三年高考（2020）高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)版解析 專(zhuān)題10 三角函數(shù)圖象與性質(zhì) 理（含解析）

專(zhuān)題10三角函數(shù)圖象與性質(zhì) 考綱解讀明方向 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.三角函數(shù)的圖 象及其變換 ①能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性; ②了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫(huà)出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響 掌握 2020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,9; 2020北京,7; 2020課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,14; 2020湖南,9 選擇題 填空題 解答題 ★★★ 2.三角函數(shù)的性 質(zhì)及其應(yīng)用 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸交點(diǎn)等).理解正切函數(shù)的單調(diào)性 理解 2020課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,6; 2020課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,7; 2020課標(biāo)Ⅰ,8 選擇題 填空題 解答題 ★★★ 分析解讀　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一直是高考中的熱點(diǎn),往往結(jié)合三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性及最值問(wèn)題,且常以解答題的形式考查,其考查內(nèi)容及形式仍是近幾年高考對(duì)該部分內(nèi)容考查的重點(diǎn).分值為10~12分,屬于中低檔題. 2020年高考全景展示 1．【2020年理天津卷】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 【答案】A 【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可. 詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 2．【2020年理北京卷】設(shè)函數(shù)f（x）=，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)_________． 【答案】 點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì) (1).(2)周期(3)由 求對(duì)稱(chēng)軸，最大值對(duì)應(yīng)自變量滿足，最小值對(duì)應(yīng)自變量滿足， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 3．【2020年江蘇卷】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值是________． 【答案】 【解析】分析：由對(duì)稱(chēng)軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果. 詳解：由題意可得，所以，因?yàn)?，所? 點(diǎn)睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)； (2)最小正周期；(3)由求對(duì)稱(chēng)軸；(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 4．【2020年全國(guó)卷Ⅲ理】函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】 點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。 2020年高考全景展示 1.【2020課標(biāo)1，理9】已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是 A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)名不同，所以先將利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與相同的函數(shù)名，則，則由上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍變?yōu)椋賹⑶€向左平移個(gè)單位得到，故選D. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像變換. 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)圖像變換問(wèn)題，首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式，需要重點(diǎn)記??；另外，在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，無(wú)論哪種變換，記住每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言. 2.【2020課標(biāo)3，理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．f(x)的一個(gè)周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng) C．f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減 【答案】D 【解析】 試題分析：函數(shù)的最小正周期為 ，則函數(shù)的周期為 ，取 ，可得函數(shù) 的一個(gè)周期為 ，選項(xiàng)A正確； 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為 ，即： ，取 可得y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)B正確； ，函數(shù)的零點(diǎn)滿足 ，即 ，取 可得f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=，選項(xiàng)C正確； 當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤； 故選D. 【考點(diǎn)】 函數(shù) 的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】(1)求最小正周期時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式. (2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的對(duì)稱(chēng)軸，只需令，求x；求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可. 3.【2020天津，理7】設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則 （A）， （B）， （C）， （D）， 【答案】 【考點(diǎn)】求三角函數(shù)的解析式 【名師點(diǎn)睛】有關(guān)問(wèn)題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時(shí)根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱(chēng)軸或曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫(huà)出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等. 4.【2020山東，理16】設(shè)函數(shù)，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值. 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到 由題設(shè)知及可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 從而. 根據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以 由題設(shè)知， 所以，.故，，又，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.因?yàn)椋? 所以，當(dāng)， 即時(shí)，取得最小值. 【考點(diǎn)】1.兩角和與差的三角函數(shù).2.三角函數(shù)圖象的變換與性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】此類(lèi)題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯(cuò)點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對(duì)應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等. 2020年高考全景展示 1.【2020高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得，則平移后函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，即，故選B. 考點(diǎn)： 三角函數(shù)的圖象變換與對(duì)稱(chēng)性. 【名師點(diǎn)睛】平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于ωx加減多少值． 2.【2020高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù) 為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱(chēng)軸,且在單調(diào),則的最大值為( ) （A）11        （B）9     （C）7        （D）5 【答案】B 考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,敘述方式新穎,是一道考查能力的好題.注意本題解法中用到的兩個(gè)結(jié)論:①的單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度是半個(gè)周期;②若的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng),則 或. 3.【2020年高考四川理數(shù)】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)( ) （A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 （B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 （C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 ?。―）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意，為了得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右移個(gè)單位，故選D. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像的平移. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個(gè)單位得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，向左平移個(gè)單位得的圖象． 4.【2020高考浙江理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（ ） A．與b有關(guān)，且與c有關(guān) B．與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān) C．與b無(wú)關(guān)，且與c無(wú)關(guān) D．與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān) 【答案】B 【解析】 試題分析：，其中當(dāng)時(shí)，，此時(shí)周期是；當(dāng)時(shí)，周期為，而不影響周期．故選B． 考點(diǎn)：1、降冪公式；2、三角函數(shù)的最小正周期． 【思路點(diǎn)睛】先利用三角恒等變換（降冪公式）化簡(jiǎn)函數(shù)，再判斷和的取值是否影響函數(shù)的最小正周期． 5.【2020年高考北京理數(shù)】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（） 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（ ） A.，的最小值為B. ，的最小值為 C.，的最小值為D.，的最小值為 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意得，，故此時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，此時(shí)向左平移個(gè)單位，故選A. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象平移 【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意平移變換時(shí)，當(dāng)自變量x的系數(shù)不為1時(shí)，要將系數(shù)先提出．翻折變換要注意翻折的方向；三角函數(shù)名不同的圖象變換問(wèn)題，應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進(jìn)行變換 6.【2020高考山東理數(shù)】函數(shù)f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ） （A） （B）π （C） （D）2π 【答案】B 【解析】 試題分析：,故最小正周期,故選B. 考點(diǎn)：1.和差倍半的三角函數(shù)；2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類(lèi)題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等. 7.【2020高考新課標(biāo)3理數(shù)】函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向 右平移_____________個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 【答案】 考點(diǎn)：1、三角函數(shù)圖象的平移變換；2、兩角和與差的正弦函數(shù)． 【誤區(qū)警示】在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí)，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少．