高中數(shù)學 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進一步認識（第3課時）基礎知識素材 北師大版必修1（通用）

2.3 映射 1了解映射的概念，能夠判定一些簡單的對應是否為映射2理解映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系1映射設兩個非空集合A與B之間存在著對應關系f，而且對于A中的_元素x，B中總有_的一個元素y與它對應，就稱這種對應為從A到B的映射，記作f：AB.A中的元素x稱為_，B中的元素y稱為x的_，記作f：xy. 映射是對應，但對應不一定是映射，即映射是特殊的對應【做一做11】 給出下列4個對應，是映射的是( )A BC D【做一做12】 在映射f：AB中，下列說法中不正確的為( )集合B中的任一元素，在集合A中至少有一個元素與它相對應集合B中至少存在一個元素在集合A中無原像集合B中可能有元素在集合A中無原像集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一個A B C D2一一映射當映射f：AB滿足：(1)A中的每一個元素在B中都有唯一的像與之對應；(2)_中的不同元素的_也不同；(3)B中的每一個元素都有_，那么就稱映射f：AB是映射，映射也叫作一一對應，一一映射是特殊的_ 映射和一一映射的區(qū)別與聯(lián)系映射f：AB一一映射f：AB定義對于集合A中的每一個元素x，B中總有唯一的一個元素y與之對應，就稱這樣的對應為A到B的映射A到B的映射滿足：A中的每一個元素在B中都有唯一的像與之對應，A中的不同元素的像也不同；B中的每一個元素都有原像，則該映射又稱為一一映射對應方式多對一或一對一一對一原像B中的一些元素可能沒有原像B中的任何元素有唯一的原像像A中的幾個元素可能對應同一個像A中的任何元素有唯一的像方向性B到A不一定是映射B到A是一一映射【做一做2】 下列對應是集合M到集合N的一一映射的是( )AMNR，f：xy，xM，yNBMNR，f：xyx2，xM，yNCMNR，f：xy，xM，yNDMNR，f：xyx3，xM，yN3函數(shù)與映射函數(shù)是特殊的映射，對于映射f：AB，當兩個集合A，B均為非空_時，則從A到B的映射就是函數(shù)，所以函數(shù)一定是_，而映射不一定是函數(shù)在函數(shù)中，_的集合稱為函數(shù)的定義域，_的集合稱為函數(shù)的值域【做一做3】下列對應為A到B的函數(shù)的是( )AAR，Bx|x0，f：xy|x|BAZ，BN，f：xyx2CAZ，BZ，f：xyDA1,1，B0，f：xy0答案：1每一個唯一原像像【做一做11】 C【做一做12】 A2(2)A像(3)原像映射【做一做2】 D用排除法，選項A中集合M的元素0，在f下，N中沒有元素與之對應，所以這個對應不是映射；選項B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；選項C中，負實數(shù)及0在f下沒有元素和它對應，應排除；故選D.3數(shù)集映射原像像【做一做3】 D由函數(shù)的定義可知，對于選項A,0R，且|0|0B，故A項中的對應不是A到B的函數(shù)；對于選項B,0Z，且020N，故B項中的對應不是A到B的函數(shù)；對于選項C，當x0時，如2Z，但無意義，故C項中的對應不是A到B的函數(shù)；對于選項D，是多對一的情形，符合函數(shù)的定義，是A到B的函數(shù)1映射f：AB到底是什么？怎樣理解映射的概念？剖析：對于映射這個概念，可以從以下幾點來理解：映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等；映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的；映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中兩個(或多個)元素可能有相同的像，這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構成了映射的核心；映射允許集合B中存在元素在A中沒有原像，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”2如何理解一一映射的概念？剖析：(1)一對一：一一映射f：AB中，要求原像不同，像也不同集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像(2)可逆性：若映射f：AB是一一映射，則集合B到集合A的映射一定是一一映射f：BA.題型一 判斷映射【例1】下列對應是不是從A到B的映射？(1)AR，B正實數(shù)，f：x|x|；(2)Ax|x2，xN，By|y0，yZ，f：xyx22x2；(3)Ax|x0，By|yR，f：xy±.分析：從定義出發(fā)來判斷從集合A到集合B的映射，是指按照某種對應法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應反思：映射應滿足存在性：集合A中的每一個元素在集合B中都有對應元素；唯一性：集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應題型二 求某一映射中的像或原像【例2】 已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是從A到B的映射，f：x(x1，x21)，求A中元素在B中的對應的元素和B中元素在A中的對應元素分析：把x代入對應關系中可求得在B中對應的元素，在A中對應的元素可通過列方程組解出反思：求某一映射中的像或原像，要準確地利用映射的關系，恰當?shù)亓谐龇匠袒蚍匠探M題型三 求映射的個數(shù)問題【例3】 已知Aa，b，c，B1,0,1，映射f：AB滿足f(a)f(b)f(c)，求映射f：AB的個數(shù)分析：A中元素在f下對應B中的一個、兩個或三個，并且滿足f(a)f(b)f(c)，需分類討論反思：理解映射的概念是解決本題的關鍵；另外，依映射的定義，若集合A中有m個不同元素，集合B中有n個不同元素，則A到B共有nm個映射，B到A共有mn個映射答案：【例1】 解：(1)中，當x0A時，|x|0B，即A中的元素0按對應法則f：x|x|在B中沒有像，(1)不是映射(2)中，yx22x2(x1)210，對任意的x，總有y0.又當x2，且xN時，x22x2必為整數(shù)，即yZ.由Ax|x2，xN，By|y0，yZ知，當xA時，x22x2B，對A中每一個元素x，按對應法則f：xyx22x2，在B中都有唯一的y與之對應，(2)是映射(3)中，對任意的xAx|x0，按對應法則f：xy±，存在兩個yBy|yR，即y和y與之對應，(3)不是映射【例2】 解：將x代入對應關系，可求出其在B中的對應元素為(1,3)由得x.所以在B中的對應元素為(1,3)，在A中的對應元素為.【例3】 解：(1)當A中三個元素都是對應0時，則f(a)f(b)000f(c)有1個映射(2)當A中三個元素對應B中兩個元素時，滿足f(a)f(b)f(c)的映射有4個，分別為101,011，(1)01，0(1)1.(3)當A中的三個元素對應B中的三個元素時，有2個映射，分別是(1)10,1(1)0.因此滿足題設條件的映射有7個 1 設集合Aa，b，c，集合BR，以下對應關系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是( )A對集合A中的數(shù)開平方B對集合A中的數(shù)取倒數(shù)C對集合A中的數(shù)取算術平方根D對集合A中的數(shù)立方2 已知映射f：AB，其中集合A3，2，1,1,2,3,4，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像，且對任意的aA，在B中和它對應的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是( )A4 B5 C6 D73 設集合A，B都是坐標平面上的點集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，則在f下，像(2,1)的原像為( )A(3,1) B. C. D(1,3)4 設集合A1,2,3，集合Ba，b，c，那么從集合A到集合B的一一映射的個數(shù)為_5 判斷下列對應是不是從集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函數(shù)？為什么？(1)A1,2,3,4，B3,4,5,6,7,8,9，對應關系f：x2x1；(2)A平面內的圓，B平面內的矩形，對應關系是“作圓的內接矩形”；(3)A1,2,3,4，B，對應關系f：x.答案：1D當a0時，對a開平方或取算術平方根均無意義，則A，C項錯；當a0時，對a取倒數(shù)無意義，則B項錯；由于任何實數(shù)都有立方，并且其立方僅有一個，所以對集合A中的數(shù)立方能建立映射2AaA，|a|1,2,3,4，即B1,2,3,43B故應選B.46集合A中有3個元素，集合B中有3個元素，根據(jù)一一映射的定義可知從A到B的一一映射有6個5解：(1)是映射也是函數(shù)，但不是一一映射因為數(shù)集A中的元素x按照對應關系f：x2x1和數(shù)集B中的元素2x1對應，這個對應是數(shù)集A到數(shù)集B的映射，也是函數(shù)但B中的元素4,6,8沒有原像，不能構成一一映射(2)不是從集合A到集合B的映射，更不是函數(shù)或者一一映射因為一個圓有無窮多個內接矩形，即集合A中任何一個元素在集合B中有無窮多個元素與之對應(3)是A到B的映射，也是函數(shù)和一一映射