2020年高考數(shù)學40個考點總動員 考點29 圓錐曲線的方程與幾何性質（教師版） 新課標

2020年新課標數(shù)學40個考點總動員 考點29 圓錐曲線的方程與幾何性質（教師版）【高考再現(xiàn)】熱點一 橢圓的方程與幾何性質1.(2020年高考新課標全國卷理科4)設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 2.(2020年高考山東卷理科10)已知橢圓C：的離心率為，雙曲線x²-y²1的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為3(2020年高考全國卷理科3)橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準線為，則該橢圓的方程為A B C D4. (2020年高考江西卷理科13)橢圓（ab0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.【答案】【解析】利用橢圓及等比數(shù)列的性質解題.由橢圓的性質可知：，.又已知，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為. 5.(2020年高考四川卷理科15)橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，當?shù)闹荛L最大時，的面積是_。2求解與橢圓幾何性質有關的問題時要結合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系3求橢圓離心率問題，應先將e用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍離心率e與a、b的關系：e21.熱點二 雙曲線的方程與幾何性質7.(2020年高考全國卷理科8)已知為雙曲線的左右焦點，點在上，則A B C D8.(2020年高考浙江卷理科8)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：(a，b0)的左右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M若|MF2|F1F2|，則C的離心率是A BC D令y0得：xM又|MF2|F1F2|2c，3cxM，解之得：，即e9.(2020年高考福建卷理科8)雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）A B C3 D5 10.(2020年高考新課標全國卷理科8)等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 11.(2020年高考湖南卷理科5)已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1w#ww.zz&st【答案】A12.（2020年高考江蘇卷8）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則m的值為 【答案】【解析】根據(jù)題目條件雙曲線的焦點位置在軸上（否則不成立），因此，由離心率公式得到，解得 .13.(2020年高考湖北卷理科14)如圖，雙曲線的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則（）雙曲線的離心率e=_；（）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值_.【答案】（）；（）【解析】（）在中,整理得,即,解得,即;（）由圖分析可知,面積之比為=.【方法總結】1雙曲線方程的求法(1)若不能明確焦點在哪條坐標軸上，設雙曲線方程為mx2ny21(mn<0)(2)與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可設為(0) (3)若已知漸近線方程為mxny0，則雙曲線方程可設為m2x2n2y2(0).2已知雙曲線的離心率e求漸近線方程注意應用e ，并判斷焦點的位置3已知漸近線方程ymx，求離心率時若焦點不確定時，m(m>0)或m，故離心率有兩種可能.熱點三 拋物線的方程與幾何性質14.(2020年高考四川卷理科8)已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、15.(2020年高考安徽卷理科9)過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是原點，若,則的面積為（ ） 16.(2020年高考北京卷理科12)在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60º.則OAF的面積為 .【答案】【解析】由可求得焦點坐標F(1,0)，因為傾斜角為，所以直線的斜率為，利用點斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因此17.(2020年高考重慶卷理科14)過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= ?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O. 18.(2020年高考遼寧卷理科15)已知P，Q為拋物線上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標為_。19.(2020年高考陜西卷理科13)右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標系，使拱橋的頂點O的坐標為（0,0）， 設l與拋物線的交點為A、B，根據(jù)題意知A（-2，-2），B（2，-2） 設拋物線的解析式為，則有， 拋物線的解析式為 水位下降1米，則y=-3，此時有或 此時水面寬為米.【方法總結】1.拋物線的定義實質上是一種轉化思想即2拋物線上點到焦點距離轉化到點到準線距離3拋物線上點到準線距離轉化到點到焦點距離起到化繁為簡的作用注意定義在解題中的應用.研究拋物線的幾何性質時，一是注意定義轉化應用；二是要結合圖形分析，同時注意平面幾何性質的應用. 【考點剖析】一明確要求1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程，理解它的簡單的幾何性質.2.了解雙曲線的定義、掌握雙曲線的幾何圖形和標準方程，理解它的簡單幾何性質. 3. 掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質. 二命題方向1.橢圓的定義、標準方程和幾何性質是高考的重點，而直線和橢圓的位置關系是高考考查的熱點.定義、標準方程和幾何性質常以選擇題、填空題的形式考查，而直線與橢圓位置關系以及與向量、方程、不等式等的綜合題常以解答題的形式考查，屬中、高檔題目.2.雙曲線的定義，標準方程及幾何性質是命題的熱點題型多為客觀題，著重考查漸近線與離心率問題，難度中等偏低，解答題很少考查直線與雙曲線的位置關系但個別省份也偶有考查.3.拋物線的方程、幾何性質或與拋物線相關的綜合問題是命題的熱點題型既有小巧靈活選擇、填空題，又有綜合性較強的解答題.三規(guī)律總結兩種方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫出橢圓的標準方程三種技巧(1)橢圓上任意一點M到焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為ac，最小距離為ac.(2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據(jù)是：中心是否在原點；對稱軸是否為坐標軸一條規(guī)律雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)兩種方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a、2b或2c，從而求出a2、b2，寫出雙曲線方程(2)待定系數(shù)法：先確定焦點是在x軸上還是在y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為(0)，再根據(jù)條件求的值三個防范(1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓a，b，c關系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.(2)雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e(0,1)(3)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程是y±x，1(a0，b0)的漸近線方程是y±x.一個結論焦半徑：拋物線y22px(p0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0.【基礎練習】1(人教A版教材習題改編)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為()A.1 B.1C.1或1 D以上都不對解析2a2b18，ab9，又2c6，c3，則c2a2b29，故ab1，從而可得a5，b4，橢圓的方程為1或1.答案C2(人教A版教材習題改編)雙曲線1的焦距為()A3 B4 C3 D43(人教A版教材習題改編)拋物線y28x的焦點到準線的距離是()A1 B2 C4 D8解析由2p8得p4，即焦點到準線的距離為4.答案C4(經典習題)橢圓1的離心率為，則k的值為()A21 B21C或21 D.或21解析若a29，b24k，則c ，由即，得k；若a24k，b29，則c ，由，即，解得k21.答案C5.(經典習題)設拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是()A4 B6 C8 D126. (經典習題)設P是雙曲線1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|3，則|PF2|等于_【名校模擬】一基礎扎實1.(2020云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復習文)拋物線的焦點坐標是 （A） （B） （C） （D）解：的焦點坐標是.故選（B）. 2.(北京市西城區(qū)2020屆高三下學期二模試卷文)已知雙曲線的一個焦點是，則其漸近線的方程為（ ）（A）（B）（C）（D）3.(2020年云南省第一次統(tǒng)一檢測理)拋物線的準線方程是（A） （B） （C） （D）解：，.的準線方程是,拋物線的準線方程是.故選（B）.4.(長春市實驗中學2020屆高三模擬考試（文）)設F是拋物線的焦點，A,B是拋物線上兩點，若線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為，則等于 5.(山西省2020年高考考前適應性訓練文)已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，則橢圓和雙曲線離心率的平方和為（ ） A B C2 D3【答案】A 【解析】依題意得知，即，因此該橢圓與雙曲線的離心率分別是、，該橢圓與雙曲線的離心率的平方和等于，選A.6.【2020學年浙江省第二次五校聯(lián)考理】過雙曲線的右焦點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若，則雙曲線的漸近線方程為（A） （B） （C） （D） 【解析】過右焦點的直線為，設其與交于A，且；設其與交于B，且；由知：A為線段BF2中點，故有：，即：【答案】A7.（寧波四中2020學年第一學期期末考試理）設點是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，為的內心，若，則該橢圓的離心率是 (A) (B) (C) (D) 8.(河南省鄭州市2020屆高三第二次質量預測文)若雙曲線的左、右焦點分別為，線段被拋物線的焦點分成7 ：3的兩段，則此雙曲線的離心率為A. B. C. D.答案：B 解析：依題意得知，即（其中是雙曲線的半焦距），因此該雙曲線的離心率等于，選B. 9.(2020年河南豫東、豫北十所名校階段性測試(三）理)過雙曲線的右焦點F作圓的切線FM(切點為M)，交y軸于點R若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率是(A)2 (B) (C) (D)【答案】B 【解析】 依題意得知，因此雙曲線的離心率等于，選B.10(2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習（二）理)已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是_.【答案】【解析】 設雙曲線方程為，半焦距為。根據(jù)已知即，即，解得。11.(東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(二) （文）)若雙曲線的左、右頂點分別是,線段 被的焦點分為3:1兩段, 則此雙曲線的離心率為 二能力拔高 12.(襄陽五中高三年級第一次適應性考試理)已知雙曲線的焦距為2c，離心率為e，若點（-1，0）與點（1，0）到直線的距離之和為S，且S，則離心率e的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 答案：A 解析：由題意得，將直線化為一般式方程，所以點（-1，0）到直線的距離為，同理點（1，0）到直線的距離為，因為雙曲線中，所以又點點（-1，0）與點（1，0）到直線的距離之和，即，所以，將代入上式，整理得，即，解得，故選A。13.（湖北省黃岡中學2020屆高三五月模擬考試理）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點,它們到直線的距離之和等于5,則這樣的直線A有且僅有一條B有且僅有兩條C有無窮多條D不存在答案：D 解析：由題意得，轉化到準線的距離為3，根據(jù)拋物線的定義知，點A、B到準線的距離之和等于弦長AB，即，又拋物線的通徑長為，即,所以這樣的直線不存在，故選D。14.(湖北省武漢市2020屆高中畢業(yè)生五月供題訓練（二）理)如右圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段AB交于圓內一點D，若，則ABC D答案：C 解析：由題意得，又，則 所以， 當， 所以或，又，所以，故選C。15.(湖北武漢2020畢業(yè)生五月供題訓練（三）文)設F1、F2是雙曲線的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使（O為坐標原點），且|PF1|=|PF2|，則的值為A2 B C3 D 所以，所以，故選A。.16. (七校聯(lián)考 數(shù)學試卷文)橢圓上有個不同的點，是右焦點，組成公差大于的等差數(shù)列，則的最大值為（ ）A B C D答案：D 解析:，因為，所以，進而有：，若使的值最大，只需最大，即使最大，而，的最大值為200，故選D17. (2020年高三教學測試（二）理)設雙曲線的右焦點為，過點作與軸垂直的直線交兩漸近線于、兩點，與雙曲線的其中一個交點為，設為坐標原點，若，且，則該雙曲線的離心率為A B C D【解析】，代入，得，代入雙曲線方程，得，即可得【答案】C18. (2020年河南豫東、豫北十所名校階段性測試(三）理)設拋物線的焦點為F，點A在y軸上，若線段FA的中點B在拋物線上，且點B到拋物線準線的距離為，則點A的坐標為(A)(0，) (B)(0，2) (C)(0，) (D)(0，4)，即點的坐標是，選A. 19.(2020北京海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習理)已知點是橢圓的兩個焦點，點是該橢圓上的一個動點，那么的最小值是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，設是關于原點的對稱點，也在橢圓上，故顯然當和為短軸的兩個端點時，取得最小值為2b=2.(2020屆高三年級第二次綜合練習文)已知雙曲線（）的右焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的離心率為A B C D【答案】C【解析】焦點，在中，故選C20.(仙桃市2020年五月高考仿真模擬試題理)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，P是拋物線與雙曲線的一個交點，滿足，則的值為 A、1 B、1 C、2 D、3又雙曲線左準線為，離心率故選B21.(湖北省八校2020屆高三第一次聯(lián)考文)已知直線與拋物線交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若（ ）ABCD答案：B 解析：由題意得，拋物線的準線方程為，設，根據(jù)拋物線的定義得，則， 又，整理得， 聯(lián)立得，代入拋物線方程得，即， 代入直線方程得。64. 22.（江西2020高三聯(lián)合考試文A. B. C. D. 2【答案】B【解析】焦點，公共弦AB方程為，所以，即，解得，選B。23.(2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試文)是雙曲線的兩個焦點，過點作與軸垂直的直線和雙曲線的一個交點為，滿足，則的值為_.24. (2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試理)為雙曲線的左右焦點，過點作此雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，滿足，則此雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【解析】由雙曲線的性質可推得，則在中，由余弦定理可知，又，可得，即，因此漸近線方程為25.(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試理)已知動圓的圓心C在拋物線.上，該圓經過點A(0，P),且與x軸交于兩點M、N，則的最大值為. _|MN|=|x1-x2|=2p|CM|=|CN|= = cosMCN=-2p2+2y02 2p2+2y02 =1-2p2 p2+y02 -1cosMCN1，0MCN，0sinMCN1，sinMCN的最大值為1故答案為：126. (2020年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試理)己知F1 F2是橢圓（a>b>0)的兩個焦點，若橢圓上存在一點P使得，則橢圓的離心率e的取值范圍為_.答案：27(河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試理)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，若|AF| =2|BF|=6，則p= ?！敬鸢浮?【解析】設A（x1,y1）B(x2,y2) 由題意得，所以，所以，所以，因為，即所以p=428.（2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質量檢測(二)文）拋物線的焦點為，則經過點、且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)為 三提升自我29.(湖北省武漢外國語學校鐘祥一中2020屆高三4月聯(lián)考文)已知雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點為,則該雙曲線離心率的值為（ ）ABCD答案：D 解析：由題意得，設弦的兩個端點坐標分別為， 代入雙曲線的方程并整理得， 將斜率為1的直線，弦的中點為， 代入得，故選D。30.(2020云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復習文)已知橢圓:的長軸的兩個端點分別為、，點在橢圓上，如果的面積等于，那么( )（A） （B） （C） （D）31.(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試理) 設F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，且，F(xiàn)2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】B【解析】利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，即可得到答案依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知：可知|PF1|= =4b；根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得該雙曲線的離心率e= 故選：B32.(2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試文)以為中心，為兩個焦點的橢圓上存在一點，滿足,則該橢圓的離心率為A.B.C. D.【答案】C 【解析】過作軸的垂線，交軸于點，則點坐標為，并設，根據(jù)勾股定理可知，得到，而，則.故選C. 33.(2020年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理)過雙曲線右焦點作一條直線，當直線斜率為時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點， 則雙曲線離心率的取值范圍為( )A B C D繼續(xù)識別條件：右焦點作一條直線 畫圖！繼續(xù)識別條件：當直線斜率為時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點恩？為啥會左右各一？呵呵，你看看你畫的雙曲線，對嗎？你畫漸近線了嗎，沒畫漸近線，你畫的就不是雙曲線！然后發(fā)現(xiàn)，漸近線斜率大于2時，就可以保證左右可以 各一 轉化：也就是b/a>2 繼續(xù)識別條件：當直線斜率為時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點一樣，沒啥說的，b/a<3 放在一起，就是2<b/a<3 看看問題吧 確定一下方向：雙曲線離心率的取值范圍離心率啊，離心率，你不就是C/a嗎 我都知道2<b/a<3，我還知道 就弄出個a與c的關系就行了唄 代入就行了 結束【答案】B【原創(chuàng)預測】1.若是和的等比中項，則圓錐曲線的離心率為( )（A） （B） （C）或 （D）或 2.直線l與雙曲線C：交于A、B兩點，M是線段AB的中 點，若l與OM （O是原點）的斜率的乘積等于1，則此雙曲線的離心率為 A B C2 D 3【答案】 A【解析】設A（x1,y1）B（x2,y2）M(x0,y0),則，兩式相減得，所以，所以，所以，即a=b,所以 故選A3.已知直線與拋物線交于A、B兩點，且.于D. 若動點D的坐標滿足方程，則A1 B2 C3 D4【答案】D 【解析】 設點，則由于，于是有， ；又動點的坐標滿足方程，于是有，即，因此，選D.4.已知雙曲線的兩個焦點分別為、，則滿足的周長為的動點的軌跡方程為A B C D5.過點作拋物線的兩條切線，切點分別為、，若線段中點的縱坐標為6，則拋物線的方程為 【答案】【解析】設線段的中點為 同理切線的方程為：6.已知斜率為2的直線l過拋物線的焦點F，且與y軸相交于點A,若(O為坐標原點）的面積為1，則P=._15 依題意得知，的面積等于，；又，因此.7.過雙曲線=1(a>0,b>0)的左焦點F，作圓的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為 . 8.過雙曲線的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為 .【解析】 設垂足為，則點的橫坐標為，設漸近線方程是，則點的坐標是，根據(jù)垂直漸近線，可得，解得，此時