陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 剖析演繹推理證明的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤拓展資料素材 北師大版選修2-2

剖析演繹推理證明的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤1.偷換論題例1求證四邊形的內(nèi)角和等于。證明：設(shè)四邊形是矩形，則它的四個(gè)角都是直角，有，所以，四邊形的內(nèi)角和等于。剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了偷換論題的錯(cuò)誤。在證明過(guò)程中，把論題中的四邊形改為矩形。正證：對(duì)于任意四邊形，連結(jié)對(duì)角線，則得。因?yàn)槿切蝺?nèi)角和等于，又，四邊形的內(nèi)角和等于。2.虛假論據(jù)例2已知和是無(wú)理數(shù)，試證也是無(wú)理數(shù)。錯(cuò)證：依題設(shè)和是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)，所以也是無(wú)理數(shù)。剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了虛假論據(jù)的錯(cuò)誤。使用的論據(jù)是：“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)。因此，原題的真假性仍無(wú)法斷定。正證：假設(shè)不是無(wú)理數(shù)，那么它就是有理數(shù)，于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)，使得，從而有，因此，即，即，。因?yàn)闉榛ベ|(zhì)的正整數(shù)，為有理數(shù)，而為無(wú)理數(shù)，矛盾，故假設(shè)不成立，也是無(wú)理數(shù)。3.循環(huán)論證例3在中，求證：。ACBDELMFGHK錯(cuò)證：因?yàn)椋?。剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。本題的論證就是人們熟知的勾股定理。上述證明中用了“”這個(gè)公式，按照現(xiàn)行中學(xué)教材系統(tǒng)，這個(gè)公式是由勾股定理推出來(lái)的，這就間接地用待證命題的真實(shí)性作為證明的論據(jù)，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。正證：分別以的三邊為邊向外作正方形。連結(jié)，作。顯然，以為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則與重合，于是。因?yàn)檎叫瓮椎雀?，且矩形同底等高，即。同理，即。，即?.不能推出例4設(shè)。求證：。錯(cuò)證：因?yàn)?，。剖析：上述推理過(guò)程是錯(cuò)誤的。犯了不能推出的錯(cuò)誤。因?yàn)橹荒芡瞥?。至于關(guān)系式是否唯一地成立，卻無(wú)法斷定。因此，只有進(jìn)一步推出，即，原題才能得證。正證：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，且， ，。又因?yàn)?，。