2020年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù) 列第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理

專題四數(shù)列第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列真題試做1(2020·福建高考，理2)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1 B2C3 D42(2020·安徽高考，理4)公比為2的等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5C6 D73(2020·浙江高考，理7)設(shè)Sn是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是()A若d0，則數(shù)列Sn有最大項B若數(shù)列Sn有最大項，則d0C若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意nN*，均有Sn0D若對任意nN*，均有Sn0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列4(2020·課標(biāo)全國高考，理5)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7 B5C5 D75(2020·江蘇高考，20)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列an和bn滿足：an1，nN*.(1)設(shè)bn11，nN*，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn1·，nN*，且an是等比數(shù)列，求a1和b1的值考向分析高考中等差(等比)數(shù)列的考查主客觀題型均有體現(xiàn)，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義或以通項公式、前n項和公式為基礎(chǔ)考點，常結(jié)合數(shù)列遞推公式進(jìn)行命題，主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力以及計算能力等，中低檔題占多數(shù)考查的熱點主要有三個方面：(1)對于等差、等比數(shù)列基本量的考查，常以客觀題的形式出現(xiàn)，考查利用通項公式、前n項和公式建立方程組求解，屬于低檔題；(2)對于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要以客觀題出現(xiàn)，具有“新、巧、活”的特點，考查利用性質(zhì)解決有關(guān)計算問題，屬中低檔題；(3)對于等差、等比數(shù)列的判斷與證明，主要出現(xiàn)在解答題的第一問，是為求數(shù)列的通項公式而準(zhǔn)備的，因此是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)熱點例析熱點一等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】(2020·福建莆田質(zhì)檢，20)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，等式anan22an1對任意nN*均成立(1)若a410，求數(shù)列an的通項公式；(2)若a21t，且存在m3(mN*)，使得amSm成立，求t的最小值規(guī)律方法此類問題應(yīng)將重點放在通項公式與前n項和公式的直接應(yīng)用上，注重五個基本量a1，an，Sn，n，d(q)之間的轉(zhuǎn)化，會用方程(組)的思想解決“知三求二”問題我們重在認(rèn)真觀察已知條件，在選擇a1，d(q)兩個基本量解決問題的同時，看能否利用等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，否則可能會導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，無形中增大運(yùn)算量在運(yùn)算過程中要注意消元法及整體代換的應(yīng)用，這樣可減少計算量特別提醒：(1)解決等差數(shù)列前n項和常用的有三個公式Sn；Snna1d；SnAn2Bn(A，B為常數(shù))，靈活地選用公式，解決問題更便捷；(2)利用等比數(shù)列前n項和公式求和時，不可忽視對公比q是否為1的討論變式訓(xùn)練1(2020·山東青島質(zhì)檢，20)已知等差數(shù)列an的公差大于零，且a2，a4是方程x218x650的兩個根；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項和為Sn，且滿足b3a3，S313.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnnN*，求數(shù)列cn的前n項和Tn.熱點二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)【例】(1)在正項等比數(shù)列an中，a2，a48是方程2x27x60的兩個根，則a1·a2·a25·a48·a49的值為()A B9 C±9 D35(2)正項等比數(shù)列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為()A或 BC D規(guī)律方法(1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系，項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解；(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中“若mnpq，則amanapaq”這一性質(zhì)與求和公式Sn的綜合應(yīng)用變式訓(xùn)練2(1)(2020·江西玉山期末，3)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S1525，則tan a8的值是()A B C± D(2)(2020·廣西桂林調(diào)研，7)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若公比q2，S41，則S8()A17 B16 C15 D256熱點三等差、等比數(shù)列的判定與證明【例】(2020·山東淄博一模，20)已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1(n2，且nN*)(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.規(guī)律方法證明數(shù)列an為等差數(shù)列或等比數(shù)列有兩種基本方法：(1)定義法an1and(d為常數(shù))an為等差數(shù)列；q(q為常數(shù))an為等比數(shù)列(2)等差、等比中項法2anan1an1(n2，nN*)an為等差數(shù)列；aan1an1(an0，n2，nN*)an為等比數(shù)列我們要根據(jù)題目條件靈活選擇使用，一般首選定義法利用定義法一種思路是直奔主題，例如本題中的方法；另一種思路是根據(jù)已知條件變換出要解決的目標(biāo)，如本題還可這樣去做：由an2an12n1，得an12an122n，所以an12(an11)2n，上式兩邊除以2n，從而可得1，由此證得結(jié)論特別提醒：(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法；(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.變式訓(xùn)練3在數(shù)列an中，an1an2n44(nN)，a123.是否存在常數(shù)使數(shù)列ann為等比數(shù)列，若存在，求出的值及數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由思想滲透1函數(shù)方程思想等差(比)數(shù)列通項與前n項和的計算問題：(1)已知等差(比)數(shù)列有關(guān)條件求數(shù)列的通項公式和前n項和公式以及由通項公式和前n項和公式求首項、公差(比)、項數(shù)及項等，即主要指所謂的“知三求二”問題；(2)由前n項和求通項；(3)解決與數(shù)列通項，前n項和有關(guān)的不等式最值問題2求解時主要思路方法：(1)運(yùn)用等差(比)數(shù)列的通項公式及前n項和公式中的5個基本量，建立方程(組)，進(jìn)行運(yùn)算時要注意消元的方法及整體代換的運(yùn)用；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式即為相應(yīng)的函數(shù)解析式，因此在解決數(shù)列問題時，應(yīng)用函數(shù)的思想求解【典型例題】在等比數(shù)列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，當(dāng)最大時，求n的值解：(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25.又an0，a3a55.又a3與a5的等比中項為2，a3a54.而q(0,1)，a3a5.a34，a51，q，a116.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列Sn，當(dāng)n8時，0，當(dāng)n9時，0，n9時，0，當(dāng)n8或9時，最大1(2020·河北冀州一模，5)在等差數(shù)列an中，a9a126，則數(shù)列an前11項的和S11等于()A24 B48 C66 D1322在等比數(shù)列an中，an0，若a1·a516，a48，則a5()A16 B8 C4 D323(2020·廣東汕頭質(zhì)檢，2)已知等比數(shù)列an的公比q為正數(shù)，且2a3a4a5，則q的值為()A B2 C D34(2020·河北衡水調(diào)研，6)等差數(shù)列an前n項和為Sn，滿足S20S40，則下列結(jié)論中正確的是()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS6005已知正項等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項am，an，使得4a1，則的最小值為_6(原創(chuàng)題)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且滿足a1 000a1 013，b1b132，則tan_.7若數(shù)列an滿足a11，an1pSnr(nN*)，p，rR，Sn為數(shù)列an的前n項和(1)當(dāng)p2，r0時，求a2，a3，a4的值；(2)是否存在實數(shù)p，r，使得數(shù)列an為等比數(shù)列？若存在，求出p，r滿足的條件；若不存在，說明理由8設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列的前n項和已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnln a3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項和Tn.參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B2B3C4D5解：(1)證明：由題設(shè)知an1，所以，從而1(nN*)，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列(2)因為an0，bn0，所以ab(anbn)2，從而1an1.(*)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由an0知q0.下證q1.若q1，則a1a2，故當(dāng)nlogq時，an1a1qn，與(*)矛盾；若0q1，則a1a21，故當(dāng)nlogq時，an1a1qn1，與(*)矛盾綜上可知，q1，故ana1(nN*)，所以1a1.又bn1··bn(nN*)，所以bn是公比為的等比數(shù)列若a1，則1，于是b1b2b3.又由得，所以b1，b2，b3中至少有兩項相同，矛盾所以a1，從而.所以a1b1.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】解：(1)anan22an1對nN*都成立，數(shù)列an為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為d，a11，a410，a4a13d10，d3.ana1(n1)d3n2.數(shù)列an的通項公式為an3n2.(2)a21t，公差da2a1t.ana1(n1)d1(n1)t.Snna1dnt.由amSm，得1(m1)tmt，(m1)t(m1)t.t1t.t.m3，2t0.t的最小值為2.【變式訓(xùn)練1】解：(1)設(shè)an的公差為d(d0)，bn的公比為q(q0)，則由x218x650，解得x5或x13.因為d0，所以a2a4，則a25，a413.則解得a11，d4，所以an14(n1)4n3.因為解得b11，q3.所以bn3n1.(2)當(dāng)n5時， Tna1a2a3ann×42n2n；當(dāng)n5時，TnT5(b6b7b8bn)(2×525)，所以Tn(nN*)【例2】(1)B解析：依題意知a2·a483.又a1·a49a2·a483，a250，a1·a2·a25·a48·a49a259.(2)C解析：因為a2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a3a1a2.q21q.又q0，解得q，故.【變式訓(xùn)練2】(1)B(2)A【例3】(1)證明：設(shè)bn，b12，bn1bn(an12an)1(2n11)11，數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)知，(n1)×1，an(n1)·2n1.Sn(2·211)(3·221)(n·2n11)(n1)·2n1，Sn2·213·22n·2n1(n1)·2nn.設(shè)Tn2·213·22n·2n1(n1)·2n，則2Tn2·223·23n·2n(n1)·2n1.由，得Tn2·21(22232n)(n1)·2n1n·2n1，Snn·2n1nn·(2n11)【變式訓(xùn)練3】解：假設(shè)an1(n1)(ann)成立，整理得an1an2n12，與an1an2n44比較，得.數(shù)列是以為首項，1為公比的等比數(shù)列故ann(1)n1，即ann(1)n1.創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1D2A3B4D567解：(1)由a11，an1pSnr，當(dāng)p2，r0時，an12Sn，a22a12，a32S22(a1a2)2×(12)6，a42S32(a1a2a3)2×(126)18.(2)an1pSnr，anpSn1r(n2)an1an(pSnr)(pSn1r)pan，即an1(p1)an，其中n2.若數(shù)列an為等比數(shù)列，則公比qp10.p1.又a2pra1qa1(p1)p1，故r1.當(dāng)p1，r1時，數(shù)列an為等比數(shù)列8解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q1)由已知得即亦即解得a11，q2或a14，q(舍去)故an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2，bn1bn3ln 2.bn是以b13ln 2為首項，公差為3ln 2的等差數(shù)列Tnb1b2bn，即Tn.