2020高中數(shù)學 3-1-4空間向量的正交分解及其坐標表示同步檢測 新人教B版選修2-1

3.1第4課時 空間向量的正交分解及其坐標表示 一、選擇題 1．對于向量a，b，c和實數(shù)λ，下列命題中真命題是(　　) A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0 B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，則b＝c [答案]　B [解析]　a·b＝0?a⊥b，|a|2＝|b|2?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)； a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均錯． 2．以下四個命題中正確的是(　　) A．空間的任何一個向量都可用其它三個向量表示 B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則a，b，c全不是零向量 C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0 D．任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底 [答案]　B [解析]　使用排除法．因為空間中的任何一個向量都可用其它三個不共面的向量來表示，故A不正確；△ABC為直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正確；空間向量基底是由三個不共面的向量組成的，故D不正確，故選B. 3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，則(　　) A．i＋j＋k　　　 B.i＋j＋k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k [答案]　C 4．給出下列命題： ①若{a，b，c}可以作為空間的一個基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構成空間的一個基底；③A，B，M，N是空間四點，若，，不能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底．其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 [答案]　D [解析]　根據(jù)基底的概念，空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底，否則就不能構成空間的一個基底．顯然②正確，③中由、、共面且過相同點B，故A、B、M、N共面． 下面證明①④正確． ①假設d與a、b共面，則存在實數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0， ∴存在實數(shù)k，使d＝kc， ∵d≠0，∴k≠0，從而c＝a＋b， ∴c與a、b共面與條件矛盾． ∴d與a，b不共面． 同理可證④也是正確的． 5．已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q構成空間的另一個基底的是(　　) A．a B．b C．c D．無法確定 [答案]　C [解析]　∵a＝p＋q，∴a與p、q共面， ∵b＝p－q，∴b與p、q共面， ∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq， ∴c與p、q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個基底，故選C. 6．給出下列兩個命題： ①如果向量a，b與任何向量不能構成空間的一個基底，那么a，b的關系是不共線； ②O，A，B，C為空間四點，且向量， ，不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面． 其中正確的命題是(　　) A．僅① B．僅② C．①② D．都不正確 [答案]　B [解析]?、賹臻g任意向量c，都有c與a、b共面，則必有a與b共線，∴①錯；②∵、、不能構成空間的基底，∴、、必共面，故存在實數(shù)λ，μ，使＝λ＋μ，∴O、A、B、C四點共面， ∴②正確． 7．已知i、j、k是空間直角坐標系O－xyz的坐標向量，并且＝－i＋j－k，則B點的坐標為(　　) A．(－1,1，－1)　　　　 B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不確定 [答案]　D [解析]　向量的坐標與B點的坐標不同． 8．設O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　連AG1交BC于E，則E為BC中點， ＝(＋)＝(－2＋)， ＝＝(－2＋)， ∵＝3＝3(－)，∴OG＝OG1， ∴＝＝(＋) ＝(＋－＋) ＝＋＋，故選A. 9．如果向量a，b與任何向量都不能構成空間的一個基底，則一定有(　　) A．a與b共線 B．a與b同向 C．a與b反向 D．a與b共面 [答案]　A [解析]　由定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，B，C都是A的一種情況．空間中任兩個向量都是共面的，故D錯． 10．對于空間的四個向量a，b，c，d最多能構成的基底個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　最多的情況是a，b，c，d中任兩個不共線，任三個不共面，從中任選三個都可做一組基底，共4個． 二、填空題 11．已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，則α、β、γ分別為________． [答案]　?。??。? [解析]　d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3， 又因為d＝e1＋2e2＋3e3，e1、e2、e3不共面， ∴，解得. 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(2,1，－1)，則p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為________，在基底{2a，b，－c}下的坐標為________． [答案]　(，，－1)　(1,1,1) [解析]　由條件p＝2a＋b－c. 設p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為(x，y，z)，則 p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， ∵a、b、c不共面， ∴，∴. 即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為(，，－1)， 同理可求p在基底{2a，b，－c}下的坐標為(1,1,1)． 13．(2020·商丘高二檢測)在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________. [答案]　a＋b＋c 14．三棱錐P－ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點，N為AC中點，以{，，}為基底，則的坐標為________． [答案]　(，0，－) [解析]　＝－＝(＋)－(＋)＝－， 即＝. 三、解答題 15．如圖所示，平行六面體OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量，. (2)設G、H分別是側面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. [解析]　(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. ＝＋＝＋＋ ＝＋－＝b＋c－a. (2)＝＋＝－＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b) 16．如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′中，點E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值： (1)＝x＋y＋z. (2)＝x＋y＋ z. [解析]　(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋ 又＝x＋y＋z ∴x＝1，y＝－1，z＝1. (2)∵＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋， 又＝x＋y＋z. ∴x＝，y＝，z＝1. 17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PA＝AD＝1.選取恰當?shù)幕浊笙蛄?、的坐標? [解析]　如圖所示，因為PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可設＝e1，＝e2，＝e3. 以{e1，e2，e3}為基底． 則∵＝＋＋ ＝＋＋＝＋＋(＋＋) ＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2) ＝－e1＋e3， ＝＝e2， ∴＝，＝(0,1,0)． 18．如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)證明：A、E、C1、F四點共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． [解析]　(1)證明：因為＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋， 所以A、E、C1、F四點共面． (2)解：因為＝－＝＋－(＋) ＝＋－－＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝.