2020屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破11 數(shù)列的綜合應用問題 理

必考問題11數(shù)列的綜合應用問題1(2020·湖北)定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.其中屬于“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A B C D答案： C設等比數(shù)列an的公比為q，則a的公比為q2，的公比為，其余的數(shù)列不是等比數(shù)列2(2020·浙江)設Sn是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是()A若d0，則數(shù)列Sn有最大項B若數(shù)列Sn有最大項，則d0C若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意nN*，均有Sn0D若對任意nN*，均有Sn0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列答案：CA、B、D均正確，對于C，若首項為1，d2時就不成立3(2020·遼寧)已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為()A. B. C10 D21答案：B在an1an2n中，令n1，得a2a12；令n2得，a3a24，anan12(n1)把上面n1個式子相加，得ana12462(n1)n2n，ann2n33，n1，又nN*，n1.當n6時，有最小值.4(2020·福建)數(shù)列an的通項公式anncos1，前n項和為Sn，則S2 012_.解析anncos1，a1a2a3a46，a5a6a7a86，a4k1a4k2a4k3a4k46，kN，故S2 012503×63 018.答案3 0181以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯2解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學思想，試題具有綜合性強、立意新、角度活、難度大的特點1數(shù)列試題形態(tài)多變，時常有新穎的試題入卷，學生時常感覺難以把握，為了在高考中取得好成績，必須復習、掌握好數(shù)列這一板塊及其相關的知識技能，了解近幾年來高考中對解數(shù)列試題的能力考察特點，掌握相關的應對策略，以提高解決數(shù)列問題的能力2近幾年高考中一些難題均是以高等數(shù)學的某些知識為背景而用初等數(shù)學的語言表述的試題這就啟示我們在復習備考時，要在高等數(shù)學與初等數(shù)學的銜接點上多下工夫，要提高將陌生問題轉(zhuǎn)化、化歸為熟知問題的能力復習時要抓住主流綜合，同時做到不忽視冷門、新型綜合.必備知識在數(shù)列求和時，為了證明的需要，需合理變形，常用到放縮法，常見的放縮技巧有：(1)<；(2)<<；(3)2()<<2()；(4)利用(1x)n的展開式進行放縮數(shù)列是特殊的函數(shù)，是定義在正整數(shù)集上的一列函數(shù)值通項公式及求和公式揭示了項和項數(shù)的依賴關系的本質(zhì)屬性用“函數(shù)與方程”的思想解決數(shù)列中的綜合問題，通常有如下情形：(1)用等差數(shù)列中的公差為“斜率”的意義溝通關系解題；(2)用等差數(shù)列的前n項和為項數(shù)n的二次函數(shù)解題；(3)用函數(shù)觀點認識數(shù)列的通項，用函數(shù)單調(diào)性的定義研究數(shù)列的增減性解決最值問題；(4)通項公式求解中方程思想的應用； (5)應用問題中方程思想的應用必備方法1解決數(shù)列和式與不等式證明問題的關鍵是求和，特別是既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，要利用不等式的放縮法，放縮為等比數(shù)列求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和，最終歸結(jié)為有限項的數(shù)式大小比較2解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解該類問題出題背景廣、新穎，解題的關鍵是讀懂題意，有效地將信息轉(zhuǎn)化，能較好地考查學生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力、以客觀題或解答題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題【例1】 在直角坐標平面內(nèi)，已知點P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，Pn(n,2n)，.如果n為正整數(shù)，則向量P2n1P2n的縱坐標為_審題視點 聽課記錄審題視點 由PkPk1(k1k,2k12k)(1,2k)可求解解析PkPk1(k1k,2k12k)(1,2k)，于是P2n1P2n的縱坐標為2232522n1(4n1)答案(4n1) 解決數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題，可通過對新數(shù)表、圖象、新定義的分析、探究，將問題轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的問題【突破訓練1】 (2020·東北三校二模)已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·()A2 011 B2 011 C0 D1 答案： A設SnAn2Bn，當n2時，anSnSn1(2n1)AB，由S21S4 000，知4 021 AB0，所以a2 0110，·2 011an×a2 0112 011，故選A.由于數(shù)列與函數(shù)的緊密聯(lián)系，近幾年高考在數(shù)列與函數(shù)的綜合處命題有加強的趨勢，?？疾橐院瘮?shù)為背景的數(shù)列問題，該類問題的知識綜合性比較強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力需掌握與函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)等相關方面的知識，難度較大【例2】 (2020·陜西五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x22(n1)xn25n7.(1)設函數(shù)yf(x)的圖象的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列an，求證：an為等差數(shù)列；(2)設函數(shù)yf(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列bn，求bn的前n項和Sn.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)配方可求頂點的縱坐標，再用定義可證；(2)由bn|an|知分類求和(1)證明f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，an3n8，an1an3(n1)8(3n8)3，數(shù)列an為等差數(shù)列(2)解由題意知，bn|an|3n8|，當1n2時，bn83n，Snb1bn.當n3時，bn3n8，Snb1b2b3bn5214(3n8)7，Sn, 解決此類問題時要注意把握以下兩點：(1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義；(2)明確等差、等比數(shù)列的通項、求和公式的特征【突破訓練2】 (2020·濰坊二模)已知函數(shù)f(x)(x1)2，數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，點(an1，S2n1)在函數(shù)f(x)的圖象上；數(shù)列bn滿足bnn1.(1)求an；(2)若數(shù)列cn滿足cn，求數(shù)列cn的前n項和解(1)因為點(an1，S2n1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以aS2n1.令n1，n2，得即由知a10或a11，a10，a11.代入解得d1或d2，又d1時，a20不合題意，d1(舍去)，d2.即an2n1.(2)由(1)得cn.令Tnc1c2c3cn，則Tn，Tn，得，Tn1·22.所以Tn3.數(shù)列與不等式的綜合問題是高考的熱點，?？疾椋阂詳?shù)列為載體，比較兩項的大小或證明不等式；以數(shù)列為載體，利用不等式恒成立求參數(shù)在解答時需要我們抓住本質(zhì)，進行合理變形、求和，再結(jié)合與不等式有關的知識求解試題難度較大【例3】 (2020·廣東)設b0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2anbn11.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)對所給遞推關系式變形(取倒數(shù))后構(gòu)造等比數(shù)列求解(2)利用基本不等式放縮(1)解由a1b0，知an0， .令An，A1.當n2時，AnAn1A1.當b1時，An；當b1時，Ann.所以an(2)證明當b1時，欲證2anbn11，只需證2nbn(bn11).因為(bn11)b2nb2n1bn1bn1bn21bnbn(222)2nbn，所以2an1bn1.當b1,2an2bn11.綜上所述，2anbn11. 與數(shù)列有關的不等式證明常用的方法有：比較法(作差作商)、放縮法、利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)學歸納法證明，其中利用不等式放縮證明是一個熱點，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點利用放縮法解決“數(shù)列不等式”問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮【突破訓練3】 (2020·日照一模)已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前四項和S414，a3是a1，a7的等比中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設Tn為數(shù)列的前n項和，若Tnan1對一切nN*恒成立，求實數(shù)的最大值解(1)設公差為d，由已知得，解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，Tn，Tnan1，(n2)，即2n4，又2n42×(44)16，的最大值為16.數(shù)列與函數(shù)的“巧妙”對接縱觀2020年高考，有多份試卷以數(shù)列與函數(shù)的綜合題為壓軸題，有些大題還穿插了導數(shù)來研究函數(shù)的工具作用，既考查了函數(shù)的知識，又考查了數(shù)列的知識，試題綜合性強，分步解答，有利于高校選拔優(yōu)秀的考生，是一種非常熱門的題型，預計2020年高考仍將在此命題【示例】 (2020·天津)已知函數(shù)f(x)xln(xa)的最小值為0，其中a0.(1)求a的值；(2)若對任意的x0，)，有f(x)kx2成立，求實數(shù)k的最小值；(3)證明：ln(2n1)2(nN*)滿分解答(1)f(x)的定義域為(a，)f(x)1.由f(x)0，解得x1aa.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(a,1a)1a(1a，)f(x)0f(x)極小值因此，f(x)在x1a處取得最小值，故由題意f(1a)1a0，所以a1.(4分)(2)當k0時，取x1，有f(1)1ln 20，故k0不合題意當k0時，令g(x)f(x)kx2，即g(x)xln(x1)kx2.g(x)2kx.令g(x)0，得x10，x21.當k時，0，g(x)0在(0，)上恒成立，因此g(x)在0，)上單調(diào)遞減從而對于任意的x0，)，總有g(x)g(0)0，即f(x)kx2在0，)上恒成立故k符合題意當0k時，0，對于x，g(x)0，故g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增因此當取x0時，g(x0)g(0)0，即f(x0)kx不成立故0k不合題意綜上，k的最小值為.(8分)(3)當n1時，不等式左邊2ln 32右邊，所以不等式成立當n2時，ln(2i1)ln(2i1)ln(2n1)在(2)中取k，得f(x)(x0)，從而f(iN*，i2)，所以有l(wèi)n(2n1)f(2)2ln 32ln 32ln 312.綜上，ln(2n1)2，nN*.(14分)老師叮嚀：本題第(1)問應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，難度較小，屬于送分題；第(2)問屬于含參函數(shù)的恒成立求參數(shù)范圍問題，需構(gòu)造新函數(shù)，再利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等.其中，需對k進行分類討論，對k的每個范圍利用分析法求得適合題意的k的范圍；第(3)問考查了考生賦值、數(shù)列的求和、放縮法證明不等式等知識.其中，推導是聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)的紐帶.再借用第(2)問的結(jié)果可得f(x).從而f.為后面利用放縮法證明不等式打下基礎.【試一試】 已知函數(shù)f(x)1ln x(a為實常數(shù))(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上無極值，求實數(shù)a的取值范圍；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)2x的單調(diào)性；(3)已知nN*且n3，求證：ln.(1)解f(x).當a0時，f(x)0在(0，)上恒成立，此時函數(shù)f(x)在(0,2)上無極值；當a0時，由f(x)0，得xa；由f(x)0，得xa，即函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f(x)在(0,2)上無極值，只要a2即可故所求的實數(shù)a的取值范圍是(，02，)(2)解g(x)f(x)2x1ln x2x，g(x)2.令k(x)2x2xa，則18a.當0，即a時，k(x)0恒成立，即g(x)0恒成立，此時函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當0，即a時，只有在x時，k(x)0，故k(x)0在(0，)上恒成立，即g(x)0在(0，)上恒成立，此時函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當0，即a時，方程k(x)0的兩個實數(shù)根是x10，x2，若18a1，即a0，則x20，此時，k(x)0在(0，)上恒成立，即g(x)0在(0，)上恒成立，此時，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；若18a1，則x20，此時在(0，x2)上k(x)0，g(x)0，在(x2，)上k(x)0，g(x)0，故函數(shù)g(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，)上單調(diào)遞減綜上所述：當a0時，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當a0時，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)證明構(gòu)造函數(shù)h(x)ln(1x)x，則h(x)1，當x0時，h(x)0，故函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)0，即不等式ln(1x)x對任意正實數(shù)x恒成立令x，得ln，即ln(n1)ln n，所以lnln(n1)ln 3lnlnln.必考問