2020年高考數(shù)學考前回扣教材3 三角函數(shù)、平面向量

回扣3三角函數(shù)、平面向量 1.準確記憶六組誘導公式對于“±，kZ”的三角函數(shù)值，與角的三角函數(shù)值的關(guān)系可按口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2cos21，tan (cos 0).3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).(4)asin bcos sin()(其中tan ).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.5.三種三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象單調(diào)性在2k，2k (kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k (kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k (kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(k，k)(kZ)上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk (kZ)對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(，0) (kZ)6.函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)的圖象(1)“五點法”作圖：設zx，令z0，2，求出相應的x的值與y的值，描點、連線可得.(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時，一般利用五點中的零點或最值點作為解題突破口.(3)圖象變換：ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x).7.正弦定理及其變形2R(2R為ABC外接圓的直徑).變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.8.余弦定理及其推論、變形a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.9.面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.10.解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解.(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一.(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解.(4)已知三邊，利用余弦定理求解.11.平面向量的數(shù)量積(1)若a，b為非零向量，夾角為，則a·b|a|b|cos .(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.12.兩個非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.13.利用數(shù)量積求長度(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.14.利用數(shù)量積求夾角若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .15.三角形“四心”向量形式的充要條件設O為ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則(1)O為ABC的外心|.(2)O為ABC的重心0.(3)O為ABC的垂心···.(4)O為ABC的內(nèi)心abc0.1.利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號.2.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時，不要忽略x的取值范圍.3.求函數(shù)f(x)Asin(x)的單調(diào)區(qū)間時，要注意A與的符號，當<0時，需把的符號化為正值后求解.4.三角函數(shù)圖象變換中，注意由ysin x的圖象變換得ysin(x)時，平移量為，而不是.5.在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解.6.要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行.7.a·b>0是a，b為銳角的必要不充分條件；a·b<0是a，b為鈍角的必要不充分條件.1.2sin 45°cos 15°sin 30°的值等于()A. B. C. D.1答案C解析2sin 45°cos 15°sin 30°2sin 45°cos 15°sin(45°15°)2sin 45°cos 15°(sin 45°cos 15°cos 45°sin 15°)sin 45°cos 15°cos 45°sin 15°sin 60°.故選C.2.要得到函數(shù)ysin 2x的圖象，可由函數(shù)ycos(2x)()A.向左平移個單位長度得到B.向右平移個單位長度得到C.向左平移個單位長度得到D.向右平移個單位長度得到答案D解析由于函數(shù)ysin 2xcos(2x)cos(2x)cos2(x)，所以可由函數(shù)ycos(2x)向右平移個單位長度得到函數(shù)ysin 2x的圖象，故選D.3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A.3 B. C. D.3答案C解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6，C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C×6×，故選C.4.(1tan 18°)(1tan 27°)的值是()A. B.1 C.2 D.2(tan 18°tan 27°)答案C解析由題意得，tan(18°27°)，即1，所以tan 18°tan 27°1tan 18°tan 27°，所以(1tan 18°)(1tan 27°)1tan 18°tan 27°tan 18°tan 27°2，故選C.5.設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定答案B解析bcos Cccos Basin A，sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，sin(BC)sin2A，sin A1，A，三角形為直角三角形.6.已知A，B，C是銳角ABC的三個內(nèi)角，向量p(sin A，1)，q(1，cos B)，則p與q的夾角是()A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定答案A解析A、B、C是銳角ABC的三個內(nèi)角，AB>，即A>B>0，sin A>sin(B)cos B，p·qsin Acos B>0.再根據(jù)p，q的坐標可得p，q不共線，故p與q的夾角為銳角.7. f(x)sin(2x)cos(2x)是()A.最小正周期為2的偶函數(shù)B.最小正周期為2的奇函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)答案C解析f(x)sin(2x)cos(2x)sin(2x)sin 2x，是最小正周期為的奇函數(shù)，故選C.8.已知a，b為同一平面內(nèi)的兩個向量，且a(1，2)，|b|a|，若a2b與2ab垂直，則a與b的夾角為()A.0 B. C. D.答案D解析|b|a|，而(a2b)·(2ab)02a22b23b·a0b·a，從而cosb，a1，b，a，故選D.9.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c有下列命題：若A>B>C，則sin A>sin B>sin C；若，則ABC為等邊三角形；若sin 2Asin 2B，則ABC為等腰三角形；若(1tan A)(1tan B)2，則ABC為鈍角三角形；存在A，B，C使得tan Atan Btan C<tan Atan Btan C成立.其中正確的命題為_.(寫出所有正確命題的序號).答案解析若A>B>C，則a>b>csin A>sin B>sin C；若，則sin(AB)0ABab，同理可得ac，所以ABC為等邊三角形；若sin 2Asin 2B，則2A2B或2A2B，因此ABC為等腰或直角三角形；若(1tan A)(1tan B)2，則tan Atan B1tan Atan B，因此tan(AB)1C，ABC為鈍角三角形；在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C恒成立，因此正確的命題為.10.若ABC的三邊a，b，c及面積S滿足Sa2(bc)2，則sin A_.答案解析由余弦定理得Sa2(bc)22bc2bccos Abcsin A，所以sin A4cos A4，由sin2Acos2A1，解得sin2A(1)21，sin A(0舍去).11.若tan 3，則cos2sin cos _.答案解析tan 3，cos2sin cos .12.已知單位向量a，b，c，且ab，若cta(1t)b，則實數(shù)t的值為_.答案1或0解析cta(1t)bc2t2(1t)2|c|21t0或t1.13.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcos A(2ca)cos(AC).(1)求角B的大??；(2)求函數(shù)f(x)2sin 2xsin(2xB)(xR)的最大值.解(1)由已知，bcos A(2ca)cos(B)，即sin Bcos A(2sin Csin A)cos B，即sin(AB)2sin Ccos B，則sin C2sin Ccos B，cos B，即B.(2)f(x)2sin 2xsin 2xcos cos 2xsin sin 2xcos 2xsin(2x)，即xk，kZ時，f(x)取得最大值.14.已知函數(shù)f(x)2cos x(sin xcos x)1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f(A)1，b，c3，求a的值.解(1)f(x)2sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期為.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為k，k(kZ).(2)由題意知f(A)sin(2A)1，sin(2A)，又A是銳角，2A，A，由余弦定理得a2292××3×cos 5，a.