2020年高考數(shù)學(xué) 專家講壇 第7講 不等式及綜合應(yīng)用（含2020試題含點(diǎn)評(píng)）

第七講不等式及綜合應(yīng)用真題試做1(2020·高考浙江卷)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5 D62(2020·高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_考情分析不等式部分在高考中往往是一到兩個(gè)填空題，重點(diǎn)考查一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃問題和基本不等式在求最值中的應(yīng)用，解答題一般沒有純不等式的題目，而會(huì)穿插在其他知識(shí)中進(jìn)行綜合考查一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)與工具在近幾年的高考中，涉及二次不等式的試題占有較大的比例，試題形式活潑且多種多樣，既有填空題，又有解答題，多數(shù)是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何及實(shí)際問題相互交叉和滲透，考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，以及邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的綜合數(shù)學(xué)能力，充分體現(xiàn)了不等式的知識(shí)所具有的極強(qiáng)的輻射作用考點(diǎn)一一元二次不等式解一元二次不等式，換元法和圖解法是常用的技巧之一，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更清晰(1)已知函數(shù)f(x)則不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1(2)若函數(shù)f(x)(a24a5)x24(a1)x3的圖象恒在x軸上方，則a的取值范圍是()A1a19 B1<a<19C1a<19 D1<a19【思路點(diǎn)撥】(1)涉及分段函數(shù)的有關(guān)問題，求解時(shí)應(yīng)按分段函數(shù)中每段的定義域進(jìn)行分類(2)本題的解題思路是：函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象恒在x軸上方，則對(duì)應(yīng)不等式ax2bxc>0對(duì)一切xR恒成立(1)解一元二次不等式通常先將不等式化為ax2bxc>0或ax2bxc<0(a>0)的形式，然后求出對(duì)應(yīng)方程的根(若有根的話)，再寫出不等式的解；(2)解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式，可以考慮把不等式的兩邊化成同底數(shù)的冪或同底數(shù)的對(duì)數(shù)的形式，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把它化為代數(shù)不等式，但要注意對(duì)數(shù)不等式的真數(shù)大于零這一隱含條件；(3)求解分段函數(shù)條件下的不等式，應(yīng)按每段定義域?qū)?yīng)下的函數(shù)解析式分別轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題一般是把一元二次不等式看作二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的圖象判斷函數(shù)圖象在這個(gè)區(qū)間上與x軸的相對(duì)位置，列出不等式恒成立滿足的條件強(qiáng)化訓(xùn)練1解不等式：(1)1；(2)log(x22x3)>log(3x1).考點(diǎn)二簡單的線性規(guī)劃問題熟悉二元一次不等式AxByC0表示平面區(qū)域的判定方法，會(huì)求與平面區(qū)域相關(guān)的整點(diǎn)、面積等問題掌握線性規(guī)劃問題的解題步驟，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答設(shè)x，y滿足約束條件求z2xy的最大值和最小值(1)幾何意義法：指根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的特征找到其所代表的幾何意義，結(jié)合圖形求解，它是解決中學(xué)階段線性規(guī)劃問題的一般方法，高考范圍內(nèi)的所有線性規(guī)劃問題都可采用這一方法常見目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義有截距、向量投影(目標(biāo)函數(shù)是整式)、斜率(目標(biāo)函數(shù)是分式)、距離(目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)完全平方式之和)、點(diǎn)線距(目標(biāo)函數(shù)是二元一次因式的絕對(duì)值)等(2)變量替代法：指把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去，得到新的不等式組，畫出此時(shí)的平面區(qū)域，觀察左右或上下邊界即可得到目標(biāo)函數(shù)z的值域(最值)(3)解不等式法：指在目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃問題中，把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去，得到z的不等式組，直接放縮求解(4)界點(diǎn)定值法：指通過總結(jié)，若目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃問題，對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最值的最優(yōu)解都是可行域所對(duì)應(yīng)圖形的邊界頂點(diǎn)，這時(shí)要求目標(biāo)函數(shù)的值域，只要把可行域的幾個(gè)頂點(diǎn)代入，找到目標(biāo)函數(shù)幾個(gè)取值中最大的和最小的，即目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值強(qiáng)化訓(xùn)練2設(shè)定點(diǎn)A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件則|cosAOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為_考點(diǎn)三基本不等式及其應(yīng)用利用基本不等式及變形求最值，掌握基本不等式及變形求函數(shù)的最大值和最小值；能靈活應(yīng)用基本不等式解答函數(shù)和數(shù)列等綜合問題(2020·高考陜西卷)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aa<v< BvC.<v< Dv【思路點(diǎn)撥】先據(jù)已知條件用a和b表示出平均時(shí)速為v，再據(jù)基本不等式求出v與，a之間的大小關(guān)系基本不等式是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一，同時(shí)也是解決很多函數(shù)最值問題的重要手段，我們常用“一正，二定，三相等”來表明應(yīng)用基本不等式的原則，當(dāng)題目的條件不滿足這一前提，就需要適當(dāng)?shù)摹皽悺迸c“配”高考中，以填空題形式考查是常見的一種形式，有時(shí)也和函數(shù)結(jié)合在一起以解答題的形式考查強(qiáng)化訓(xùn)練3(2020·高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為()A0 B1C. D3不等式與四類知識(shí)的交匯不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，是分析和解決各種數(shù)學(xué)問題的重要工具，它的思想方法和內(nèi)容幾乎遍布高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié)，應(yīng)用十分廣泛，與其他知識(shí)的交匯是高考中?？汲Ｐ碌膯栴}，應(yīng)該引起我們的重視，下面分類解析不等式與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯問題一、不等式與集合的交匯已知全集UR，集合Mx|x1，Nx|0，則U(MN)_【解析】易求得Nx|x1或x>2，而Mx|x1，MNx|x>2，U(MN)x|x2【答案】x|x2本題主要考查分式不等式的解法及集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，不等式的解法及集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是高考?？純?nèi)容，要認(rèn)真掌握，并確保得分二、不等式與邏輯條件的交匯(2020·云南師大附中月考改編)已知條件p：x23x40；條件q：x26x9m20；若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是_【解析】對(duì)于p：1x4，對(duì)于q討論如下，當(dāng)m>0時(shí)，q：3mx3m；當(dāng)m<0時(shí)，q：3mx3m，若p是q的充分不必要條件，只需要或解得m4或m4.【答案】(，44，)對(duì)于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，這決定此不等式是否為二次不等式；(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于0，這決定所求不等式的不等號(hào)的方向；(3)討論判別式是否大于0，當(dāng)判別式大于0時(shí)，判斷兩根的大小關(guān)系三、不等式與函數(shù)的交匯函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，且不等式f(cos 23)f(4m2mcos )>0對(duì)所有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解】令x1x20，則f(0)f(00)f(0)f(0)，所以f(0)0.由題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)xR，f(0)f(xx)f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，故f(x)是奇函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，則x2x1>0，所以f(x2x1)f(x2)f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，則f(x)是增函數(shù)由題意，得f(cos 23)>f(4m2mcos )f(2mcos 4m)又f(x)是增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于cos 23>2mcos 4m對(duì)所有恒成立，分離參數(shù)，得m>(2cos )4，由于的最大值是42.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(42，)利用函數(shù)性質(zhì)法求解恒成立問題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)，找到參數(shù)滿足的不等式四、不等式與數(shù)列的交匯已知數(shù)列an中，a13，an12an1(n1)(1)設(shè)bnan1(n1，2，3)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)設(shè)cn，求證：數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn<.【證明】(1)由an12an1，得an112(an1)，an1是以a112為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知an12×2n12n，an2n1，cn，Sn()()()<.本題以數(shù)列為載體考查了不等式的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和方法等數(shù)列知識(shí)._體驗(yàn)真題·把脈考向_1【解析】選C.x>0，y>0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)×25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，3x4y的最小值為5.2【解析】由題意知f(x)x2axbb.f(x)的值域?yàn)?，)，b0，即b.f(x).又f(x)c，c，即x.，得26，c9.【答案】9_典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)當(dāng)x1<0，即x<1時(shí)，f(x1)(x1)1x.原不等式可化為x(x1)(x)1.由得x21，xR，此時(shí)不等式的解集為x|x<1當(dāng)x10，即x1時(shí)，f(x1)x11x，原不等式可化為x(x1)x1.解得1x1，此時(shí)不等式的解集為x|1x1綜上可知，原不等式的解集為x|x<1x|1x1x|x1(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象恒在x軸上方，所以不等式(a24a5)x24(a1)x3>0對(duì)一切xR恒成立當(dāng)a24a50時(shí)，有a5或a1.若a5，不等式可化為24x3>0，不滿足題意；若a1，不等式可化為3>0，滿足題意當(dāng)a24a50時(shí)，應(yīng)有解得1<a<19.綜上，可得a的取值范圍是1a<19.【答案】(1)C(2)C強(qiáng)化訓(xùn)練1【解】(1)原不等式可變形為10，即0，化簡得0.此不等式等價(jià)于解得x1，或x>4.故原不等式的解集為x|x1，或x>4(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為不等式的解集為【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如圖(1)中的ABC及其內(nèi)部(陰影部分)，且求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)，作出直線L0：2xy0，再將直線L0平移當(dāng)L0的平行線過C點(diǎn)時(shí)，可使z2xy達(dá)到最小值；當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時(shí)，可使z2xy達(dá)到最大值所以zmin，zmax8.圖(1)法二：(變量替代法)將y2xz代入原約束條件，可得把z看作縱軸，畫出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖(2)所示(陰影部分)，可知最高點(diǎn)P(5，8)，最低點(diǎn)Q(1，)，所以zmin，zmax8.圖(2)法三：(解不等式法)由解法二，可知可變?yōu)樗越獾脄8.故z的最大值為8，z的最小值為.法四：(界點(diǎn)定值法)先作出可行域，如圖(1)中的ABC及其內(nèi)部(陰影部分)，可求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)把ABC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)中求出z值分別為8，1，比較大小，可知z的最大值為8，z的最小值為.強(qiáng)化訓(xùn)練2【解析】|·cosAOP·x.作出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示，由圖形，可知當(dāng)點(diǎn)P是直線xy6與y2的交點(diǎn)時(shí)，x取最大值聯(lián)立方程得P(4，2)所以x的最大值為4，即|cosAOP的最大值為4.【答案】4【例3】【解析】設(shè)甲乙兩地相距s，則小王用時(shí)為，v，0<a<b，<，>a.<，a<v<.【答案】A強(qiáng)化訓(xùn)練3【解析】選B.zx23xy4y2(x>0，y>0，z>0)，1.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)zx23xy4y24y26y24y22y2，(1)21，當(dāng)y1時(shí)，的最大值為1.