2020高中數(shù)學(xué) 2-2-1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步檢測(cè) 新人教B版選修2-1

2.2第1課時(shí) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、選擇題 1．平面上到點(diǎn)A(－5,0)、B(5,0)距離之和為10的點(diǎn)的軌跡是(　　) A．橢圓　　　　　　　　 B．圓 C．線段 D．軌跡不存在 [答案]　C [解析]　兩定點(diǎn)距離等于定常數(shù)10，所以軌跡為線段． 2．橢圓ax2＋by2＋ab＝0(a<b<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(±，0) B．(±，0) C．(0，±) D．(0，±) [答案]　D [解析]　ax2＋by2＋ab＝0可化為＋＝1 ∵a<b<0∴－a>－b>0，∴＋＝1， 焦點(diǎn)在y軸上，c＝＝ ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±) 3．已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上．若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為(　　) A.　　　B．3　　　　C.　　　D. [答案]　D [解析]　a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝. ∵△PF1F2為直角三角形． ∴P是橫坐標(biāo)為±的橢圓上的點(diǎn)．(P點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn)) 設(shè)P(±，|y|)，把x＝±代入橢圓方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝. 4．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是(　　) A．± B．± C．± D．± [答案]　C [解析]　設(shè)F1(－3,0)∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3代入＋＝1得＝1－＝，y2＝，∴y＝± 5．橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．4 [答案]　C [解析]　如圖所示，由＋y2＝1知，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)分別為(－，0)、(，0)，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xp＝－，代入橢圓方程得yp＝， ∴|PF1|＝， ∵|PF1|＋|PF2|＝4. ∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝. 6．(09·陜西理)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓?>>0?m>n>0.故選C. 7．橢圓＋＝1的焦距是2，則m的值是(　　) A．5　　　B．3或8　　C．3或5　　D．20 [答案]　C [解析]　2c＝2，c＝1，故有m－4＝12或4－m＝12，∴m＝5或m＝3且同時(shí)都大于0，故答案為C. 8．過(guò)橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則A、B與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成△ABF2的周長(zhǎng)是(　　) A．2　　 　B．4　　 　C.　　 　D．2 [答案]　B [解析]　∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4， 即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4. 9．已知橢圓的方程為＋＝1，焦點(diǎn)在x軸上，則m的取值范圍是(　　) A．－4≤m≤4 B．－4<m<4且m≠0 C．m>4或m<－4 D．0<m<4 [答案]　B [解析]　因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，故m2<16且m2≠0，解得－4<m<4且m≠0. 10．若△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) [答案]　D [解析]　頂點(diǎn)C滿(mǎn)足|CA|＋|CB|＝10>|AB|，由橢圓定義知2a＝10,2c＝8 所以b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故橢圓方程為＋＝1(y≠0)． 二、填空題 11．如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2＝______. [答案]　2 [解析]　由題意S△POF2＝c2＝，則c2＝4?c＝2 ∴P＝(1，)代入橢圓方程＋＝1中得， ＋＝1，求出b2＝2. 12．已知A(－，0)，B是圓F：(x－) 2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)___________． [答案]　x2＋y2＝1 [解析]　如圖所示，由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2， ∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|， 即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，a＝1，c＝，b2＝. ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋＝1，即x2＋y2＝1. 13．(08·浙江)已知F1、F2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________. [答案]　8 [解析]　(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8. 14．如圖，把橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________. [答案]　35 [解析]　設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知， |P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|， ∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35. 三、解答題 15．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)． (2)坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)，B(，) [解析]　(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0) 由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0)， ∴? 故所求橢圓的方程為＋x2＝1. (2)設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(m>0，n>0)． ∵橢圓過(guò)A(0,2)，B(，)， ∴解得 ∴所求橢圓方程為x2＋＝1. 16．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [解析]　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)．由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，代入得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為＋y2＝1. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)． 由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋y2＝1. 17．已知m為常數(shù)且m>0，求證：不論b為怎樣的正實(shí)數(shù)，橢圓＋＝1的焦點(diǎn)不變． [解析]　∵m>0，b2＋m>b2，∴焦點(diǎn)在x軸上，由＝，得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，由m為常數(shù)，得橢圓的焦點(diǎn)不變． 18．在面積為1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)的橢圓方程． [解析]　以線段MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系． 設(shè)M(－c,0)，N(c,0)，c>0， 又P(x0，y0)，y0>0. 由??P(，)． 設(shè)橢圓方程為＋＝1，又P在橢圓上， 故b2()2＋(b2＋)()2＝b2(b2＋)， 整理得3b4－8b2－3＝0?b2＝3. 所以所求橢圓方程為＋＝1.