2020年高考數(shù)學一輪經(jīng)典例題 正態(tài)分布 理

借助于標準正態(tài)分布表求值例 設(shè)服從，求下列各式的值：（1） （2） （3） 分析：因為用從標準正態(tài)分布，所以可以借助于標準正態(tài)分布表，查出其值．但由于表中只列出的情形，故需要轉(zhuǎn)化成小于非負值的概率，公式：和有其用武之地．解：（1）（2）（3）說明：要制表提供查閱是為了方便得出結(jié)果，但標準正態(tài)分布表如此簡練的目的，并沒有給查閱造成不便．相反其簡捷的效果更突出了核心內(nèi)容．左邊的幾個公式都應在理解的基礎(chǔ)上記住它，并學會靈活應用．求服從一般正態(tài)分布的概率例 設(shè)服從試求：（1） （2） （3） （4）分析：首先，應將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布，利用結(jié)論：若，則由知：其后再轉(zhuǎn)化為非負標準正態(tài)分布情況的表達式，通過查表獲得結(jié)果．解：（1）（2）（3）（4）說明：這里，一般正態(tài)分布，總體小于的概率值與和是一樣的表述，即：服從正態(tài)分布的材料強度的概率例 已知：從某批材料中任取一件時，取得的這件材料強度服從（1）計算取得的這件材料的強度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保證強度不低于150，問這批材料是否符合這個要求．分析：這是一個實問題，只要通過數(shù)學建模，就可以知道其本質(zhì)就是一個“正態(tài)分布下求隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率”的問題；本題的第二問是一個逆向式問法，只要把握實質(zhì)反向求值即可．解：（1）（2）可以先求出：這批材料中任取一件時強度都不低于150的概率為多少，拿這個結(jié)果與99％進行比較大小，從而得出結(jié)論．即從這批材料中任取一件時，強度保證不低于150的概率為99.73％＞99％，所以這批材料符合所提要求．說明：“不低于”的含義即在表達式中為“大于或等于”．轉(zhuǎn)化“小于”后，仍須再轉(zhuǎn)化為非負值的標準正態(tài)分布表達式，從而才可查表．公共汽車門的高度例 若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1％以下設(shè)計的，如果某地成年男子的身高（單位：㎝），則該地公共汽車門的高度應設(shè)計為多高？分析：實際應用問題，分析可知：求的是門的最低高度，可設(shè)其為，使其總體在不低于的概率值小于1％，即：，從中解出的范圍．解：設(shè)該地公共汽車門的高度應設(shè)計高為cm，則根據(jù)題意可知：，由于，所以，也即：通過查表可知：解得：即該地公共汽車門至少應設(shè)計為189cm高． 說明：逆向思維和逆向查表，體現(xiàn)解決問題的靈活性．關(guān)鍵是理解題意和找出正確的數(shù)學表達式．學生成績的正態(tài)分布例 某班有48名同學，一次考試后數(shù)學成績服從正態(tài)分布．平均分為80，標準差為10，問從理論上講在80分至90分之間有多少人？分析：要求80分至90分之間的人數(shù)，只要算出分數(shù)落在這個范圍內(nèi)的概率，然后乘以總?cè)藬?shù)即可，而計算這個概率，需要查標準正態(tài)分布表，所以應首先把這個正態(tài)總體化成標準正態(tài)總體．解：設(shè)x表示這個班的數(shù)學成績，則x服從設(shè)則z服從標準正態(tài)分布．查標準正態(tài)分布表，得：所以，∴．說明：這類問題最容易犯的錯誤是沒有轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布就直接求解，一般地，我們在解決正態(tài)總體的有關(guān)問題時均要首先轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體．。