2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元第八節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用舉例

第五單元 第八節(jié)正、余弦定理的應(yīng)用舉例一、選擇題1.如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)為了簡(jiǎn)便，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)()A，a，b B， Ca，b， Da，b，【解析】測(cè)得a，b，后，由余弦定理即可計(jì)算A、B間的距離【答案】C2從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則、的關(guān)系為()A BC90° D180°【解析】由仰角和俯角的定義知，與的余角為夾在兩水平線之間的內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系，故90°.【答案】C3已知兩燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東60°的方向上，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東10° D南偏西10°【解析】如圖，由題意知ACB80°，ACBC，CABABC50°.MBCN，MBCNCB60°，MBAMBCABC10°，即燈塔A在燈塔B的北偏西10°方向上【答案】B4(精選考題·池州模擬)一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時(shí)()A5海里 B5 海里C10海里 D10 海里【解析】如圖所示，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10，在RtABC中，得AB5，所以這艘船的速度是10(海里/小時(shí))【答案】C5.如圖所示，B、C、D在地平面同一直線上，DC10 m，從D、C兩地測(cè)得A的仰角分別為30°、45°，則點(diǎn)A距地面的距離等于()A10 m B5 m C5(1) m D5(1) m【解析】設(shè)點(diǎn)A距地面的距離等于x，則BCx，ACx，在ADC中，由正弦定理得，解得x5(1)【答案】D6.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km【解析】易知ACB120°，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcos120°2a22a2×3a2，ABa.【答案】B7一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A. 海里/小時(shí) B34 海里/小時(shí)C. 海里/小時(shí) D34 海里/小時(shí)【解析】如圖所示，在PMN中，MN34，v (海里/小時(shí))【答案】A二、填空題8在ABC中，AC，BC2，B60°，則A_.【解析】由正弦定理，sinA.BC2AC，A為銳角，A45°.【答案】45°9在ABC中，BC1，B，當(dāng)ABC的面積等于時(shí)，tanC_.【解析】SABCacsinB，c4，b2a2c22accosB13，cosC，sinC，tanC2.【答案】210(精選考題·舟山調(diào)研)甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的 倍，則甲船應(yīng)取_方向才能追上乙船【解析】如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時(shí)間為t，乙船速度為v，則BCtv，ACtv，B120°.由正弦定理知，sinCAB，CAB30°，故甲船應(yīng)取北偏東30°方向【答案】北偏東30°三、解答題11如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離【解析】在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1.又因?yàn)锽CD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.在ABC中，即AB，因此，BD(km)故B，D的距離為 km.12.(精選考題·陜西高考)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】由題意知AB5(3)(海里)，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，ADB180°(45°30°)105°.在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30°30°60°，BC20 海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC3001 2002×10×20×900，CD30(海里)，則需要的時(shí)間t1(小時(shí))該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)