映射 下,象20的原象是多少? (3) 是從 到 的映射,其中 , , ,則 中元素 的象是多少? 中元素 的原象是多少?分析:通過此題讓學(xué)生不僅會求指定元素象與原象,而且明確求象與原象的方法解:(1)由 ,解得 ,故 的原象是6; 又 ,故14的象是 (2)由 解得 或 ,又 ,故 即20的原象是5(3) 的象是 ,由 解得 ,故 的原象是1說明:此題主要作用在于明確利用代入法求指定元素的象,而求原象則需解方程或方程組在本題中第(2)小題和第(3)小題在求象時,對 和 的制約條件都是兩條,應(yīng)解方程組,且還可以對方程組解的情況進(jìn)行討論(無解,有唯一解,無數(shù)解)其中第(3)小題集合 中的元素應(yīng)是二元數(shù)(有序數(shù)對),計算出的象必須寫成有序數(shù)對的形式,所以求原象時必須先認(rèn)清集合的特征