2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三十講 數(shù)列求和 新人教版

第三十講　數(shù)列求和 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于(　　) A．200　　　　　　　　　B．－200 C．400 D．－400 解析：S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 答案：B 2．?dāng)?shù)列1，，，…，的前n項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 解析：該數(shù)列的通項(xiàng)為an＝，分裂為兩項(xiàng)差的形式為an＝2，令n＝1,2,3，…，則Sn＝ 2. ∴Sn＝2＝. 答案：B 3．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)等于(　　) A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1) 解析：f(n)為等比數(shù)列{23n－2}的前n＋4項(xiàng)的和，首項(xiàng)為2，公比為8，故f(n)＝＝(8n＋4－1)． 答案：D 4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝an－3，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于(　　) A．3n＋1－3 B．3n－3 C．3n＋1＋3 D．3n＋3 解析：∵Sn＝an－3，∴Sn＋1＝an＋1－3，兩式相減得：Sn＋1－Sn＝(an＋1－an)． 即an＋1＝(an＋1－an)，∴＝3. 又∵S1＝a1－3，即a1＝a1－3， ∴a1＝6. ∴an＝a1·qn－1＝6×3n－1＝2×3n. ∴Sn＝an－3＝×2×3n－3＝3n＋1－3，故應(yīng)選A. 答案：A 5．?dāng)?shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于(　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 解析：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)＋， 則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.故選A. 答案：A 6．?dāng)?shù)列an＝，其前n項(xiàng)之和為，則在平面直角坐標(biāo)系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為(　　) A．－10 B．－9 C．10 D．9 解析：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝a1＋a2＋…＋an， 又∵an＝－， ∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝， 又∵＝，∴n＝9， ∴原題變?yōu)榍?0x＋y＋9＝0在y軸上的截距，令x＝0，得y＝－9， ∴直線在y軸上的截距為－9.故選B. 答案：B 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________. 解析：由條件可知：f(x)＋f(1－x)＝1. 而x＋(1－x)＝1， ∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1， f(0)＋f(1)＝1， ∴f(－2)＋f(－1)＋…＋f(2)＋f(3)＝3. 答案：3 8.＋＋＋＋…＋－2等于________． 解析：設(shè)S＝＋＋＋…＋， 則S＝＋＋…＋＋. 相減，得S＝＋＋…＋－ ＝－. ∴S＝2－－. ∴原式＝－－. 答案：－－ 9．?dāng)?shù)列，，，…的前n項(xiàng)和等于________． 解析：an＝＝， ∴Sn＝ ＝ ＝－. 答案：－ 10．函數(shù)f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋…＋a1000＝__________. 解析：a2n＝f(2n)＋f(2n＋1)＝－4n2＋(2n＋1)2 ＝4n＋1，a2n－1＝f(2n－1)＋f(2n) ＝－(2n)2＋(2n－1)2 ＝－4n＋1 所以數(shù)列的前1000項(xiàng)和可分為兩部分： (a1＋a3＋a5＋…＋a999)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a1000)＝1000. 答案：1000 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S＝an. (1)求Sn的表達(dá)式； (2)設(shè)bn＝，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)∵S＝an， an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ∴S＝(Sn－Sn－1)， 即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn① 由題意Sn－1·Sn≠0， 故①式兩邊同除以Sn－1·Sn，得－＝2. ∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列， ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝. (2)∵bn＝＝ ＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 12．等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，S5＝a. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，求數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)的和． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)， ∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴a＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， ∵d>0，∴a1＝d，① ∵S5＝a， ∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2② 由①②得a1＝，d＝， ∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)． (2)bn＝ ＝· ＝， ∴b1＋b2＋b3＋…＋b99 ＝×＝× ＝275＋2.75＝277.75. 13．(2020·沈陽市模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1， 2an＋1＝2·an(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：由條件得＝·， 又n＝1時(shí)，＝1， 故數(shù)列{}構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 從而＝，即an＝. (2)由bn＝－＝得 Sn＝＋＋…＋ ?Sn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得Sn＝＋2－， 所以Sn＝5－.