陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 例析反證法的應(yīng)用素材 北師大版選修2-2

例析反證法的應(yīng)用我們知道，反證法是先否定結(jié)論成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導(dǎo)出與定義、定理，公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原結(jié)論是正確的.反證法是間接證明的一種基本方法，是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，也是數(shù)學(xué)上非構(gòu)造性證明中極為重要的方法，它對(duì)于處理存在性命題、否定性命題、唯一性命題和至少、至多性命題具有特殊的優(yōu)越性?，F(xiàn)以例說(shuō)明。一 否定型命題當(dāng)結(jié)論為“否定性”的命題時(shí)，應(yīng)用反證法。也就是說(shuō)原題的結(jié)論出現(xiàn)“不可能”、“不能表示為”、“不是”、“不存在”、“不等于”、“不具有某種性質(zhì)”等否定形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮使用反證法進(jìn)行證明。例1：試證不是有理數(shù)。分析：要求證的結(jié)論是以否定的形式出現(xiàn)的，因此可應(yīng)用反正法來(lái)進(jìn)行證明。證明：假設(shè)是有理數(shù)，注意到，可設(shè)（、為互質(zhì)的正整數(shù)，且），兩邊平方，得，表明，是2的倍數(shù)，因?yàn)槭钦麛?shù)，故當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，令（），則，即是奇數(shù)，與是2的倍數(shù)矛盾。當(dāng)是偶數(shù)，又可設(shè)（），代入式，整理后得，式表明，是2的倍數(shù)。這樣與都是2的倍數(shù)，它們至少有公因數(shù)2，與所作假定、為互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾。因此不是有理數(shù)。點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用反證法證題時(shí)，必須按“反設(shè)歸謬結(jié)論”的步驟進(jìn)行，反正法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾，從而說(shuō)明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與自身相矛盾二 存在性命題當(dāng)命題的結(jié)論是以存在性的形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法。也就是說(shuō)，解決存在性探索命題的總體策略是先假設(shè)結(jié)論存在，并以此進(jìn)行推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定假設(shè)正確。例2、直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B，求實(shí)數(shù)的范圍；是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)？若存在求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。分析：第（1）提示求參數(shù)范圍的常規(guī)題，第問(wèn)是一道探討結(jié)論是否存在的開(kāi)放性命題，為此先假設(shè)結(jié)論存在并在此假設(shè)的條件下進(jìn)行一系列的推導(dǎo)，或推出矛盾或驗(yàn)證成立。解：略可求得。 由消去y得，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則時(shí)方程的兩解所以，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，得，即整理得，將及帶入上式，得 ，解得或 （舍去）從而存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：在本題在假設(shè)的條件下推導(dǎo)出的結(jié)果并沒(méi)有出現(xiàn)矛盾，而是驗(yàn)證了存在符合題設(shè)條件的實(shí)數(shù)，從判斷結(jié)論存在，對(duì)于探究具有某種性質(zhì)的存在性問(wèn)題，一般先由特例探求結(jié)果的存在性，然后進(jìn)行論證。三 “至少”、“至多” 型命題當(dāng)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮應(yīng)用反證法來(lái)解決。例3、設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，求證：中至少有一個(gè)大于0。分析：如果直接從條件出發(fā)推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說(shuō)證結(jié)論是以“至少”形式出現(xiàn)，因而可用反證法證明。證明：設(shè)中都不大于0，即而 ，這與矛盾，故中至少有一個(gè)大于0點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到命題的結(jié)論是以“至多”“至少”等形式給出時(shí)，一般是多用反證法；應(yīng)注意 “至少有一個(gè)” “都是”的否定形式分別是“一個(gè)也沒(méi)有” “不都是”，本題是一個(gè)自相矛盾的題目類型。四 “唯一”性命題，若命題的結(jié)論是以“唯一”、“ 有且只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法進(jìn)行證明。例4、求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。分析：此題是含有“ 有且只有一個(gè)”的命題，可考慮用反證法進(jìn)行證明。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種情況：或者沒(méi)有交點(diǎn)，或者不只一個(gè)交點(diǎn)。如果直線沒(méi)有交點(diǎn)，那么，這與已知矛盾；如果直線不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少交于點(diǎn)，這樣經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)就有兩條直線，這與兩點(diǎn)確定以直線矛盾。由（1）和（2）可知，假設(shè)錯(cuò)誤，所以，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：此題是證明一個(gè)命題的充要條件，用反證法證明了它的否定，從而獲得結(jié)論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時(shí)，應(yīng)找出除這一個(gè)元素外的其它的所有元素，并逐一推導(dǎo)出矛盾，排除掉。五 肯定型命題有些命題結(jié)論是以“都有”“所有” “都是”等形式出現(xiàn)時(shí)，我們?cè)谶M(jìn)行證明時(shí)，也往往采用反證法。例5、設(shè)函數(shù)對(duì)定義域上任意實(shí)數(shù)都有，且成立。求證：對(duì)定義域內(nèi)的任意都有。分析：這是一個(gè)肯定型命題，可考慮用反正發(fā)來(lái)進(jìn)行證明。證明：假設(shè)滿足體設(shè)條件的任意都有部成立，即存在某個(gè)有， ， ，又因?yàn)椋@與假設(shè)矛盾。假設(shè)不成立，故對(duì)定義域內(nèi)的任意都有。點(diǎn)評(píng)：在反設(shè)命題的結(jié)論時(shí)要注意正確寫出結(jié)論的否定形式是非常重要的。在本體中對(duì)“任意都有”的否定是“存在某個(gè)有”六 證明不等式對(duì)于證明不等式，有時(shí)直接進(jìn)行證明因較抽象、不明朗，一時(shí)還難以找出解題思路，其反面常卻出現(xiàn)的條件較多、較具體，又較容易尋找解題思路，因此也?？紤]用反證法進(jìn)行證明。例6、已知函數(shù)是上的增函數(shù)，試判斷命題“若，則”的逆命題是否正確，并證明你的結(jié)論。分析：先寫出逆命題，然后證明不等式，而直接證明的條件較少，因此應(yīng)用反證法。證明：逆命題為：“若，則?！庇梅醋C法進(jìn)行證明：假設(shè)，則因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以有，兩式相加得，這與已知矛盾，故只有，逆命題成立。點(diǎn)評(píng)：反正法常用于直接證明較困難的不等式，也是不等式證明的一種常用方法。以上我們介紹了反證法的經(jīng)常應(yīng)用的幾種類型，由此可以看出它有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，正難則反是反證法的特點(diǎn)，因?yàn)槿绻梢粋€(gè)命題直接得到的結(jié)論很少、較抽象、較困難時(shí)，其反面常會(huì)有較多、較具體、較容易的信息結(jié)論，這樣反證法就為一些從正面入手,無(wú)法使已知條件和結(jié)論找出聯(lián)系的問(wèn)題,提供了一條解題途徑，它是通過(guò)給出合理的反設(shè),來(lái)增加演繹推理的前提,從而使那種只依靠所給前提而變得山窮水盡的局面,有了柳岸花明又一村的境地。當(dāng)然要想再接題中用好反證法，這還要有待于平時(shí)訓(xùn)練和不斷的積累。