浙江省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文

選修4—4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程真題試做1．(2020·北京高考，理9)直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．2．(2020·江西高考，理15)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為__________．3．(2020·浙江高考，自選模塊，04)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：(t為參數(shù))與曲線C：(θ為參數(shù))相交于不同兩點(diǎn)A，B．(1)若α＝，求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直線l的斜率．4．(2020·課標(biāo)全國高考，理23)已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2.正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.(1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍．5．(2020·遼寧高考，文23)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．考向分析從近幾年的高考情況看，該部分主要有三個(gè)考點(diǎn)：一是平面坐標(biāo)系的伸縮變換；二是極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；三是極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用．對(duì)于平面坐標(biāo)系的伸縮變換，主要是以平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系為平臺(tái)，考查伸縮變換公式的應(yīng)用，試題設(shè)計(jì)大都是運(yùn)用坐標(biāo)法研究點(diǎn)的位置或研究幾何圖形的形狀．對(duì)于極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涉及到直線與圓的極坐標(biāo)方程，從點(diǎn)與直線、直線與圓的位置關(guān)系等不同角度考查，研究求距離、最值、軌跡等常規(guī)問題．極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，主要是以直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程為背景，轉(zhuǎn)化為普通方程，從而進(jìn)一步判斷位置關(guān)系或進(jìn)行有關(guān)距離、最值的運(yùn)算．預(yù)計(jì)2020年高考中，本部分內(nèi)容主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，試題以解答題的形式呈現(xiàn)，屬于中檔題．熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一　平面坐標(biāo)系的伸縮變換【例1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換．規(guī)律方法 1．平面坐標(biāo)系的伸縮變換對(duì)圖形的變化起到了一個(gè)壓縮或拉伸的作用，如三角函數(shù)圖象周期的變化．2．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換．變式訓(xùn)練1 在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2＋8y′2＝1，則曲線C的方程為(　　)．A．50x2＋72y2＝1B．9x2＋100y2＝1C．25x2＋36y2＝1D．x2＋y2＝1熱點(diǎn)二　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化【例2】在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ＝2cos θ與直線3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求實(shí)數(shù)a的值．規(guī)律方法 1．直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則x＝ρcos θ，y＝ρsin θ且ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．這就是直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式．2．曲線的極坐標(biāo)方程的概念：在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)至少有一個(gè)滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲線C的極坐標(biāo)方程．變式訓(xùn)練2 圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過圓O1，圓O2兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．熱點(diǎn)三　參數(shù)方程與普通方程的互化【例3】把下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)規(guī)律方法 1．參數(shù)方程部分，重點(diǎn)還是參數(shù)方程與普通方程的互化，主要是將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程．2．參數(shù)方程與普通方程的互化：參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程，常見方法有三種：①代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)；②三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)；③整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去參數(shù)．化參數(shù)方程為普通方程F(x，y)＝0：在消參過程中注意變量x，y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范圍．變式訓(xùn)練3 把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：(1)(t為參數(shù))；(2)(θ為參數(shù))．熱點(diǎn)四　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．規(guī)律方法 如果直接由曲線的極坐標(biāo)方程看不出曲線是什么圖形，往往在將曲線的極坐標(biāo)方程化為相應(yīng)的直角坐標(biāo)方程，再通過直角坐標(biāo)方程判斷出曲線是什么圖形．變式訓(xùn)練4 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．1．(2020·安徽安慶二模，4)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則曲線(φ為參數(shù)，φ∈R)上的點(diǎn)到曲線ρcos θ＋ρsin θ＝4(ρ，θ∈R) 的最短距離是(　　)．A．0　　　　B．2－　　　　C．1　　　　D．22．設(shè)直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則其斜截式方程為__________．3．(2020·廣東梅州中學(xué)三模，15)在極坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cos θ于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝__________.4．(2020·北京豐臺(tái)區(qū)三月模擬，11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ2－4ρcos θ＋3＝0.則圓心到直線的距離是__________．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：(θ為參數(shù))與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．6．(2020·江蘇鎮(zhèn)江5月模擬，21)已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t∈R)．求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．7．(2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)，自選模塊04)已知點(diǎn)P(m,0)(m∈R)，曲線C1：(θ為參數(shù))與曲線C2：ρcos＝m交于不同的兩點(diǎn)A，B．(極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極徑與直角坐標(biāo)系中x軸的非負(fù)半軸重合)．(1)求m的取值范圍；(2)若|PA|·|PB|＝，求m的值．參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1．2　解析：由題意知直線與曲線的參數(shù)方程可分別化為x＋y－1＝0，x2＋y2＝9，進(jìn)而求出圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝＜3，∴交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.2．ρ＝2cos θ3．解：設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程＋y2＝1.(1)當(dāng)α＝時(shí)，設(shè)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)參數(shù)為t0.直線l方程為(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，則t0＝＝－，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.(2)將代入曲線C的普通方程＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sin α＋4cos α)t＋12＝0，因?yàn)閨PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，所以＝7，得tan2α＝.由于Δ＝32cos α(2sin α－cos α)＞0，故tan α＝.所以直線l的斜率為.4．解：(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．(2)設(shè)P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，則S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因?yàn)?≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32,52]．5．解：(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ.解得ρ＝2，θ＝±，故圓C1與圓C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為，.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一．(2)解法一：由得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，)，(1，－)．故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤t≤.(或參數(shù)方程寫成－≤y≤)解法二：將x＝1代入得ρcos θ＝1，從而ρ＝.于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為－≤θ≤.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】解：設(shè)變換為代入第二個(gè)方程，得2λx－μy＝4與x－2y＝2比較，將其變成2x－4y＝4，比較系數(shù)得λ＝1，μ＝4.∴伸縮變換公式為即直線x－2y＝2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍可得到直線2x′－y′＝4.【變式訓(xùn)練1】A　解析：將代入曲線方程2x′2＋8y′2＝1，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1.【例2】解：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直線的方程為3x＋4y＋a＝0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有＝1，解得a＝－8或a＝2.即a的值為－8或2.【變式訓(xùn)練2】解：(1)因?yàn)閳AO1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ，又因?yàn)棣?＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，所以由ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ得，ρ2＝4ρcos θ，ρ2＝－ρsin θ.即x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.所以圓O1和圓O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.(2)由(1)易得，經(jīng)過圓O1和圓O2兩個(gè)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為4x＋y＝0.【例3】解：(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，這就是它的普通方程．(2)由已知，得t＝2x－2，代入y＝5＋t中，得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．【變式訓(xùn)練3】解：(1)由x＝1＋t，得t＝2x－2.∴y＝2＋(2x－2)．∴x－y＋2－＝0，此方程表示直線．(2)由得兩式平方相加得＋＝1，此方程表示橢圓．【例4】解：ρcos＝2化簡(jiǎn)為ρcos θ＋ρsin θ＝4，則直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos α，sin α)，得P到直線l的距離d＝，即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝.當(dāng)sin(α＋φ)＝－1時(shí)，dmax＝2＋.【變式訓(xùn)練4】解：(1)把極坐標(biāo)系中的點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(cos α，sin α)，從而點(diǎn)Q到直線l的距離是d＝＝＝cos＋2，由此得，當(dāng)cos＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為.創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1．B2．y＝x＋3－23．24．5．解：沒有公共點(diǎn)．證明如下：直線l的普通方程為x＋2y－3＝0.把曲線C的參數(shù)方程代入l的方程x＋2y－3＝0，得2cos θ＋2sin θ－3＝0，即sin＝.因?yàn)閟in∈[－，]，而?[－，]．所以方程sin＝無解．即曲線C與直線l沒有公共點(diǎn)．6．解：直線l的普通方程為y＝x－2；曲線C的普通方程為＋＝1.∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，∴點(diǎn)F1到直線l的距離d1＝＝，點(diǎn)F2到直線l的距離d2＝＝，∴d1＋d2＝2.7．解：(1)曲線C1化為普通方程C1：＋y2＝1，曲線C2化為普通方程C2：y＝x－m，由得5x2－8mx＋4m2－4＝0.由Δ＝64m2－20(4m2－4)＞0，得m2＜5.∴m的取值范圍為－＜m＜.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在直線C2上，故直線C2可化為參數(shù)式：代入C1：＋y2＝1中，得＋2＝1，即得5t2＋2mt＋2m2－8＝0.設(shè)方程5t2＋2mt＋2m2－8＝0的兩根為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，由＝?m2＝1或m2＝7(不合題意，舍去)，當(dāng)|PA|·|PB|＝時(shí)，m＝±1.。