安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七概率與統(tǒng)計(jì)第2講 概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理

專題七 概率與統(tǒng)計(jì)第2講 概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例真題試做1(2020·山東高考，理4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查為此將他們隨機(jī)編號為1,2，960，分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間1,450的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間451,750的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為( )A7 B9 C10 D152(2020·陜西高考，理6)從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺自動售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則( )A.甲乙，m甲m乙B.甲乙，m甲m乙C.甲乙，m甲m乙D.甲乙，m甲m乙3(2020·廣東高考，理7)從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是( )A. B.C. D.4(2020·湖北高考，理20)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率考向分析概率部分主要考查了概率的概念、條件概率、互斥事件的概率加法公式、對立事件概率的求法，以及古典概型與幾何概型的計(jì)算，均屬容易題統(tǒng)計(jì)部分選擇、填空都是獨(dú)立考查本節(jié)知識，解答題均與概率的分布列綜合預(yù)測下一步概率部分會更加注重實(shí)際問題背景，考查分析、推理能力，統(tǒng)計(jì)部分在直方圖、莖葉圖、相關(guān)性部分都可單獨(dú)命題，且多為一個(gè)小題，解答題仍會與分布列結(jié)合熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一 隨機(jī)事件的概率【例1】(2020·江西高考，理18)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V)規(guī)律方法高考中，概率解答題一般有兩大方向一、以頻率分布直方圖為載體，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見的數(shù)據(jù)特征：如平均數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等或古典概型；二、以應(yīng)用題為載體，考查條件概率、獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的期望與方差等需要注意第一種方向的考查變式訓(xùn)練1(2020·北京昌平二模，理16)某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動靶的概率分別是和p(0<p<1)(1)若選手甲在A區(qū)射擊，求選手甲至少得3分的概率；(2)我們把在A、B兩區(qū)射擊得分的數(shù)學(xué)期望高者作為選擇射擊區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊，求p的取值范圍熱點(diǎn)二 古典概型與幾何概型【例2】(2020·北京高考，理2)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是( )A. B. C. D.規(guī)律方法較為簡單的問題可以直接使用古典概型公式計(jì)算，較為復(fù)雜的概率問題的處理方法：一是轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式進(jìn)行求解；二是采用間接解法，先求事件A的對立事件的概率，再由P(A)1P()求事件A的概率變式訓(xùn)練2(1)在長為18 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為( )A. B. C. D.(2)(2020·安徽江南十校聯(lián)考，理4)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動若每個(gè)社區(qū)至少一名義工，則甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率為( )A. B. C. D.熱點(diǎn)三 線性相關(guān)【例3】設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是( )Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，)C若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg規(guī)律方法線性回歸的基本思想及應(yīng)用主要按以下步驟完成：畫散點(diǎn)圖，檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；數(shù)據(jù)計(jì)算，求回歸方程；利用回歸方程，進(jìn)行科學(xué)預(yù)測變式訓(xùn)練3假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系試求：(1)線性回歸方程x的回歸系數(shù)，；(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？熱點(diǎn)四 獨(dú)立性檢驗(yàn)為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識測試兩個(gè)班同學(xué)的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示：按照大于或等于80分為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：成績與專業(yè)列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)A班20B班20總計(jì)40(2)能否有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)？附：K2P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)是指利用2×2列聯(lián)表，通過計(jì)算隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上兩個(gè)分類變量有關(guān)系的方法K2值越大，說明兩個(gè)分類變量X與Y有關(guān)系的可能性越大要會用倍度表判斷X與Y有關(guān)系的可信程度變式訓(xùn)練4為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2的觀測值k.思想滲透數(shù)形結(jié)合思想解答統(tǒng)計(jì)問題用數(shù)形結(jié)合思想解答的統(tǒng)計(jì)問題主要有：(1)通過頻率分布直方圖研究數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系求解時(shí)注意的問題：(1)頻率分布直方圖中縱軸表示，每個(gè)小長方形的面積等于這一組的頻率(2)在頻率分布直方圖中，組距是一個(gè)固定值，故各小長方形高的比就是頻率之比【典型例題】下表給出了某校120名12歲男孩的身高資料(單位：cm)區(qū)間界限122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限142,146)146,150)150,154)154,158)人數(shù)201165(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)樣本的頻率分布圖，估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的百分比解：(1)頻率分布表如下：區(qū)間人數(shù)頻數(shù)頻率122,126)5126,130)8130,134)10134,138)22138,142)33142,146)20146,150)11150,154)6154,158)5(2)頻率分布直方圖如圖：(3)由圖估計(jì)，身高小于134 cm的學(xué)生數(shù)約占總數(shù)的19%.1某企業(yè)共有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，初級職稱90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取各職稱的人數(shù)分別為( )A5,10,15 B3,9,18 C3,10,17 D5,9,162(2020·江西高考，理9)樣本(x1，x2，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，ym)的平均數(shù)為()若樣本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均數(shù)(1)，其中0<<，則n，m的大小關(guān)系為( )An<m Bn>m Cnm D不能確定3(2020·安徽高考，理5)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則( )A甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差4(2020·福建高考，理6)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為( )A. B. C. D.5在抽查某產(chǎn)品的尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，a，b是其中一組，抽查出的個(gè)體數(shù)在該組上的頻率是m，該組在頻率分布直方圖上的高為h，則|ab|等于( )Ah·m B.C. D與m，h無關(guān)6設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(<2a3)P(>a2)，則a的值為( )A. B. C5 D37(2020·安徽合肥第一次質(zhì)檢，理17)某籃球隊(duì)在一場比賽中，11名隊(duì)員得分情況如下：2 4 5 7 8 9 13 14 15 21 23(1)請?jiān)O(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)那o葉圖表示該組數(shù)據(jù)；(2)計(jì)算該隊(duì)隊(duì)員在本場比賽中得分的平均值；(3)從上述得分超過10分的隊(duì)員中任取2人，記選取2人中得分超過20分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望8某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E()參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1C 解析：由題意可得，抽樣間隔為30，區(qū)間451,750恰好為10個(gè)完整的組，所以做問卷B的有10人，故選C.2B 解析：由題圖可得甲21.562 5，m甲20，乙28.562 5，m乙29，所以甲乙，m甲m乙故選B.3D 解析：在個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中：(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)是偶數(shù)時(shí)，由分步計(jì)數(shù)乘法原理知，共有5×525個(gè)；(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)是奇數(shù)時(shí)，由分步計(jì)數(shù)乘法原理知，共有4×520個(gè)綜上可知，基本事件總數(shù)共有252045(個(gè))，滿足條件的基本事件有5×15(個(gè))，概率P.4解：(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X<300)0.3，P(300X<700)P(X<700)P(X<300)0.70.30.4，P(700X<900)P(X<900)P(X<700)0.90.70.2.P(X900)1P(X<900)10.90.1.所以Y的分布列為：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)0×0.32×0.46×0.210×0.13；D(Y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2×0.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X<300)0.7，又P(300X<900)P(X<900)P(X<300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X<900|X300).故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】 解：(1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)總共有C6320種取法，選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的取法有C31C4312種，因此V0的概率為P(V0).(2)V的所有可能取值為0，因此V的分布列為V0P由V的分布列可得E(V)0×××××.【變式訓(xùn)練1】 解：(1)設(shè)“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得3分”為事件N，則事件M與事件N為對立事件，P(M)C30·0·3，P(N)1P(M)1.(2)設(shè)選手甲在A區(qū)射擊的得分為，則的可能取值為0,3,6,9.P(0)3；P(3)C31··2；P(6)C32·2·；P(9)3.所以的分布列為0369PE()0×3×6×9×.設(shè)選手甲在B區(qū)射擊的得分為，則的可能取值為0,2,4.P(0)(1p)2；P(2)C21·p·(1p)2p(1p)；P(4)p2.所以的分布列為024P(1p)22p(1p)p2E()0×(1p)22·2p(1p)4·p24p.根據(jù)題意，有E()>E()，4p>，<p<1.【例2】 D解析：由題意知此概型為幾何概型，設(shè)所求事件為A，如圖所示，邊長為2的正方形區(qū)域?yàn)榭偠攘?，滿足事件A的是陰影部分區(qū)域A，故由幾何概型的概率公式得：P(A)=.【變式訓(xùn)練2】 (1)D 解析：AM的長介于69 cm之間，這是一個(gè)幾何概型，p.(2)B 解析：1，故選B.【例3】 D 解析：D選項(xiàng)中，若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重約為：0.85×17085.7158.79(kg)故D不正確【變式訓(xùn)練3】 解：(1)制表如下：i12345合計(jì)xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.34，5，i290，i2140.78，iyi112.3于是有1.23；51.23×40.08.(2)回歸直線方程為1.23x0.08，當(dāng)x10年時(shí)，1.23×100.0812.30.0812.38(萬元)，即估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是12.38萬元【例4】 解：(1)成績與專業(yè)列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)A班14620B班71320總計(jì)211940(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k4.912>3.841.所以有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)【變式訓(xùn)練4】 解：(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為14%.(2)K2的觀測值k9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1B 解析：高級、中級、初級職稱的人數(shù)所占比例分別為0.1，0.3，0.6.故選B.2A 解析：由已知，得x1x2xnn，y1y2ymm，(1)，整理，得()m(1)n0，m(1)n0，即.又0<<，0<<1，0<<1.又n，mN，n<m.3C 解析：由圖可得，甲6，乙6，故A錯(cuò)；而甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5，故B錯(cuò)；s甲22，s乙22.4，故C正確；甲的成績的極差為4，乙的成績的極差也為4，故D錯(cuò)4C 解析：由圖象知陰影部分的面積是(x)dx，所求概率為.5C 解析：頻率分布直方圖中，高度，所以|ab|，故選C.6A 解析：N(3,4)，P(<2a3)P(>a2)，2a3與a2關(guān)于3對稱，3，解得a.7解：(1)該隊(duì)隊(duì)員在本場比賽中得分的莖葉圖如下(2)經(jīng)計(jì)算該隊(duì)隊(duì)員在本場比賽中得分的平均值11.(3)的可能取值為0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，E()0.8.8解：(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1·p.解得p.(2)由題意，P(0)C303，P(1)C312·，P(2)C32·2，P(3)C333.所以，隨機(jī)變量的概率分布列為0123P故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：E()0×1×2×3×.