2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 正態(tài)分布 理

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1、借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求值 例 設(shè)服從，求下列各式的值： （1） （2） （3） 分析：因?yàn)橛脧臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可以借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值．但由于表中只列出的情形，故需要轉(zhuǎn)化成小于非負(fù)值的概率，公式：和有其用武之地． 解：（1） （2） （3） 說明：要制表提供查閱是為了方便得出結(jié)果，但標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表如此簡練的目的，并沒有給查閱造成不便．相反其簡捷的效果更突出了核心內(nèi)容．左邊的幾個(gè)公式都應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上記住它，并學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用． 求服從一般正態(tài)分布的概率 例 設(shè)服從試求： （1） （2） （3） （4） 分析：首先，應(yīng)將一般

2、正態(tài)分布轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用結(jié)論：若，則由知：其后再轉(zhuǎn)化為非負(fù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情況的表達(dá)式，通過查表獲得結(jié)果． 解：（1） （2） （3） （4） 說明：這里，一般正態(tài)分布，總體小于的概率值與和是一樣的表述，即： 服從正態(tài)分布的材料強(qiáng)度的概率 例 已知：從某批材料中任取一件時(shí)，取得的這件材料強(qiáng)度服從 （1）計(jì)算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率． （2）如果所用的材料要求以99％的概率保證強(qiáng)度不低于150，問這批材料是否符合這個(gè)要求． 分析：這是一個(gè)實(shí)問題，只要通過數(shù)學(xué)建模，就可以知道其本質(zhì)就是一個(gè)“正態(tài)分布下求隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率”的問題；本題

3、的第二問是一個(gè)逆向式問法，只要把握實(shí)質(zhì)反向求值即可． 解：（1） （2）可以先求出：這批材料中任取一件時(shí)強(qiáng)度都不低于150的概率為多少，拿這個(gè)結(jié)果與99％進(jìn)行比較大小，從而得出結(jié)論． 即從這批材料中任取一件時(shí)，強(qiáng)度保證不低于150的概率為99.73％＞99％，所以這批材料符合所提要求． 說明：“不低于”的含義即在表達(dá)式中為“大于或等于”．轉(zhuǎn)化“小于”后，仍須再轉(zhuǎn)化為非負(fù)值的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表達(dá)式，從而才可查表． 公共汽車門的高度 例 若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1％以下設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高（單位：㎝），則該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)

4、為多高？ 分析：實(shí)際應(yīng)用問題，分析可知：求的是門的最低高度，可設(shè)其為，使其總體在不低于的概率值小于1％，即：，從中解出的范圍． 解：設(shè)該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)高為cm，則根據(jù)題意可知：，由于， 所以， 也即： 通過查表可知： 解得： 即該地公共汽車門至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189cm高． 說明：逆向思維和逆向查表，體現(xiàn)解決問題的靈活性．關(guān)鍵是理解題意和找出正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式． 學(xué)生成績的正態(tài)分布 例 某班有48名同學(xué)，一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布．平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問從理論上講在80分至90分之間有多少人？ 分析：要求80分至90分之間的人數(shù)，只要算出分?jǐn)?shù)落在這個(gè)范圍內(nèi)的概率，然后乘以總?cè)藬?shù)即可，而計(jì)算這個(gè)概率，需要查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，所以應(yīng)首先把這個(gè)正態(tài)總體化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體． 解：設(shè)x表示這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績，則x服從 設(shè)則z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得： 所以， ∴． 說明：這類問題最容易犯的錯(cuò)誤是沒有轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就直接求解，一般地，我們?cè)诮鉀Q正態(tài)總體的有關(guān)問題時(shí)均要首先轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體．