陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 剖析演繹推理證明的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤拓展資料素材 北師大版選修2-2
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陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 剖析演繹推理證明的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤拓展資料素材 北師大版選修2-2
剖析演繹推理證明的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤1.偷換論題例1求證四邊形的內(nèi)角和等于。證明:設(shè)四邊形是矩形,則它的四個(gè)角都是直角,有,所以,四邊形的內(nèi)角和等于。剖析:上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了偷換論題的錯(cuò)誤。在證明過(guò)程中,把論題中的四邊形改為矩形。正證:對(duì)于任意四邊形,連結(jié)對(duì)角線,則得。因?yàn)槿切蝺?nèi)角和等于,又,四邊形的內(nèi)角和等于。2.虛假論據(jù)例2已知和是無(wú)理數(shù),試證也是無(wú)理數(shù)。錯(cuò)證:依題設(shè)和是無(wú)理數(shù),而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù),所以也是無(wú)理數(shù)。剖析:上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了虛假論據(jù)的錯(cuò)誤。使用的論據(jù)是:“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”,這個(gè)論據(jù)是假的,因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)。因此,原題的真假性仍無(wú)法斷定。正證:假設(shè)不是無(wú)理數(shù),那么它就是有理數(shù),于是,存在互質(zhì)的正整數(shù),使得,從而有,因此,即,即,。因?yàn)闉榛ベ|(zhì)的正整數(shù),為有理數(shù),而為無(wú)理數(shù),矛盾,故假設(shè)不成立,也是無(wú)理數(shù)。3.循環(huán)論證例3在中,求證:。ACBDELMFGHK錯(cuò)證:因?yàn)椋?。剖析:上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。本題的論證就是人們熟知的勾股定理。上述證明中用了“”這個(gè)公式,按照現(xiàn)行中學(xué)教材系統(tǒng),這個(gè)公式是由勾股定理推出來(lái)的,這就間接地用待證命題的真實(shí)性作為證明的論據(jù),犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。正證:分別以的三邊為邊向外作正方形。連結(jié),作。顯然,以為旋轉(zhuǎn)中心,將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),則與重合,于是。因?yàn)檎叫瓮椎雀?,且矩形同底等高,即。同理,即。,即?.不能推出例4設(shè)。求證:。錯(cuò)證:因?yàn)?,。剖析:上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了不能推出的錯(cuò)誤。因?yàn)橹荒芡瞥?。至于關(guān)系式是否唯一地成立,卻無(wú)法斷定。因此,只有進(jìn)一步推出,即,原題才能得證。正證:因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù),又,且, ,。又因?yàn)?,。