陜西省高中數(shù)學 第一章 推理與證明 例談分析法在解題中的應用素材 北師大版選修2-2
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陜西省高中數(shù)學 第一章 推理與證明 例談分析法在解題中的應用素材 北師大版選修2-2
例談分析法在解題中的應用分析法是數(shù)學中常用到的一種直接證明的方法,從推理的程序上來講,它是一種從未知到已知(從結論到題設)的邏輯推理方法,具體說,就是先假定問題的結論成立,再利用公理、定義、定理和公式,經過正確的、嚴謹?shù)囊徊讲降赝评?,最后得到一個顯然成立的關系,即已證的命題或題設的已知條件,從而判定問題的結論成立。分析法的應用較廣,通常在幾何、三角、不等式的證明中經常采用。舉例說明。例1下面是真命題還是假命題,用分析法證明你的結論。命題:若。解:此命題是真命題。因為,。要證成立,只要證,即證,也就是證,即證因為所以成立。故原不等式成立。評注:應用分析法證題時,語氣總是假定的,通常的語氣有:“若要證明A,則先證明B;若要證明B,則先證明C,”或“若要A成立,必先B成立;若要B成立,必先C成立,”。值得注意的是,在證明過程中從一個命題推到下一個命題時,必須注意它們之間的等效性。例2求證:當一個圓和一個正方形的周長相等時,圓的面積比正方形的面積大。證明:設圓正方形的周長為,則圓的面積為,正方形的面積為。因此,本題只須證明:。為了證明上式成立,只須證明:,兩邊同乘以正數(shù),得。因此,只須證明。因為上式是成立的,所以。這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等,那么圓的面積比正方形的面積大。例3已知,且 求證:。證明:因為,所以將、兩式代入上式,得: 另一方面,要證,即證,即證,即證,即證,由于上式與式相同,于是問題得證。