安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 文

專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用真題試做1(2020·遼寧高考，文8)函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)2(2020·遼寧高考，文12)已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為()A1 B3 C4 D83(2020·天津高考，文20)已知函數(shù)f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值考向分析文科用從近三年高考來看，該部分高考命題有以下特點：從內(nèi)容上看，考查導(dǎo)數(shù)主要有三個層次：(1)導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式與法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；(2)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)極值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的單調(diào)性等；(3)導(dǎo)數(shù)的綜合考查，包括導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式等的綜合題從形式上看，考查導(dǎo)數(shù)的試題有選擇題、填空題、解答題，有時三種題型會同時出現(xiàn)熱點例析熱點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】(2020·安徽高考，文17)設(shè)定義在(0，)上的函數(shù)f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx，求a，b的值規(guī)律方法 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是：曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))2求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)yf(x)在點xx0的導(dǎo)數(shù)f(x0)，即曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處切線的斜率；(2)已知或求得切點坐標(biāo)P(x0，f(x0)，由點斜式得切線方程為yy0f(x0)(xx0)特別提醒：當(dāng)曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線平行于y軸(此時導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義可知，切線方程為xx0；當(dāng)切點坐標(biāo)未知時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標(biāo)，再求解變式訓(xùn)練1 (1)設(shè)曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a_；文科用(2)設(shè)f(x)xln x1，若f(x0)2，則f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為_熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例2】文科用已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)f(x)在1，)上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，只需轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立問題求解解題過程中要注意分類討論；函數(shù)單調(diào)性問題以及一些相關(guān)的逆向問題，都離不開分類討論思想變式訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)xa(2ln x)，a0.討論f(x)的單調(diào)性熱點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和最值問題已知函數(shù)f(x)x3ax23x，【例3】(1)若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x是f(x)的極值點，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)若求極值，則先求出方程f(x)0的根，再檢驗f(x)在方程根左右邊f(xié)(x)的符號，求出極值當(dāng)根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況，從而求解文科用變式訓(xùn)練3 設(shè)aR，函數(shù)f(x)ax33x2.(1)若x2是函數(shù)yf(x)的極值點，求a的值；(2)若函數(shù)g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0處取得最大值，求a的取值范圍思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法一般是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題轉(zhuǎn)化與化歸常用的方法是等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價問題，以達(dá)到化歸的目的已知函數(shù)f(x)x(ln xm)，g(x)x3x.(1)當(dāng)m2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若m時，不等式g(x)f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)m2時，f(x)x(ln x2)xln x2x，定義域為(0，)，且f(x)ln x1.由f(x)0，得ln x10，所以xe.由f(x)0，得ln x10，所以0xe.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e，)，遞減區(qū)間是(0，e)(2)當(dāng)m時，不等式g(x)f(x)，即x3xx恒成立由于x0，所以x21ln x，即x2ln x，所以a .令h(x) ，則h(x)，由h(x)0得x1.且當(dāng)0x1時，h(x)0；當(dāng)x1時，h(x)0，即h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以h(x)在x1處取得極大值h(1)，也就是函數(shù)h(x)在定義域上的最大值因此要使a恒成立，需有a，此即為a的取值范圍1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)3xf(1)x2，則f(1)()A1 B2 C1 D22曲線y在點M處的切線的斜率為()A B. C D.3已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，blog3f(log3)，clog3f，則a，b，c間的大小關(guān)系是()Aabc BcbaCcab Dacb4(2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考，文10)已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)1，且f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)在R上恒有f(x)(xR)，則不等式f(x2)的解集為()A(1，) B(，1) C(1,1) D(，1)(1，)5三次函數(shù)f(x)，當(dāng)x1時有極大值4；當(dāng)x3時有極小值0，且函數(shù)圖象過原點，則f(x)_.6已知函數(shù)f(x)x33x29xa(a為常數(shù))在區(qū)間2,2上有最大值20，那么此函數(shù)在區(qū)間2,2上的最小值為_7已知函數(shù)f(x)axln x(aR)(1)若a1，求曲線yf(x)在x處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)2x，若對任意x1(0，)，存在x20,1，使f(x1)g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：對函數(shù)yx2ln x求導(dǎo)，得yx(x0)，令解得x(0,1因此函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1故選B.2C解析：如圖所示，由已知可設(shè)P(4，y1)，Q(2，y2)，點P，Q在拋物線x22y上，P(4,8)，Q(2,2)，又拋物線可化為yx2，yx，過點P的切線斜率為y4，過點P的切線為y84(x4)，即y4x8.又過點Q的切線斜率為y2，過點Q的切線為y22(x2)，即y2x2.聯(lián)立解得x1，y4，點A的縱坐標(biāo)為4.3解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00F(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點當(dāng)且僅當(dāng)解得0a.所以，a的取值范圍是.(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調(diào)遞增，在1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增當(dāng)t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調(diào)遞增，在1，t3上單調(diào)遞減因此，f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當(dāng)t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調(diào)遞增，因此f(t)f(2)，所以g(t)在3，2上的最小值為g(2).當(dāng)t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調(diào)遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.精要例析·聚焦熱點熱點例析【例1】 解：(1)(方法一)由題設(shè)和均值不等式可知，f(x)axb2b，其中當(dāng)且僅當(dāng)ax1時，等號成立，即當(dāng)x時，f(x)取最小值為2b.(方法二)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)a，當(dāng)x時，f(x)0，f(x)在上遞增；當(dāng)0x時，f(x)0，f(x)在上遞減所以當(dāng)x時，f(x)取最小值為2b.(2)f(x)a.由題設(shè)知，f(1)a，解得a2或a(不合題意，舍去)將a2代入f(1)ab，解得b1.所以a2，b1.【變式訓(xùn)練1】 (1)1解析：yax2，y2ax，y|x12a.又yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，2a2，a1.(2)2xye10解析：因為f(x)xln x1，所以f(x)ln xx·ln x1.因為f(x0)2，所以ln x012，解得x0e，y0e1.由點斜式得，f(x)在點(e，e1)處的切線方程為y(e1)2(xe)，即2xye10.文科用【例2】 解：(1)由題意知，函數(shù)的定義域為(0，)，當(dāng)a2時，f(x)2x，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)(2)由題意得g(x)2x，函數(shù)g(x)在1，)上是單調(diào)函數(shù)若g(x)為1，)上的單調(diào)增函數(shù)，則g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，設(shè)(x)2x2，(x)在1，)上單調(diào)遞減，(x)max(1)0，a0.若g(x)為1，)上的單調(diào)減函數(shù)，則g(x)0在1，)上恒成立，不可能實數(shù)a的取值范圍為a0.【變式訓(xùn)練2】 解：f(x)的定義域是(0，)，f(x)1.設(shè)g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判別式a28.當(dāng)0即0a2時，對一切x0都有f(x)0.此時f(x)是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時，僅對x有f(x)0，對其余的x0都有f(x)0.此時f(x)也是(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)0即a2時，方程g(x)0有兩個不同的實根x1，x2，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【例3】 解：(1)f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函數(shù)，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立，則必有1且f(1)2a0.a0.(2)依題意，f0，即a30.a4，f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.則當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x34x23xbx恰有3個不等實根x34x23xbx0，x0是其中一個根，方程x24x3b0有兩個非零不等實根b7且b3.存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b7且b3.【變式訓(xùn)練3】 解：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因為x2是函數(shù)yf(x)的極值點，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.經(jīng)驗證，當(dāng)a1時，x2是函數(shù)yf(x)的極值點(2)由題設(shè)，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)當(dāng)g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)時，g(0)g(2)，即020a24，得a.反之，當(dāng)a時，對任意x0,2，g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)綜上，a的取值范圍為.創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1.A解析：f(x)3f(1)2x，令x1，得f(1)3f(1)2，f(1)1.故選A.2B解析：對y求導(dǎo)得y，當(dāng)x時，y|x.3C解析：設(shè)g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)0，當(dāng)x0時，g(x)xf(x)為減函數(shù)又g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，g(x)為增函數(shù)130.32,0log31，log32，g(2)g(30.3)g(log3)，即cab，故選C.4D解析：f(x)對xR恒成立，令g(x)f(x)x，可知g(x)f(x)0對xR恒成立，即g(x)在R上遞減，且g(1)f(1).f(x2)可轉(zhuǎn)化為f(x2)，即g(x2)g(1)，x21，得x1或x1.5x36x29x解析：設(shè)f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)3ax22bxc.由題意，有即解得故f(x)x36x29x.67解析：f(x)3x26x90，得x1或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值為f(1)7.7解：(1)f(x)1(x0)，f123.故曲線yf(x)在x處切線的斜率為3.(2)f(x)a(x0)當(dāng)a0時，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時由f(x)0，得x，在區(qū)間上f(x)0，在區(qū)間上f(x)0.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(3)由題可知，若對任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(x)max，而g(x)max2.由(2)知，當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意(或者舉出反例：存在f(e3)ae332，故不符合題意)當(dāng)a0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故f(x)的極大值即為最大值，f1ln1ln(a)，所以21ln(a)，解得a.所以，a的取值范圍為.