湖南省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習 三角函數(shù)及解三角形第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 文

專題三三角函數(shù)及解三角形第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)真題試做1(2020·大綱全國高考，文3)若函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù)，則()A. B. C. D.2(2020·福建高考，文8)函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對稱軸是()Ax BxCx Dx3(2020·天津高考，文7)將函數(shù)f(x)sin x(其中0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則的最小值是()A. B1 C. D24(2020·湖南高考，文18)已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)ff的單調(diào)遞增區(qū)間考向分析三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點及熱點內(nèi)容，主要從以下三個方面進行考查：1三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式，主要以選擇、填空題的形式為主2三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數(shù)解析式問題，主要以選擇、填空題的形式考查，有時也會出現(xiàn)大題3三角函數(shù)的性質(zhì)，通常是給出函數(shù)解析式，先進行三角變換，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式再研究其性質(zhì)，或知道某三角函數(shù)的圖象或性質(zhì)求其解析式，再研究其他性質(zhì)，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題熱點例析熱點一三角函數(shù)的概念【例1】已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C. D.規(guī)律方法 當已知角的終邊所經(jīng)過的點或角的終邊所在的直線固定時，通常先根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求這個角的三角函數(shù)特別提醒：(1)當角的終邊經(jīng)過的點不固定時，需要進行分類討論，特別是當角的終邊在過坐標原點的一條直線上時，根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，要把這條直線看做兩條射線，分別求解(2)在利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式時，一定要特別注意符號一定要理解“奇變偶不變，符號看象限”的意思；同角三角函數(shù)的平方關(guān)系中，開方后的符號要根據(jù)角所在的象限確定變式訓(xùn)練1 (2020·福建莆田高三質(zhì)檢，11)已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓交點的橫坐標是，若(0，)，則tan _.熱點二三角函數(shù)圖象及解析式【例2】如圖，根據(jù)函數(shù)的圖象，求函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)的解析式規(guī)律方法 由部分圖象確定函數(shù)解析式問題解決的關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，其基本方法是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求解若設(shè)所求解析式為yAsin(x)，則在觀察圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，.(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|，或代入點的坐標解關(guān)于A的方程；(2)因為T，所以往往通過求周期T來確定.可通過已知曲線與x軸的交點確定周期T，或者相鄰的兩個最高點與最低點之間的距離為；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T；(3)從尋找五點法中的第一零點(也叫初始點)作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一零點的位置，或者在五點中找兩個特殊點列方程組解出；(4)代入點的坐標，通過解三角方程，再結(jié)合圖象確定，.特別提醒：求yAsin(x)的解析式，最難的是求，第一零點常常用來求，只要找準第一零點的橫坐標，列方程就能求出.若對A，的符號或?qū)Φ姆秶幸?，可用誘導(dǎo)公式變換，使其符合要求變式訓(xùn)練2 (2020·福建泉州質(zhì)檢，8)下圖所示的是函數(shù)yAsin(x)(A0，0)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是()AysinBysinCysinDysin熱點三三角函數(shù)圖象變換【例3】(2020·四川綿陽高三三診，10)已知函數(shù)f(x)Asin(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可由函數(shù)ycos x的圖象(縱坐標不變)()A先把各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位B先把各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位C先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位D先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位規(guī)律方法 圖象變換理論：(1)平移變換沿x軸平移，按“左加右減”法則；沿y軸平移，按“上加下減”法則；(2)伸縮變換沿x軸伸縮時，橫坐標x伸長(01)或縮短(1)為原來的(縱坐標y不變)；沿y軸伸縮時，縱坐標y伸長(A1)或縮短(0A1)為原來的A倍(橫坐標x不變)特別提醒：對于圖象的平移和伸縮變換都要注意對應(yīng)解析式是在x或在y的基礎(chǔ)上改變了多少，尤其當x與y前的系數(shù)不為1時一定要將系數(shù)提出來再判斷變式訓(xùn)練3 要得到y(tǒng)cos的圖象，只需將ysin 2x的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度熱點四三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用【例4】(2020·上海浦東新區(qū)模擬，19)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求方程g(x)1的解規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期、最值、單調(diào)區(qū)間等問題時，通常要運用各種三角函數(shù)公式，通過恒等變換(降冪、輔助角公式應(yīng)用)將其解析式化為yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)的形式，再研究其各種性質(zhì)有關(guān)常用結(jié)論與技巧：(1)我們往往運用整體換元法來求解單調(diào)性與對稱性，求yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)的單調(diào)區(qū)間時一定要注意的取值情況，若0，則最好用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為0后再去求解，否則極易出錯(2)函數(shù)yAsin(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)，是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)，是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAtan(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)(3)對yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)結(jié)合函數(shù)圖象可觀察出如下幾點：函數(shù)圖象的對稱軸都經(jīng)過函數(shù)的最值點，對稱中心的橫坐標都是函數(shù)的零點；相鄰兩對稱軸(對稱中心)間的距離都是半個周期；圖象上相鄰兩個最大(小)值點之間的距離恰好等于一個周期變式訓(xùn)練4 (2020·重慶高三模擬，17)已知函數(shù)f(x)4sin xsin2cos 2x，其中0.(1)當1時，求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍思想滲透整體代換思想三角函數(shù)性質(zhì)問題(1)求函數(shù)的對稱軸、對稱中心；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解時主要方法為：(1)關(guān)于函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的對稱性，一般可利用正弦、余弦曲線的對稱性，把x看成x，整體代換求得(2)求函數(shù)yAsin(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：若0，把x看成一個整體，由2kx2k(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由2kx2k(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為減區(qū)間若0，可先用誘導(dǎo)公式變?yōu)閥Asin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間【典型例題】已知函數(shù)f(x)cos2，g(x)1sin 2x.(1)設(shè)xx0是函數(shù)yf(x)圖象的一條對稱軸，求g(x0)的值；(2)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)由題設(shè)知f(x).因為xx0是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對稱軸，所以2x0k(kZ)，即2x0k(kZ)所以g(x0)1sin 2x01sin.當k為偶數(shù)時，g(x0)1sin1；當k為奇數(shù)時，g(x0)1sin1.(2)h(x)f(x)g(x)1sin 2xsin.當2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時，函數(shù)h(x)sin是增函數(shù)故函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)1(2020·山東青島一模，8)將函數(shù)ycos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是()Ax BxCx Dx2(2020·湖北孝感二模，8)若函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，且·0，則A·()A. B. C. D.3(2020·天津?qū)氎尜|(zhì)檢，4)設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)0，則()Af(x)在上是增函數(shù)Bf(x)在上是減函數(shù)Cf(x)在上是增函數(shù)Df(x)在上是減函數(shù)4(2020·湖北武漢4月調(diào)研，7)已知函數(shù)f(x)Asin(2x)的部分圖象如圖所示，則f(0)()A B1C D5已知角的頂點在原點，始邊與x軸正半軸重合，點P(4m,3m)(m0)是角終邊上一點，則2sin cos _.6(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，則f(x)的值域是_7已知函數(shù)yabcos 3x(b0)的最大值為，最小值為，求函數(shù)y4asin 3bx的最大值和最小值8已知函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象的一部分如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當x時，求函數(shù)yf(x)f(x2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1C解析：f(x)sin是偶函數(shù)，f(0)±1.sin±1.k(kZ)3k(kZ)又0,2，當k0時，.故選C.2C解析：函數(shù)f(x)sin的圖象的對稱軸是xk，kZ，即xk，kZ.當k1時x.故選C.3D解析：f(x)sin x的圖象向右平移個單位長度得：ysin.又所得圖象過點，sin0.sin0.k(kZ)2k(kZ)0，的最小值為2.4解：(1)由題中圖象知，周期T2，所以2，因為點在函數(shù)圖象上，所以Asin0，即sin0.又因為0，所以，從而，即.又點(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asin 1，得A2.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】 B解析：(方法1)在角終邊上任取一點P(a,2a)(a0)，則r2|OP|2a2(2a)25a2，cos 2，cos 22cos 211.(方法2)由方法1知tan 2，cos 2.【變式訓(xùn)練1】 解析：由三角函數(shù)定義可知cos ，又(0，)，sin ，所以tan .【例2】 解：由圖象可知A2，T2×6(2)16，即16，.y2sin.又點(2，2)在曲線上，代入得2sin2，sin1.2k.2k，kZ.又|，k0時，.函數(shù)解析式為y2sin.【變式訓(xùn)練2】 A解析：由圖象可知A1，T2.1.又可看做“五點法”作圖的第二個點，.ysin.【例3】 B解析：由題中圖象可知A1，T.2.又可看做“五點法”作圖的第二個點，.ysin.由函數(shù)ycos x的圖象(縱坐標不變)上各點的橫坐標縮短到原來的倍，可得ycos 2x的圖象，再向右平移個單位可得ycos2coscossinsin的圖象【變式訓(xùn)練3】 A解析：ycossinsin2，故需將ysin 2x的圖象向左平移個單位長度【例4】 解：(1)f(x)sin1，由2k2x2k(kZ)得：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)(2)由已知，g(x)sin1，由g(x)1，得sin0，x(kZ)【變式訓(xùn)練4】 解：(1)由題可知：f(x)4sin x·cos 2x2sin x1.當1時，f(x)2sin x1，則函數(shù)f(x)的最小正周期為2.(2)由(1)知：f(x)2sin x1，欲使f(x)在上單調(diào)遞增，結(jié)合y2sin x1的圖象，則有，于是.創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1D解析：函數(shù)ycos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)cos的圖象，再向左平移個單位，得函數(shù)ycoscos的圖象，令xk，即x2k，kZ.令k0，則x.2A解析：由圖象可知，T.2.又M，N，·0，×A20.A.A·.3B解析：由f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，又最小正周期為，2.f(x)sin(2x)f(x)f(x)，k，kZ，k，kZ.由題意.f(x)sincos 2x.當02x，即0x時，f(x)單調(diào)遞減當2x0，即x0時，f(x)單調(diào)遞增4B解析：由圖象可知A2，圖象過點，可看做“五點法”作圖的第二個點，故2×，f(x)2sin.故f(0)2sin1.5解析：P(4m,3m)(m0)，r5|m|，由m0得r5m，sin ，cos .2sin cos .6.解析：當sin xcos x時，f(x)cos x，當sin xcos x時，f(x)sin x同時畫出ysin x與ycos x在一個周期內(nèi)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象始終取ysin x與ycos x兩者下方的圖象，結(jié)合圖象可得f(x).7解：yabcos 3x(b0)當cos 3x1時，ymaxab，當cos 3x1時，yminab，由得y4×·sin 3x2sin 3x.當sin 3x1時，ymax2，當sin 3x1時，ymin2.8解：(1)由圖象知A2，2T8，得f(x)2sin.由×1.f(x)2sin.(2)y2sin2sin2sin2cos2sin2cosx.x，x.當x，即x時，y取最大值；當x，即x4時，y取最小值2.