2020年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 第3講 解答題題型特點(diǎn)與技法指導(dǎo) 理

第3講解答題題型特點(diǎn)與技法指導(dǎo)高考解答題一般有六大方向：三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何、數(shù)列與不等式、解析幾何、不等式與函數(shù)及導(dǎo)數(shù)一般來說，前三題屬于中、低檔題，第四題屬中檔偏難題，后兩題屬難題三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計、立體幾何在前三題中出現(xiàn)的概率較高，掌握解這幾類題的解法是大多數(shù)學(xué)生成功的關(guān)鍵目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識綜合型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力的綜合型解答題能否做好解答題是高考成敗的關(guān)鍵1三角函數(shù)有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，主要是考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，且難度不大凸顯恒等變換與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)在三角形內(nèi)考查主要考查以下4個方面：三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、圖象變換，主要是yAsin(x)b的圖象、性質(zhì)及圖象變換，考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值及圖象的平移和對稱等；三角恒等變換，主要考查公式的靈活運(yùn)用、變換能力，一般需要運(yùn)用和差角公式、倍角公式，尤其是對公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查；三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用通過解三角形來考查三角恒等變形及應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)的綜合能力；三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列、不等式等知識的綜合問題【例】已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍點(diǎn)評利用向量的工具作用，與向量結(jié)合在一起命制綜合題，體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)處命題的指導(dǎo)思想這類問題求解時，首先利用向量的運(yùn)算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，然后進(jìn)行有關(guān)的三角恒等變換，最后研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)變式訓(xùn)練1(2020·安徽高考，理16)設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)函數(shù)g(x)對任意xR，有g(shù)g(x)，且當(dāng)x時，g(x)f(x)求g(x)在區(qū)間，0上的解析式2立體幾何立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，命題形式比較穩(wěn)定立體幾何解答題主要分兩類：一類是空間線面關(guān)系的判定和推理證明，主要是證明平行和垂直，求解這類問題要依據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證；另一類是空間幾何量(空間角、空間距離、幾何體的體積與面積)的計算求解這類問題，常用方法是依據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過推理論證，作出所求幾何量并求之一般解題步驟是“作、證、求”對以上兩類問題特別要加強(qiáng)空間向量法的訓(xùn)練【例】(2020·河南豫東、豫北十校階段性檢測，18)如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，BACACD90°，EAC60°，ABACAE.(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面EAB？請證明你的結(jié)論；(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值點(diǎn)評線線平行、線面平行、面面平行的判定與證明是相互轉(zhuǎn)化的，垂直也是如此；對于二面角，常用兩種方法，幾何法與向量法，一般傾向于用向量法變式訓(xùn)練2(2020·陜西西安二模，19)如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在的平面，CEDF，DEF90°.(1)求證：BE平面ADF；(2)若矩形ABCD的邊AB3，EF2，則另一邊BC的長為何值時，平面BEF與平面CDFE所成角的大小為45°.3概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計問題的解答題是每年高考必考內(nèi)容，主要考查古典概型、幾何概型、等可能事件的概率計算公式，互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率減法公式，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式等五個基本公式的應(yīng)用及離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等內(nèi)容【例】(2020·天津?qū)氎尜|(zhì)檢，16)高中某學(xué)科奧賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段進(jìn)行，若某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，且各階段通過與否相互獨(dú)立(1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；(2)設(shè)該選手在比賽中比賽的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望點(diǎn)評概率計算的關(guān)鍵是對概率模型的判斷，各事件之間的關(guān)系是互斥還是相互獨(dú)立等，解題的關(guān)鍵是對概念理解到位求概率分布列的關(guān)鍵在于依據(jù)題意準(zhǔn)確分析，計算隨機(jī)變量在各個取值下對應(yīng)的概率變式訓(xùn)練3山東省第23屆運(yùn)動會將于2020年在濟(jì)寧隆重召開為了搞好接待工作，組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這30名志愿者的身高如圖：(單位：cm)若身高在175 cm以上(包括175 cm)定義為“高個子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”(1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，則至少有一人是“高個子”的概率是多少？(2)若從所有“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望4數(shù)列與不等式高考中數(shù)列解答題的求解主要有以下幾個特點(diǎn)：(1)與等差、等比數(shù)列基本量有關(guān)的計算，可根據(jù)題意列方程(方程組)或利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解；(2)與求和有關(guān)的題目，首先要求通項公式，并根據(jù)通項公式選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?如錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等)；(3)含Sn的式子，要根據(jù)題目特征利用an進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(4)與遞推數(shù)列有關(guān)的問題，要能合理轉(zhuǎn)化，使之構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列；(5)與數(shù)列有關(guān)的不等式問題，可根據(jù)數(shù)列的特征選擇方法(如比較法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等)；(6)與函數(shù)有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解【例】(2020·四川成都二診，20)已知數(shù)列an和bn，b11，且bn13bn2n2，記anbn1bn1，nN*.(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an和bn的通項公式；(3)記，數(shù)列cn的前n項和為Tn，若45Tk29，kN*恒成立，求k的最大值點(diǎn)評第(1)問考查了等比數(shù)列的證明，它是為第(2)、(3)問服務(wù)的第(2)問考查了求數(shù)列通項公式的常規(guī)方法第(3)問考查了數(shù)列的求和方法，是數(shù)列與不等式知識的融合問題變式訓(xùn)練4(2020·湖北八校二聯(lián)，19)各項為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Snaan(nN*)(1)求an；(2)設(shè)函數(shù)f(n)cnf(2n4)(nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Tn.5解析幾何解析幾何解答題主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法，往往以中檔偏難題或以壓軸題形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力，運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力突破解答題，應(yīng)重點(diǎn)研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運(yùn)用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”等來解題，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，并根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法【例】已知橢圓1，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l，交y軸于點(diǎn)A，直線l過點(diǎn)P且垂直于l，交y軸于點(diǎn)B.試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點(diǎn)？若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由點(diǎn)評直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點(diǎn)，基本方法是聯(lián)立方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系求解，運(yùn)算量一般較大，這類綜合題中常涉及的問題有弦長問題、面積問題、對稱問題、定點(diǎn)定值問題等，是歷年高考的熱點(diǎn)問題，復(fù)習(xí)時要注重通性通法的訓(xùn)練變式訓(xùn)練5(2020·山東高考，文21)如圖，橢圓M：1(ab0)的離心率為，直線x±a和y±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：yxm(mR)與橢圓M有兩個不同的交點(diǎn)P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點(diǎn)S，T.求的最大值及取得最大值時m的值6函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為目標(biāo)，以導(dǎo)數(shù)為工具圍繞函數(shù)、不等式、方程等綜合考查在知識的交匯處命題，涉及具體內(nèi)容較多，如給定解析式求參數(shù)值，給定條件求參數(shù)范圍，以及對參數(shù)討論與證明不等式問題，極值、最值、值域及分析圖象交點(diǎn)等問題，都以導(dǎo)數(shù)為工具既考查函數(shù)部分的相關(guān)知識，又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想【例】(2020·河南許昌聯(lián)考，21)設(shè)x3是函數(shù)f(x)(x2axb)e3x(xR)的一個極值點(diǎn)(1)求a與b的關(guān)系式(用a表示b)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)a0，g(x)ex.若存在x1，x20,4使得|f(x1)g(x2)|1成立，求a的取值范圍點(diǎn)評本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究極值、單調(diào)區(qū)間、值域問題，考查了分類討論思想等變式訓(xùn)練6(2020·廣東中山一模，20)已知函數(shù)f(x)4x33x2sin ，其中xR，為參數(shù)，且0.(1)當(dāng)0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值，說明理由；(2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍參考答案方法例析【例1】解：(1)因為f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過點(diǎn)，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin.由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，2【變式訓(xùn)練1】解：(1)f(x)cossin2xsin 2x，故f(x)的最小正周期為.(2)當(dāng)x時，g(x)f(x)sin 2x.故當(dāng)x時，x.由于對任意xR，gg(x)，從而g(x)gsinsin(2x)sin 2x.當(dāng)x時，x.從而g(x)g(x)sin2(x)sin 2x.綜合，得g(x)在，0上的解析式為g(x)【例2】解：(1)存在，線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P.證明如下：取AB的中點(diǎn)F，連接DP，PF，EF，則PFAC，且FPAC.取AC的中點(diǎn)M，連接EM，EC.AEAC且EAC60°，EAC是正三角形，EMAC，四邊形EMCD為矩形，EDMCAC.又EDAC，EDFP且EDFP，四邊形EFPD是平行四邊形，DPEF.又EF平面EAB，DP平面EAB，DP平面EAB.(2)(解法1)過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連接DG.EDAC，EDl，l是平面EBD與平面ABC的交線平面EAC平面ABC，DCAC，DC平面ABC.又CGl，lDG，DGC是所求二面角的平面角設(shè)ABACAE2a，則CDa，GC2a.GDa，cos cosDGC.(解法2)BAC90°，平面EACD平面ABC，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示設(shè)ABACAE2a，由已知得B(2a,0,0)，E(0，a，a)，D(0,2a，a)，(2a，a，a)，(0，a,0)設(shè)平面EBD的法向量為n(x，y，z)，n且n，解得取z2，得平面EBD的一個法向量為n(，0,2)平面ABC的一個法向量為n(0,0,1)cos |cosn，n|.【變式訓(xùn)練2】解：(1)由ABCD是矩形，得BCAD，推出BC平面ADF.由CEDF得CE平面ADF.BCCEC，平面BCE平面ADF.BE平面BCE，BE平面ADF.(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)BCa，CEb，DFc，得B(a,3,0)，C(0,3,0)，E(0,3，b)，F(xiàn)(0,0，c)，(0，3，cb)，(0,3，b)·0，|2，解得b3，c4，設(shè)平面BEF的一個法向量n(1，p，q)，由n·0，n·0，求得平面BEF的一個法向量為n.又DA平面DCEF，|cosn，|，解得a.當(dāng)BC時，平面BEF與平面CDFE所成角的大小為45°.【例3】解：(1)記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，“該選手通過決賽”為事件C，則P(A)，P(B)，P(C).那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是PP(A)P(A)P()×.(2)可能的取值為1,2,3.P(1)P()1，P(2)P(A)P(A)P()×，P(3)P(AB)P(A)P(B)×.的分布列為123P的數(shù)學(xué)期望E1×2×3×.【變式訓(xùn)練3】解：(1)根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是，所以選中的“高個子”有12×2人，“非高個子”有18×3人用A表示事件“至少有一名高個子被選中”，則P(A)11.因此至少有一人是“高個子”的概率是.(2)依題意，的取值為0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).因此，的分布列如下0123P所以E()0×1×2×3×1.【例4】解：(1)證明：bn13bn2n2，bn3bn12(n1)2，n2，nN*.兩式相減，得bn1bn3bn3bn12(n2，nN*)整理，得bn1bn13(bnbn11)(n2，nN*)，即an3an1(n2，nN*)數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列(2)b23，a13113.an3n(nN*)anbn1bn13n，bnbn113n1，bn1bn213n2，b2b1131.累加，得bnb1n11.bnn(nN*)(3)3.Tn.由45Tk29得13590116.k8.又kN*，k的最大值為7，【變式訓(xùn)練4】解：(1)Snan2an，當(dāng)n2時，Sn1an21an1.由化簡，得(anan1)(anan12)0.又?jǐn)?shù)列an的各項為正數(shù)，當(dāng)n2時，anan12.故數(shù)列an成等差數(shù)列，公差為2.又a1S1a12a1，解得a11，an2n1.(2)由分段函數(shù)f(n)可以得到c1f(6)f(3)a35，c2f(8)f(4)f(2)f(1)a11；當(dāng)n3，nN*時，cnf(2n4)f(2n12)f(2n21)2(2n21)12n11，故當(dāng)n3時，Tn51(221)(231)(2n11)6(n2)2nn.n1時，T15不滿足Tn2nn，n2時，T2c1c26滿足Tn2nn，故Tn【例5】解：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x00，y00)，直線l的方程為yy0k(xx0)，代入，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的兩個相等實根，解得.直線l的方程為令x0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又1，4y023x0212，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又直線l的方程為，令x0，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，以AB為直徑的圓的方程為，整理得.由得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(1,0)和(1,0)【變式訓(xùn)練5】解：(1)設(shè)橢圓M的半焦距為c，由題意知所以a2，b1.因此橢圓M的方程為y21.(2)由整理得5x28mx4m240，由64m280(m21)8016m20，得m.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|PQ|(m)線段CD的方程為y1(2x2)，線段AD的方程為x2(1y1)不妨設(shè)點(diǎn)S在AD邊上，T在CD邊上，可知1m，S(2，m2)，D(2,1)，所以|ST|SD|1(m2)(3m)，因此，令t3m(1m)，則m3t，t(3，2，所以，由于t(3，2，所以，因此當(dāng)，即t時，取得最大值，此時m.不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上，T在CD邊上，此時1m1，因此|ST|AD|2，此時，所以當(dāng)m0時，取得最大值.不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上，T在BC邊上，m1，由橢圓和矩形的對稱性知的最大值為，此時m.綜上所述，m±或m0時，取得最大值.【例6】解：(1)f(x)x2(a2)xbae3x，由f(3)0，得323(a2)ba·e330，即得b32a，則f(x)x2(a2)x33ae3x(x3)(xa1)e3x.令f(x)0，得x13或x2a1，由于x3是函數(shù)的一個極值點(diǎn)所以x1x2，那么a4.當(dāng)a4時，x23x1，則在區(qū)間(，3)上，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間(3，a1)上，f(x)0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間(a1，)上，f(x)0，f(x)為減函數(shù)當(dāng)a4時，x23x1，則在區(qū)間(，a1)上，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間(a1,3)上，f(x)0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間(3，)上，f(x)0，f(x)為減函數(shù)即a4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，a1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，3)，(a1，)；a4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a1,3)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，a1)，(3，)(2)由(1)知，當(dāng)a0時，f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，而f(0)(2a3)e30，f(4)(2a13)e10，f(3)a6，那么f(x)在區(qū)間0,4上的值域是(2a3)e3，a6又在區(qū)間0,4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0,4上的值域是，由于(a6)a2a，所以必須且僅需且a0，解得0a.故a的取值范圍是.【變式訓(xùn)練6】解：(1)當(dāng)0，即sin 0時，f(x)4x3，則f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值(2)f(x)12x26xsin ，令f(x)0，得x10，x2.當(dāng)x變化時，f(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：x(，0)0f(x)00f(x)增極大值減極小值增因此函數(shù)f(x)在x處取得極小值f，且fsin3.要使f0，必有sin30，可得0sin ，所以0或.(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)與內(nèi)都是增函數(shù)由題設(shè)函數(shù)f(x)在(2a1，a)內(nèi)是增函數(shù)，則a需滿足不等式組或由(2)，參數(shù)滿足0或時，0sin ，要使不等式2a1sin 關(guān)于參數(shù)恒成立，必有2a1，故a.綜上所述，a的取值范圍是(，0.