2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究6 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 理

"2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究6 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 理 "主要題型：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立與證明等問題；(3)以函數(shù)為載體的建模問題【例9】 (2020·江西)設(shè)f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)當(dāng)0a2時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值審題路線圖函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x，要使f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，必需滿足f0；令f(x) 0得x1，x2，確定x1，x2所在的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求f(x)的最值規(guī)范解答(1)由f(x)x2x2a22a，(2分)當(dāng)x時(shí)，f(x)的最大值為f2a.令2a0，得a.(5分)所以，當(dāng)a時(shí)，f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間(6分)即f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，a的取值范圍為.(2)令f(x)0，得兩根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增(8分)當(dāng)0a2時(shí)，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2)，又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)(10分)所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a.得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).(12分)搶分秘訣,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值是歷年必考內(nèi)容，尤其是含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題成為高考命題的熱點(diǎn)，近幾年新課標(biāo)高考卷中發(fā)現(xiàn)：若該內(nèi)容的題目放在試卷壓軸題的位置上，試題難度較大；若放在試卷前幾題的位置上，難度不大.【例10】 (2020·湖南)已知函數(shù)f(x)exax，其中a0.(1)若對(duì)一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立審題路線圖(1)將f(x)1恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值f(x)min1.利用導(dǎo)數(shù)f(x)的最小值的表達(dá)式即f(x)minf(ln a)aaln a.構(gòu)造g(t)ttln t(t0)再利用導(dǎo)數(shù)判斷g(t)的單調(diào)性可得當(dāng)t1時(shí)，g(t)maxg(1)1，即可得a值(2)首先利用斜率公式表示斜率k，構(gòu)造函數(shù)(x)f(x)k.利用導(dǎo)數(shù)判斷(x)在(x1，x2)端點(diǎn)的函數(shù)值(x1)、(x2)一正一負(fù)根據(jù)零點(diǎn)判定定理知存在x0(x1，x2)，使(x0)0，即f(x0)k成立規(guī)范解答(1)f(x)exa，令f(x)0得xln a.當(dāng)xln a時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln a時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取最小值f(ln a)aaln a.于是對(duì)一切xR，f(x)1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)aaln a1.令g(t)ttln t，則g(t)ln t.當(dāng)0t1時(shí)，g(t)0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t1時(shí)，g(t)0，g(t)單調(diào)遞減故當(dāng)t1時(shí)，g(t)取最大值g(1)1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，式成立綜上所述，a的取值集合為1(5分)(2)由題意知，ka，令(x)f(x)kex，則(x1)ex2x1(x2x1)1，(x2)ex1x2(x1x2)1令F(t)ett1，則F(t)et1.當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增(9分)故當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)F(0)0，即ett10.從而ex2x1(x2x1)10，ex1x2(x1x2)10.又0，0，所以(x1)0，(x2)0.因?yàn)楹瘮?shù)y(x)在區(qū)間x1，x2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0(x1，x2)，使(x0)0，即f(x0)k成立(12分)搶分秘訣1過程書寫要干凈利落，條理分明，突出解法的邏輯關(guān)系2要用數(shù)學(xué)語言，尤其借助于符號(hào)語言來進(jìn)行說明可省去大篇的文字3在說明函數(shù)的單調(diào)性與極值時(shí)，要習(xí)慣于用表格來說明，表格中容納了大量的無需再表述的信息，使問題的解決清晰明了，并且與占有一定的分?jǐn)?shù)，倘若用其他方式說明就不到位4本題為試卷的壓軸題，對(duì)不少考生來說，難度也較大，可能會(huì)放棄，但是還要把能得到的分拿下來，比如求f(x)以及函數(shù)定義域等思維含量較低的知識(shí)，在閱卷中這都可得到23分押題7 已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常數(shù)，aR.(1)討論a1時(shí)，f(x)的單調(diào)性和極值；(2)求證：在(1)的條件下，f(x)g(x)；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由(1)解由題知當(dāng)a1時(shí)，f(x)1，因?yàn)楫?dāng)0x1時(shí)，f (x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1xe時(shí)，f (x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增所以f(x)的極小值為f(1)1.(2)證明因?yàn)閒(x)的極小值為1，即f(x)在(0，e上的最小值為1.令h(x)g(x)，h(x)，當(dāng)0xe時(shí)，h(x)0，h(x)在(0，e上單調(diào)遞增，所以h(x)maxh(e)1f(x)min，所以在(1)的條件下，f(x)g(x).(3)解假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，f (x)a.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤(0，e，所以f (x)0，而f(x)在(0，e上單調(diào)遞減，所以f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，此時(shí)無滿足條件的a；當(dāng)0e時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)minf1ln a3，ae2，滿足條件；當(dāng)e時(shí)，因?yàn)閤(0，e，所以f (x)0，所以f(x)在(0，e上單調(diào)遞減，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，此時(shí)無滿足條件的a.綜上，存在實(shí)數(shù)ae2，使得當(dāng)x(0，e時(shí)，f(x)有最小值3.