高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

§6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較1了解指數(shù)增長、冪增長、對數(shù)增長的意義2能夠解決相應(yīng)的實(shí)際問題三種增長函數(shù)模型的比較在區(qū)間(0，)上盡管yax(a1)，yxn(x0，n1)和ylogax(a1)都是_，但它們增長的速度不同，而且不在一個“檔次”上，隨著x的增大，yax(a1)的增長速度會越來越_，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(x0，n0)和ylogax(a1)的增長速度由于指數(shù)函數(shù)值增長非?？?，人們常稱這種現(xiàn)象為“_”【做一做11】 當(dāng)a1時，下列結(jié)論：指數(shù)函數(shù)yax，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長越快；指數(shù)函數(shù)yax，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長越快；對數(shù)函數(shù)ylogax，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長越快；對數(shù)函數(shù)ylogax，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長越快其中正確的結(jié)論是( )A B C D【做一做12】 當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的是( )Ay2x Byx10 Cylg x Dy10x2【做一做13】 當(dāng)x0，n1時，冪函數(shù)yxn是_函數(shù)，并且當(dāng)x1時，n越大其函數(shù)值的增長就_答案：增函數(shù)快指數(shù)爆炸【做一做11】 B【做一做12】 A【做一做13】 增越快如何選擇增長型函數(shù)描述實(shí)際問題？剖析：選擇的標(biāo)準(zhǔn)是：指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度快的變化規(guī)律；對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；而冪函數(shù)增長模型介于兩者之間，適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律題型一 比較函數(shù)增長的差異【例1】 分析指數(shù)函數(shù)y2x與對數(shù)函數(shù)ylog2x在區(qū)間1，)上函數(shù)的增長情況分析：解答本題時，應(yīng)分析對于相同的自變量的增量，比較指數(shù)函數(shù)的增量與對數(shù)函數(shù)的增量的差異反思：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y2x和ylog2x的圖像，從圖像上可觀察出函數(shù)的增減變化情況如圖所示：題型二 比較大小問題【例2】 比較下列各組數(shù)的大小(1)，；(2)0.32，log20.3,20.3.分析：先觀察各組數(shù)值的特點(diǎn)，然后考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像進(jìn)行求解反思：解決這類題目的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)不同，指數(shù)也不同，需引入中間量，利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，也可以借助冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像題型三 實(shí)際應(yīng)用【例3】 某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加，但獎勵總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪個模型能符合公司要求？分析：獎勵模型符合公司要求，即當(dāng)x10，1 000時，能夠滿足y5，且25%，可以先從函數(shù)圖像得到初步的結(jié)論，再通過具體計算，確認(rèn)結(jié)果反思：從這個例題可以看到，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要快得多，而后者又比真數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型增長要快，從而我們可以體會到對數(shù)增長，直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義答案：【例1】 解：指數(shù)函數(shù)y2x，當(dāng)x由x11增加到x23時，x2，y23216；對數(shù)函數(shù)ylog2x，當(dāng)x由x11增加到x23時，x2，而ylog23log211.585 0.由此可知，在區(qū)間1，)內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y2x隨著x的增長函數(shù)值的增長速度快，而對數(shù)函數(shù)ylog2x的增長速度緩慢【例2】 解：(1)函數(shù)y1x為減函數(shù)，又，.又函數(shù)y2在(0，)上是增函數(shù)，且，.(2)令函數(shù)y1x2，y2log2x，y32x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述三個函數(shù)的圖像如圖，然后作x0.3，此直線必與上述三個函數(shù)圖像相交由圖像知log20.30.3220.3.【例3】 解：借助計算器或計算機(jī)作出函數(shù)y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的圖像如圖所示：觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10,1 000上模型y0.25x，y1.002x的圖像都有一部分在y5的上方，這說明只有按模型ylog7x1進(jìn)行獎勵才能符合公司要求，下面通過計算確認(rèn)上述判斷首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元對于模型y0.25x，它在區(qū)間10,1 000上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x(20,1 000時，y5，因此該模型不符合要求對于模型y1.002x，利用計算器，可知1.0028065.005，由于y1.002x是增函數(shù)，故當(dāng)x(806，1 000時，y5，因此，也不符合題意對于模型ylog7x1，它在區(qū)間10,1 000上單調(diào)遞增且當(dāng)x1 000時，ylog71 00014.555，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求再計算按模型ylog7x1獎勵時，獎金是否超過利潤x的25%，即當(dāng)x10,1 000時，利用計算器或計算機(jī)作f(x)log7x10.25x的圖像，由圖像可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)f(10)0.316 70，即log7x10.25x.所以當(dāng)x10,1 000時，y0.25x.這說明，按模型ylog7x1獎勵不超過利潤的25%.綜上所述，模型ylog7x1確實(shí)符合公司要求1 下列所給函數(shù)，增長最快的是( )Ay5x Byx5 Cylog5x Dy5x2函數(shù)y2x與yx2的圖像的交點(diǎn)個數(shù)是( )A0 B1 C2 D33當(dāng)2x4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是( )A2xx2log2x Bx22xlog2xC2xlog2xx2 Dx2log2x2x4若a1，n0，那么當(dāng)x足夠大時，ax，xn，logax中最大的是_5汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車制動后，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析交通事故的一個重要因素在一個限速為100 km/h的高速公路上，甲車的剎車距離y(m)與剎車速度x(km/h)的關(guān)系可用模型yax2來描述，在限速為100 km/h的高速公路上，甲車在速度為50km/h時，剎車距離為10 m，則甲車剎車距離為多少米時，交通部門可以判定此車超速？答案：1D2.D3B思路一：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ylog2x，yx2，y2x的圖像，在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的圖像，所以x22xlog2x.思路二：比較三個函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法可取x3，經(jīng)檢驗(yàn)容易知道選B.4ax由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長快慢的差別易知axxnlogax.5解：本題函數(shù)模型已經(jīng)給出，但是a的值需要先求出，利用給定的速度為50 km/h時，剎車距離為10 m這一條件，把數(shù)值代入yax2，即10502a，就可以求出參數(shù)a；交通部門判定此車超速的依據(jù)是此車車速超過100 km/h的限速，因?yàn)楹瘮?shù)yax2在x0時是單調(diào)遞增的，所以可以把x100代入確定的解析式，求出剎車距離y×100240(米)故當(dāng)剎車距離超過40米時，可以判定此車超速