高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（第2課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

1.2 利用二分法求方程的近似解1根據(jù)具體函數(shù)的圖像，借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解2學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過(guò)程和方法1二分法的概念對(duì)于圖像在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且滿足f(a)·f(b)0的函數(shù)yf(x)，每次取區(qū)間的_，將區(qū)間_，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法 二分就是平均分成兩部分二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)【做一做】 已知函數(shù)f(x)x3x22x2，f(1)·f(2)0，用二分法逐次計(jì)算時(shí)，若x0是1,2的中點(diǎn)，則f(x0)_.2用二分法求方程的近似解的過(guò)程過(guò)程如圖所示在圖中：“初始區(qū)間”是一個(gè)兩端函數(shù)值_號(hào)的區(qū)間；“M”的含義是：取新區(qū)間，一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的_，另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè)，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào)；“N”的含義是：方程解滿足要求的_ “P”的含義是：選取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程的近似解在二分法求方程解的步驟中，初始區(qū)間的選定，往往需要通過(guò)分析函數(shù)的_和_初始區(qū)間可以選得不同，不影響最終計(jì)算結(jié)果函數(shù)連續(xù)值兩端，相乘為負(fù)有零點(diǎn)，區(qū)間之內(nèi)有一數(shù)，方程成立很顯然要求方程近似解，先看零點(diǎn)的區(qū)間，每次區(qū)間分為二，分后兩端近零點(diǎn)答案：1中點(diǎn)一分為二【做一做】 0.6252中點(diǎn)零反中點(diǎn)精度性質(zhì)試驗(yàn)估計(jì)用二分法求方程的近似解需注意什么？剖析：用二分法求方程的近似解要注意的問(wèn)題：(1)要看清題目要求的精度，它決定著二分法步驟的結(jié)束(2)初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大(3)用二分法求出的零點(diǎn)一般是零點(diǎn)的近似值，但并不是所有函數(shù)都可以用二分法求零點(diǎn)，必須滿足在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)0這樣條件的函數(shù)才能用二分法求得零點(diǎn)的近似值題型一 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)【例1】 函數(shù)f(x)x32x23x6在區(qū)間2,4上的零點(diǎn)必定在( )A2,1內(nèi) B，4內(nèi)C1，內(nèi) D，內(nèi)分析：按二分法的順序是計(jì)算f(1)，f()等進(jìn)行，但數(shù)據(jù)計(jì)算較麻煩，2,4內(nèi)的整數(shù)較多，選易計(jì)算的整數(shù)求解反思：用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)，是取中點(diǎn)求函數(shù)值，看符號(hào)，確定新區(qū)間，再取中點(diǎn)求函數(shù)值等依次進(jìn)行下去有時(shí)從計(jì)算速度上考慮，首先把整數(shù)代入計(jì)算會(huì)更快一些，如f(0)，f(±1)，.題型二 求方程的近似解【例2】 求方程lgx2x10的近似解(精度為0.1)分析：先確定f(x)lgx2x1的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，再用二分法求解反思：求方程近似解的步驟：(1)構(gòu)造函數(shù)，利用圖像或單調(diào)性確定方程解所在的大致區(qū)間，通常限制在區(qū)間(n，n1)，nZ；(2)利用二分法求出滿足精度的方程解所在的區(qū)間M；(3)寫出方程的近似解題型三 用二分法證明方程根的分布【例3】 已知函數(shù)f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)0，f(1)0，證明a0，并利用二分法證明方程f(x)0在0,1內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根分析：f(0)0，f(1)0，只需在0,1內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值小于零即可反思：根據(jù)二分法，若f0不成立，可計(jì)算f是否為負(fù)，若還不成立，再計(jì)算f是否為負(fù)，總之，在區(qū)間0,1內(nèi)找到一個(gè)分點(diǎn)，使對(duì)應(yīng)函數(shù)值為負(fù)即可題型四 二分法的實(shí)際應(yīng)用【例4】 在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10 km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿，10 km長(zhǎng)，大約有200多根電線桿呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？分析：先檢查中間一根電線桿，則將故障的范圍縮小一半，再用同樣方法依次檢查下去反思：這種檢查線路故障的方法，就是二分法的應(yīng)用二分法不僅可用于查找線路、水管、氣管故障，還可用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢，也是求根的常用方法答案：【例1】 D解：f(0)60，f(1)40，f(2)0，故2為一零點(diǎn)在(1,3)內(nèi)，只有D選項(xiàng)滿足【例2】 解：令f(x)lgx2x1，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)(證明略)，所以f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)又因?yàn)閒(1)0.50，f(0.1)0.933 032 9920，所以方程在0.1,1內(nèi)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)解使用二分法求解，如下表：次數(shù)左端點(diǎn)左端點(diǎn)函數(shù)值右端點(diǎn)右端點(diǎn)函數(shù)值第1次0.10.933 032 99210.5第2次0.10.933 032 9920.550.057 342 561第3次0.3250.286 415 0250.550.057 342 561第4次0.437 50.097 435 0160.550.057 342 561第5次0.493 750.016 669 6240.550.057 342 561由于區(qū)間0.493 75,0.55的區(qū)間長(zhǎng)度為0.056 25，它小于0.1，因此，我們可以選取這一區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程lg x2x10的近似解例如，選取0.5作為方程lg x2x10的一個(gè)近似解【例3】 解：f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，則bcc，即ac.f(0)0，c0，則a0.在0,1內(nèi)選取二等分點(diǎn)，則fabca(a)a0.f(0)0，f(1)0，f(x)在區(qū)間0，和，1內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)又二次方程f(x)0最多有兩個(gè)實(shí)根，方程f(x)0在0,1內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根【例4】 解：如圖，他首先從中點(diǎn)C查用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點(diǎn)D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見(jiàn)故障在CD段，再到CD段中點(diǎn)去查每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50 m至100 m，即一兩根電線桿附近，只要檢查7次就夠了1 下列圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( )2 下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點(diǎn)的是( )Ayx7 By5x1Cylog3x Dy3 用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的零點(diǎn)，驗(yàn)證f(2)·f(4)0.給定精度0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn) x1，計(jì)算得f(2)·f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0_.(填區(qū)間)4 用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_，這時(shí)可判斷x0_.5 求方程ln xx30在(2,3)內(nèi)的近似解(精確到0.1)答案：1A2DD選項(xiàng)中無(wú)法解方程，則必須用二分法求零點(diǎn)3(2,3)f(2)·f(3)0，x0(2,3)4(0,0.5)f(0.25)(0.25,0.5)由二分法知x0(0,0.5)，取x10.25，這時(shí)f(0.25)0.2533×0.2510，故x0(0.25,0.5)5分析：借助于計(jì)算器，利用二分法求解解：令f(x)lnxx3，即求函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)因?yàn)閒(2)ln210，f(3)ln30，即(2,3)作為初始區(qū)間，用二分法列表如下：次數(shù)左端點(diǎn)左端點(diǎn)函數(shù)值右端點(diǎn)右端點(diǎn)函數(shù)值第1次20.306 8531.098 61第2次20.306 852.50.416 29第3次20.306 852.250.060 93第4次2.1250.121 232.250.060 93第5次2.187 50.029 742.250.060 93第6次2.187 50.029 742.218 750.015 69由于區(qū)間(2.187 5,2.218 75)內(nèi)所有值精確到0.1，都是2.2，所以方程的近似解是2.2.