2020高三數(shù)學二輪復習 第一篇 專題1 第4課時練習 理

專題1 第4課時 (本欄目內容，在學生用書中以活頁形式分冊裝訂！) 一、選擇題 1．(2020·福建卷)(ex＋2x)dx等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．e－1 C．e D．e＋1 解析：　(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e，故選C. 答案：　C 2．(2020·江西卷)若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)>0的解集為(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析：　由題意知x>0，且f′(x)＝2x－2－， 即f′(x)＝>0，∴x2－x－2>0， 解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2. 答案：　C 3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 011(x)＝(　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 解析：　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)是以4為周期的函數(shù)，∴f2 011(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故選A. 答案：　A 4．三次函數(shù)f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　) A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1 解析：　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，∴f′(x)≤0. ∵f′(x)＝3mx2－1，∴3mx2－1≤0恒成立，∴m≤恒成立． ∵>0，且m≠0，∴m<0，故選A. 答案：　A 5．已知對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(　　) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 解析：　依題意得，函數(shù)f′(x)、g′(x)分別是偶函數(shù)、奇函數(shù)，當x<0時，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0.選B. 答案：　B 6．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為(　　) A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 解析：　因為y′＝－x2＋81，所以當x>9時，y′<0；當x∈(0,9)時，y′>0，所以函數(shù)y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調遞減，在(0,9)上單調遞增，所以x＝9是函數(shù)的極大值點，又因為函數(shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值． 答案：　C 二、填空題 7．(2020·陜西卷)設f(x)＝)，若f(f(1))＝1，則a＝________. 解析：　由題意知f(1)＝lg 1＝0，∴f(0)＝0＋a3－03＝1， ∴a＝1. 答案：　1 8．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值． 解析：　由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，故當x＝2時，函數(shù)f(x)取得極小值． 答案：　2 9．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負數(shù)，則a的取值范圍是________． 解析：　f′(x)＝3x2－3a2，令f′(x)＝0，即3x2－3a2＝0， 解得x＝－a或x＝a. 當x∈(－∞，－a)時，f′(x)>0；當x∈(－a，a)時，f′(x)<0； 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， 故f(－a)為極大值，f(a)為極小值， 有解得a>. 答案：　 三、解答題 10．設函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2)討論f(x)的極值． 解析：　由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1. (1)當a＝1時，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增； 當a>1時，f′(x)＝6x[x－(a－1)]． f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  由上表可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調遞增；在(0，a－1)上單調遞減；在(a－1，＋∞)上單調遞增． (2)由(1)知，當a＝1時，函數(shù)f(x)沒有極值． 當a>1時，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值1，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3. 11．已知函數(shù)f(x)＝ax2－3x＋4＋2ln x(a>0)． (1)當a＝時，求函數(shù)f(x)在上的最大值； (2)若f(x)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：　(1)當a＝時，f(x)＝x2－3x＋4＋2ln x， f′(x)＝， 即f(x)在區(qū)間和(2,3]上單調遞增，在區(qū)間[1,2]上單調遞減， 比較f(1)＝，f(3)＝2ln 3－，得函數(shù)f(x)在上的最大值為f(3)＝2ln 3－. (2)f′(x)＝2ax－3＋＝， 因為f(x)在其定義域上是單調遞增函數(shù)， 所以當x∈(0，＋∞)時，f′(x)≥0恒成立，得2ax2－3x＋2≥0恒成立， 因為a>0，x＝>0，所以Δ＝9－16a≤0， 所以，實數(shù)a的取值范圍為. 12．已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exln x．(e≈2.718 28) (1)設曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與直線x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值； (2)若對于任意實數(shù)x≥0，f(x)>0恒成立，試確定實數(shù)a的取值范圍． 解析：　(1)由題知，f′(x)＝ex＋a. 因此曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線l的斜率為e＋a， 又直線x＋(e－1)y＝1的斜率為， ∴(e＋a)＝－1. ∴a＝－1. (2)∵當x≥0時，f(x)＝ex＋ax>0恒成立． ∴若x＝0，a為任意實數(shù)，f(x)＝ex＋ax>0恒成立． 若x>0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立， 即當x>0時，a>－恒成立． 設Q(x)＝－. Q′(x)＝－＝. 當x∈(0,1)時，Q′(x)>0，則Q(x)在(0,1)上單調遞增， 當x∈(1，＋∞)時，Q′(x)<0，則Q(x)在(1，＋∞)上單調遞減． ∴當x＝1時，Q(x)取得最大值． Q(x)max＝Q(1)＝－e， ∴要使x≥0時，f(x)>0恒成立，a的取值范圍為(－e，＋∞)．