陜西省高中數(shù)學 第一章 推理與證明 例談分析法在解題中的應用素材 北師大版選修2-2

例談分析法在解題中的應用分析法是數(shù)學中常用到的一種直接證明的方法，從推理的程序上來講，它是一種從未知到已知（從結論到題設）的邏輯推理方法，具體說，就是先假定問題的結論成立，再利用公理、定義、定理和公式，經過正確的、嚴謹?shù)囊徊讲降赝评?，最后得到一個顯然成立的關系，即已證的命題或題設的已知條件，從而判定問題的結論成立。分析法的應用較廣，通常在幾何、三角、不等式的證明中經常采用。舉例說明。例1下面是真命題還是假命題，用分析法證明你的結論。命題：若。解：此命題是真命題。因為，。要證成立，只要證，即證，也就是證，即證因為所以成立。故原不等式成立。評注：應用分析法證題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，”。值得注意的是，在證明過程中從一個命題推到下一個命題時，必須注意它們之間的等效性。例2求證：當一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大。證明：設圓正方形的周長為，則圓的面積為，正方形的面積為。因此，本題只須證明：。為了證明上式成立，只須證明：，兩邊同乘以正數(shù)，得。因此，只須證明。因為上式是成立的，所以。這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大。例3已知，且 求證：。證明：因為,所以將、兩式代入上式，得： 另一方面，要證，即證，即證，即證，即證，由于上式與式相同，于是問題得證。