貴州省貴陽市高中數(shù)學 第二章 統(tǒng)計同步練習3 新人教版必修3（通用）

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù) 　　這里說的“三數(shù)”是指平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．要描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，最重要也是最常見的方法就是用這“三數(shù)”來說明．學習平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)應注意以下幾個問題： 　　一、正確理解平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念 　　1．平均數(shù)　平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的平均水平的特征數(shù)，反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每一個數(shù)據(jù)都有關系，任何一個數(shù)據(jù)的變化都會引起平均數(shù)的變化． 　?。玻姅?shù)　在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時不唯一．眾數(shù)著眼于對各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察，這就告訴我們在求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)時，既不需要排列，又不需要計算，只要能找出樣本中出現(xiàn)次數(shù)最多的那一個（或幾個）數(shù)據(jù)就可以了．當一組數(shù)據(jù)中有數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，它的眾數(shù)也就是我們所要關心的一種集中趨勢． 　?。常形粩?shù)　中位數(shù)就是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處在最中間的一個數(shù)（或處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)）．一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的． 　　二、注意區(qū)別平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者之間的關系 　　平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，但它們描述的角度和適用的范圍又不盡相同．在具體問題中采用哪種量來描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，那得看數(shù)據(jù)的特點和我們要關注的問題． 　　三、能正確選用平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)來解決實際問題 　　由于平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，所以利用平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)可以來解決現(xiàn)實生活中的問題．下面舉幾例說明． 　　例1　李大伯承包了一個果園，種植了100棵櫻桃樹，今年已進入收獲期．收獲時，從中任選并采摘了10棵樹的櫻桃，分別稱得每棵樹所產(chǎn)櫻桃的質量如下表： 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 質量（千克） 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22 　　據(jù)調查，市場上今年櫻桃的批發(fā)價格為每千克15元．用所學的統(tǒng)計知識估計今年此果園櫻桃的總產(chǎn)量與按批發(fā)價格銷售櫻桃所得的總收入分別約為（　?。? 　　A．200千克，3000元　 B．1900千克，28500元 　　C．2000千克，30000元 D．1850千克，27750元 　　簡析：依題意此果園平均每棵樹所產(chǎn)櫻桃的質量是（千克），所以100棵樹所產(chǎn)櫻桃的的質量是（千克），又批發(fā)價格為每千克15元，所以2000千克的櫻桃所得的總收入為（元），故應選C． 　　例2?。兾魇。榱肆私饽嘲鄬W生每周做家務勞動的時間，某綜合實踐活動小組對該班50名學生進行了調查，有關數(shù)據(jù)如下表： 每周做家務的時間（小時） 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 人數(shù)（人） 2 2 6 8 12 13 4 3 　　根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，回答下列問題： 　　（1）該班學生每周做家務勞動的平均時間是多少小時？ 　?。?）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少? 　　（3）請你根據(jù)（1）、（2）的結果，用一句話談談自己的感受． 　　簡析：（1）該班學生每周做家務勞動的平均時間為（小時），即該班學生每周做家務勞動的平均時間為2.44小時．（2）由表中的數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2.5（小時），眾數(shù)是3（小時）．（3）只要敘述內容與上述數(shù)據(jù)有關或與做家務勞動有關，并且態(tài)度積極即可． 極差、方差、標準差 極差、方差和標準差都是用來研究一組數(shù)據(jù)的離散程度的，反映一組數(shù)據(jù)的波動范圍或波動大小的量. 一、 極差 一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差，即極差=最大值-最小值.極差能夠反映數(shù)據(jù)的變化范圍，實際生活中我們經(jīng)常用到極差.如一支足球隊隊員中的最大年齡與最小年齡的差，一個公司成員中最高收入與最低收入的差等都是極差的例子.極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動情況的量，它受極端值的影響較大. 二、方差 方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動大小的特征的量.它是指一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，它反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小. 求一組數(shù)據(jù)的方差可以簡記先求平均，再求差，然后平方，最后求平均數(shù).一組數(shù)據(jù)x1、x2、x3、…、xn的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)方差的計算公式為： . 三、標準差 在計算方差的過程中，可以看出方差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)的單位不一致，在實際的應用時常常將求出的方差再開平方，此時得到量為這組數(shù)據(jù)的標準差. 即標準差=. 四、極差、方差、標準差的關系 方差和標準差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的量，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小.兩組數(shù)據(jù)中極差大的那一組并不一定方差也大.在實際問題中有時用到標準差，是因為標準差的單位和原數(shù)據(jù)的單位一致，且能緩解方差過大或過小的現(xiàn)象. 5．典型例析 例1 從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下：（單位：cm） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分別求甲、乙兩種玉米的極差、方差和標準差. (2)哪種玉米的苗長得高些; (3)哪種玉米的苗長得齊. 分析：本題既是一道和極差、方差和標準差計算有關的問題，又是利用方差解決實際問題的一道題目.要求極差，只要用數(shù)據(jù)中最大值減去最小值，求到差值即可.利用方差的計算公式可以求到方差，將方差開平方就得標準差. 解： 甲的極差： 42-14=28(cm)； 乙的極差：44-16=28(cm). 甲的平均值: 乙的平均值: 甲的方差: , 乙的方差: （2）因為甲種玉米的平均高度小于乙種玉米的平均高度，所以一種玉米的苗長的高. （3）因為，所以甲種玉米的苗長得整齊. 例2 市體校準備挑選一名跳高運動員參加全市中學生運動會，對跳高運動隊的甲、乙兩名運動員進行了8次選拔比賽.他們的成績（單位：m）如下： 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙兩名運動員的跳高平均成績分別是多少？ (2)哪位運動員的成績更為穩(wěn)定？ (3)若預測，跳過1.65m就很可能獲得冠軍，該校為了獲得冠軍，可能選哪位運動員參賽？若預測跳過1.70m才能得冠軍呢？ 解析：本題是一道數(shù)據(jù)分析有關的實際問題,主要考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算方法及處理數(shù)據(jù)的能力.根據(jù)平均數(shù)及方差的計算公式可得 （1）==1.69(m), ==1.68（m）. (2)=0.0006(m2), =0.0035(m2), 因為,所以甲穩(wěn)定. （3）可能選甲參加，因為甲8次成績都跳過1.65m而乙有3次低于1.65m; 可能選乙參加，因為甲僅3次超過1.70m. 三類概率問題的求解策略 對于一個概率題，我們首先要弄清它屬于哪一類型的概率，因為不同的類型需要采取不同類型的概率公式和求解方法；其次，要審清題意，注意問題中的關鍵語句，因為這些關鍵語句往往蘊含著解題的思路和方法。 下面略舉數(shù)例談談幾種概率應用題的解題技巧和策略。 一、可能性事件概率的求解策略 對于可能性事件的概率問題，除了要用到排列、組合的知識來解決外，還要用到排列、組合的解題思路和方法，同時，在利用概率的古典定義來求可能性事件的概率時，應注意按下列步驟進行：求出基本事件的總個數(shù)n;②求出事件A中包含的基本事件的個數(shù)m;③求出事件A的概率，即 例1 甲、乙兩名學生參加某次英語知識競賽，該競賽共有15道不同的題，其中聽力題10個，判斷題5個，甲乙兩名學生依次各抽一題。分別求下列問題的概率： （1）甲抽到聽力題，乙抽到判斷題；（2）甲乙兩名學生至少有一人抽到聽力題。 解析 甲、乙依次抽一題的結果有（個） （1）甲抽到聽力題、乙抽到判斷結果有（個），故所求概率為； （2）（用間接法）甲、乙兩名學生都抽不到聽力題的結果有，其概率為，從而甲乙兩名學生至少有一人抽到聽力題的概率為。 二、互斥事件概率的求解策略 對于互斥事件的概率問題，通常按下列步驟進行：①確定眾事件彼此互斥；②眾事件中有一個發(fā)生；先求出眾事件分別發(fā)生的概率，然后再求其和。 對于某些復雜的互斥事件的概率問題，一般應考慮兩種方法：一是“直接法”，將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“間接法”，即先求出此事件的對立事件的概率，再用求出結果。 例2 從12雙不同顏色的鞋中任取10只，求至少有一雙配對的概率。 解析 直接法 記“取出10只鞋中恰好有1雙、2雙、3雙、4雙、5雙配對的概率分別為、、、、 則至少有一雙配對的概率為 間接法 設至少有一雙配對的概率為P（A），則為所抽的10只鞋都不配對的概率，即，所以 三、相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解策略 對于相互獨立事件同時發(fā)生的概率問題，其求解的一般步驟是：①確定眾事件是相互獨立的；②確定眾事件會同時發(fā)生；③先求每個事件發(fā)生的概率，再求它們的積。 例3 在我軍的一場模擬空戰(zhàn)演習中，我軍甲、乙、丙三名飛行員向同一假想敵機炮擊，已知甲乙丙三名飛行員擊中敵機的概率分別為0.4、0.5和0.7。 （1）求敵機被擊中的概率； （2）若一名飛行員擊中，敵機墜毀的概率是0.2，若兩名飛行員擊中，敵機墜毀的概率是0.6，若三名飛行員擊中，則敵機必然墜毀，求敵機墜毀的概率。 解析 （1）設P（A）、P（B）、P（C）分別表示甲、乙、丙三名飛行員擊中敵機的概率，則三名飛行員同時沒有擊中敵機的概率為，故敵機被擊中的概率為。 （2）設一名飛行員擊中，兩名飛行員擊中、三名飛行員擊中敵機的事件分別為、、則 概率的計算方法 一、公式法 利用公式就可以計算隨機事件的概率，這里，，如果A為不確定事件，那么0＜＜1． 例1．中國體育彩票每100萬張一組，每張2元，設特等獎1名，獎金30萬元；一等獎10名，各獎5萬元；二等獎10名，各獎1萬元；三等獎100名，各獎100元；四等獎1000名，各獎20元；五等獎10萬名，各獎2元．小王花2元買了1張彩票，那么他獲獎的概率是多少？他得特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、四等獎、五等獎的概率分別是多少？ 解：一組體育彩票等分成100萬份，其中特等獎1份，一等獎是10份，二等獎是10份，三等獎100份，四等獎是1000份，五等獎是10萬份，因此對于小王來說，有 ． ； ； ； ； ； ． 二、列表法 例2．如果每組3張牌，它們的牌面數(shù)字分別是1，2，3，那么從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？兩張牌的牌面數(shù)字和等于4的概率是多少？ 第一張牌的牌面數(shù)字 解：利用列表法： 第二張牌的牌面數(shù)字 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 列表中兩次出現(xiàn)1，2，3點的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面數(shù)字和等于4的情況有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面數(shù)字和等于4的概率等于，即． 三、樹狀圖法 如上題的另一中解法，就利用用樹狀圖法來解： （5） （4） 開始 2 1 3 3 （2） （3） （3） （4） （5） （6） 1 2 2 2 3 （4） 1 1 3 總共9種情況，每種情況發(fā)生的可能性相同，而兩張牌的牌面數(shù)字和等于4的情況出現(xiàn)得最多，共3次，因此牌面數(shù)字和等于4的概率最大，概率為等于，即． 例3．求：連續(xù)擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一正一反的概率． 解：本題采用樹狀圖分析法： 正 反 反 正 開始 反 正 （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 由樹狀圖知共有4種可能，出現(xiàn)“一正一反”的有兩種，概率為，即． 本題也可采用列表法來解： 第2次 第1次 正 反 正 （正，反） （反，正） 反 （正，反） （反，反） 由表知共有4種可能，出現(xiàn)“一正一反”共2次，概率為，即． 四、面積法 幾何概型的概率的求解方法往往與面積的計算相結合 A B C D 例4．如圖，矩形花園ABCD，AB為4米，BC為6米，小鳥任意落下，則小鳥落在陰影區(qū)的概率是多少？ 解：矩形面積為：4×6＝24（米）， 陰影部分面積為：（米）， ． 練習： 1．袋中裝有3個紅球，1個白球，除顏色外完全相同． （1）用實驗的方法估計，從袋中隨機摸出一球，是白球的概率． （2）計算從袋中隨機摸出一球，是白球的概率是多少？ （3）實驗估計結果與理論概率一致嗎？為什么？你認為要得到較為準確的估計值，應注意哪些問題？ 2．在摸牌游戲中，每組有三張牌，第一組牌面數(shù)字分別是2，3，4，第二組牌面數(shù)字分別是3，4，5，從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字和為幾的概率最大？是多少？ 3．三張除數(shù)字完全相同的紙牌，數(shù)字為1，2，3，每次抽取一張為一次實驗，多少次實驗后匯總下表： 摸牌次數(shù) 20 50 100 200 300 400 500 奇數(shù) 9 28 75 172 195 176 310 奇數(shù)頻率 45％ 75％ 62％ （1）將表格補充完整； （2）觀察上面的表格，你估計出現(xiàn)奇數(shù)的概率為多少？ （3）通過對表格的仔細觀察，你有什么想法和感悟？ 4．一張有重要情報的紙片，被隨意藏在下面涂有黑、灰、白三種顏色的圖形中． （1）藏在那種顏色的區(qū)域的概率最大？ （2）藏在哪兩種顏色區(qū)域內的概率相同？ （3）分別計算藏在三種顏色區(qū)域內的概率？ 5．下表左攔是五個裝有一些彩色小球的口袋， 右欄是五個愿望，請為每一愿望找一個口袋， 使這一愿望最有希望實現(xiàn)． 口袋 愿望 A袋中裝著1個紅球、19個白球 ①想取出一個黃球 B袋中裝著20個紅球 ②想取出一個綠球 C袋中裝著10個紅球、10個綠球 ③想取出一個白球 D袋中裝著18個紅球、1個黃球、1個白球 ④想取出一個紅球 E袋中裝著10個紅球、6個白球、4個綠球 ⑤想同時取出一個白球和一個綠球 6．如圖3，有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A，B，轉盤A被均勻地分成4等分，每份分別標上1、2、3、4四個數(shù)字；轉盤Ｂ被均勻地分成6等分，每份分別標上1、2、3、4、5、6六個數(shù)字，有人為甲、乙兩人設計了一個游戲，其規(guī)則如下： （1）同時自由轉動轉盤A與B； （2）轉盤停止后，指針各指向一個數(shù)字（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉一次，直到指針指向某一數(shù)字為止），用所指的兩個數(shù)作乘積，如果得到的積是偶數(shù)，那么甲勝；如果得到的積是奇數(shù)，那么乙勝（如轉盤A指針指向3，轉盤B指針指向5，3×5＝15，按規(guī)則乙勝）． 6 4 1 5 3 2 圖3 4 3 2 1 你認為這樣的規(guī)則是否公平？請說明理由； 例析概率問題與各章知識的精彩交匯 一、 概率問題與函數(shù)知識的交匯 例1：多項飛碟是奧運會的競賽項目，它是由拋靶機把碟靶（射擊的目標）在一定范圍內從不同的方向飛出，每拋出一個碟靶，就允許運動員射擊兩次.一運動員在進行訓練時，每一次射擊命中碟靶的概率P與運動員離碟靶的距離S（米）成反比，現(xiàn)有一碟靶拋出后S（米）與飛行時間t（秒）滿足S=15（t+1），（0≤t≤4）.假設運動員在碟靶飛出后0.5秒進行第一次射擊，且命中的概率為0.8，如果他發(fā)現(xiàn)沒有命中，則通過迅速調整，在第一次射擊后經(jīng)過0.5秒進行第二次射擊，求他命中此碟靶的概率？ [解析]：設P=（K為非0常數(shù)），則P= 當t=0.5秒時，P1=0.8 ,代入上式得K=18 ， ∴P= ∴當t=1秒時，P2=0.6 因此 P= P1+（1- P1）×P2=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92 二、 概率問題與向量、數(shù)列知識的交匯 例2：從原點出發(fā)的某質點M，按向量a=(0,1)移動的概率為2/3，按向量b=（0，2）移動的概率為1/3，設M可到達點（0，n）的概率為Pn (1)求P1和P2的值；（2）求證：=;(3)求的表達式。 [解析]：（1）P1= ，P2=（）2+= （2）證明：M到達點（0，n+2）有兩種情況：①從點（0，n+1）按向量a=（0，1）移動；②從點（0，n）按向量b=（0，2）移動. ∴+ ∴= （3）數(shù)列{}是以P2-P1為首項，-為公比的等比數(shù)列. = (P2-P1)(-)n-1=(-)n-1=(-)n+1, ∴=(-)n, 又∵=（）+（）+…+(P2-P1) =(-)n+(-)n-1+…+(-)2=()[1- (-)n-1] ∴+()[1- (-)n-1]= (-)n 三、 概率問題與平面幾何知識的交匯 例3：兩人相約在7點到8點在某地會面，先到者等候另一個人20分鐘方可離去. 試求這兩人能會面的概率？ [解析]：（如圖）這是幾何概型問題. 以X、Y分別表示兩人到達時刻，建立直角坐標系如圖： 則0≤X≤60， 0≤Y≤60。兩人能會面的充要條件是|X-Y|≤20 ∴P= 四、 概率問題與立體幾何知識的交匯 例4：質地均勻的三個幾何體A、B、C. A是硬幣，正面涂紅色，反面涂黃色；B是正四面體涂了紅黃藍白四色，每面一色；C是正方體，每面涂一色，涂有紅黃藍三色，每種顏色兩個面，在水平地面上依次投A、B、C各一次，幾何體與地面接觸的面的顏色稱為“保留色”。 （1） 求A、B、C的“保留色”相同的概率； （2） 求A、B、C的“保留色”恰為兩個紅色的概率； （3） 求A、B、C的“保留色”互不相同的概率； [解析]：（1`）∵當A、B、C的“保留色”相同可分為同紅或同黃， ∴ P1== （2）∵“恰為兩個紅色”有三種情況，即A、B同紅色；B、C同紅色；A、C同紅色 ∴P2== （3）解法（一）按先投A，再投C，最后投B的順序可得P3== 解法（二）按先投A，再投B，最后投C的順序則需分兩類，當B投得的“保留色”為白色時，則此時三者的“保留色”互不相同的概率是= ； 當B投得的“保留色”不為白色時，則此時三者的“保留色”互不相同的概率是=， ∴A、B、C的“保留色”互不相同的概率P3=+= 解法（三）反面解之，P3=1- P1-2P2 - （其中為B、C同藍色的概率） 由上觀之，對概率知識的學習，尤其是高三總復習階段，如果能打破知識條塊系統(tǒng)的限制，串點成線，尋找合適的知識載體，精心選編復習內容，在知識的交匯點，方法的多樣性，思維的靈活性能力的綜合性上討論問題，將有利于提高學習效益. 附相關練習及答案： 1、從集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3個元素分別作為方程Ax+By+C=0中的A、B、C。所得直線恰好經(jīng)過坐標原點的概率是 。 2、將一個各個面上均涂有紅顏色的正方體鋸成64個同樣大小的小正方體。 (1)從這些小正方體中任取1個，其中恰好有奇數(shù)個面涂有紅顏色的概率是多少？ (2)從這些小正方體中任取2個，至少有一個小正方體的某個面或某幾個面涂有紅顏色的概率是多少？ 3.、在某物理實驗中，有兩粒子a，b分別位于同一直線上A、B兩點處(如圖所示)，|AB|＝2，且它們每隔1秒必向左或向右移動1個單位，如果a粒子向左移動的概率為，b粒子向左移動的概率為. (1)求2秒后，a粒子在點A處的概率； (2)求2秒后，a，b兩粒子同時在點B處的概率. 　4．袋里裝有35個球，每個球上都標有從1到35的一個號碼，設號碼n的球重（克）．這些球以等可能性（不受重量的影響）從袋里取出． （1）如果任意取出一球，試求其重量大于號碼數(shù)的概率； （2）如果同時任意取出二球，試求它們重量相同的概率． 5．某超市為擴大銷售調查進入該超市顧客的人數(shù)，經(jīng)觀察，在一段時間內，進入超市為n個人的概率為p (n)滿足關系 （1） 求一個顧客也沒有的概率p（0）；（2）求一段時間進入該超市顧客的期望值。 1答 ，2答、(1) (2)， 3答. (1) ×+×=.(2) ×=. 4．解（1）由不等式得n＞15，n＜3，由題意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率為?。?）設第n號與第m號的兩個球的重量相等，其中n＜m，則有，所以，因為n≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但從35個球中任取兩個的方法數(shù)為，故，所求概率為 巧求概率 　　一、注意每次實驗的步數(shù)，有放回與無放回 　　例1　袋中有1個白球，2個黃球，問 　?。?）從中一次性地隨機摸出2個球，都是黃球的概率是多少？ 　?。?）先從中摸出一球，再從剩下的球中摸出一球，兩次都是黃球的概率是多少？ 　　（3）先從中摸出一球，將它放回口袋中后，再摸一次，兩次都是黃球的概率是多少？ 　　解析：（1）從袋中一次性地摸出2個球，作為一次實驗，此實驗就此一步，從袋中一次性地摸出2個球的結果總數(shù)為3，都是黃球的結果數(shù)為1，所以概率為． 　?。?）先從中摸出一球，再從剩下的球中摸出一球，作為一次實驗，此實驗分為兩步，第一步為：從袋中摸出一球，第二步為：再從剩下的球中摸出一球． 　　法一：畫樹狀圖． 　　由樹狀圖可看出，總結果數(shù)為6，兩次都是黃球的結果數(shù)為2，所以兩次都是黃球的概率為． 　　法二：第一步從袋中摸出一個黃球的概率為，當?shù)谝徊矫隽它S球時，剩下的兩個球為1個白球，1個黃球，所以此時第二步再從剩下的兩個球中摸出一個黃球的概率為．即在第一步的概率中，第二步又有的概率，所以兩次都是黃球的概率為兩步概率的乘積． 　?。?）先從中摸出一球，將它放回口袋中后，再摸一次，作為一次實驗，此實驗分為兩步，第一步為：從袋中摸出一球，第二步為將摸出的球放回袋中，使袋中始終保持三個球，再從中摸出一球． 　　法一：因為每次摸球都是從三個球中摸出一個，所以每次摸黃球的概率都為，二次都摸到黃球的概率為． 　　法二：每次摸球的結果都是3，對于第一次的每個結果，第二次都有3個結果與之對應，所以兩次摸球的結果總數(shù)為兩次結果的乘積，每次摸黃球的結果數(shù)都為2，所以兩次都摸到黃球的結果數(shù)為，概率為． 　　法三：列表格． 　　法四：畫樹狀圖． 　　小結：由（1）、（2）比較可以看出，無放回地兩次都摸黃球的概率與一次性地摸兩個黃球的概率是一樣的． 　　求概率的方法有多種，其中樹狀圖和表格的方法，思路清晰，各種情況一目了然，但相對來說較麻煩，而（3）中的法一、法二相對較簡單，歸納如下：如果一次實驗分兩步進行，第一步的等可能結果數(shù)為m，第二步的等可能結果數(shù)為n，則總等可能結果數(shù)為各步結果數(shù)的乘積mn．第一步事件A的發(fā)生的概率為P（A），第二步事件B發(fā)生的概率為P（B），則事件A、B同時發(fā)生的概率為各步概率乘積P（A）P（B）． 　　二、注意找出所有符合要求的情況 　　例2　用下圖所示的轉盤進行配紫色（紅色與藍色配成）游戲：其中A轉盤藍色部分占整個轉盤的．求游戲者獲勝的概率？ 　　解析：配成紫色的情況為（紅，藍），（藍，紅），括號里兩種顏色分別表示轉盤A、B的指針所指的顏色． 　　對于情況（紅，藍），轉盤A指向紅色的概率為，轉盤B指向藍色的概率為，所以情況（紅，藍）的概率為． 　　同理情況（藍，紅）的概率為． 　　所以配成紫色的概率為． 　　本題也可用表格或樹狀圖來解． 　　小結：本題中符合要求的情況為兩種，這兩種情況不可能同時發(fā)生，它們的概率之和就是所求概率．