【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第18練

第18練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型分析高考展望三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考中對三角函數(shù)部分考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要包括三個(gè)大的方面：三角函數(shù)圖象的識別，三角函數(shù)的簡單性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象的平移、伸縮變換.考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度一般為低中檔，在二輪復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化該部分的訓(xùn)練，爭取對該類試題會做且不失分.?？碱}型精析題型一三角函數(shù)的圖象例1(1)(2015課標(biāo)全國)函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(2)(2014湖北)某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)10costsint，t0,24).求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度；求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差.點(diǎn)評(1)畫三角函數(shù)圖象用“五點(diǎn)法”，由圖象求函數(shù)解析式逆用“五點(diǎn)法”是比較好的方法.(2)對三角函數(shù)圖象主要確定下列信息：周期；最值；對稱軸；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；單調(diào)性；與標(biāo)準(zhǔn)曲線的對應(yīng)關(guān)系.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)2sin(x)(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，則()A.， B.，C.2， D.2，(2)已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，|<，>0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_.題型二三角函數(shù)的簡單性質(zhì)例2設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(>0)，且yf(x)圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.點(diǎn)評解決此類問題首先將已知函數(shù)式化為yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，再將x看成， 利用ysin (或ycos )的單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)解決相關(guān)問題.變式訓(xùn)練2(2014福建)已知函數(shù)f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.題型三三角函數(shù)圖象的變換例3已知函數(shù)f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向下平移a(a0)個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且函數(shù)g(x)的最大值為2.求函數(shù)g(x)的解析式；證明：存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)0.點(diǎn)評對于三角函數(shù)圖象變換問題，平移變換規(guī)則是“左加右減上加下減”并且在變換過程中只變換其中的自變量x，要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位和方向，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的名稱不同時(shí)，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，其次把x寫成(x)，最后確定平移的單位和方向.伸縮變換時(shí)注意敘述為“變?yōu)樵瓉淼摹边@個(gè)字眼，變換的倍數(shù)要根據(jù)橫向和縱向，要加以區(qū)分.變式訓(xùn)練3(2014山東)已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n), 函數(shù)f(x)ab，且yf(x)的圖象過點(diǎn)(，)和點(diǎn)(，2).(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.高考題型精練1.(2015四川)下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是()A.ycos B.ysinC.ysin 2xcos 2x D.ysin xcos x2.(2014福建)將函數(shù)ysin x的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)yf(x)的圖象，則下列說法正確的是()A.yf(x)是奇函數(shù)B.yf(x)的周期為C.yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱D.yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱3.已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖象如圖所示，則f()等于()A.B.1C.D.14.(2014遼寧)將函數(shù)y3sin(2x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)()A.在區(qū)間，上單調(diào)遞減B.在區(qū)間，上單調(diào)遞增C.在區(qū)間，上單調(diào)遞減D.在區(qū)間，上單調(diào)遞增5.將函數(shù)f(x)4sin的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得圖象關(guān)于直線x對稱，則的最小正值為()A. B.C. D.6.函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<)的部分圖象如圖所示，則將yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象的解析式為()A.ysin 2x B.ycos 2xC.ysin D.ysin7.若函數(shù)f(x)cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且<<，則函數(shù)yf為()A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增C.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減D.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減8.(2015湖北)函數(shù)f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.9.函數(shù)ycos(2x)(<)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)ysin的圖象重合，則_.10.(2015湖北)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(2) 將yf(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度，得到y(tǒng)g(x)的圖象，求yg(x)的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心.11.(2014重慶)已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0，<)的圖象關(guān)于直線x對稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.(1)求和的值；(2)若f()(<<)，求cos()的值.12.(2015重慶)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.答案精析第18練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)?？碱}型精析例1D 由圖象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.故選D.(2)解f(8)10cos(8)sin(8)10cossin10()10.故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10.因?yàn)閒(t)102(costsint)102sin(t)，又0t<24，所以t<，1sin(t)1.當(dāng)t2時(shí)，sin(t)1；當(dāng)t14時(shí)，sin(t)1.于是f(t)在0,24)上的最大值為12，最小值為8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差為4.變式訓(xùn)練1(1)D (2)f(x)2sin解析(1)f(x)2sin(x) (>0，|<)的最小正周期為，T，2.f(0)2sin ，即sin (|<)，.(2)觀察圖象可知：A2且點(diǎn)(0,1)在圖象上，12sin(0)，即sin .|<，.又是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點(diǎn)，2，2.f(x)2sin.例2解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.依題意知4，>0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.當(dāng)x時(shí)，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，1.變式訓(xùn)練2解(1)因?yàn)?<<，sin ，所以cos .所以f()().(2)因?yàn)閒(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.例3解(1)因?yàn)閒(x)10sin cos 10cos25sin x5cos x510sin5，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T2.(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到y(tǒng)10sin x5的圖象，再向下平移a(a0)個(gè)單位長度后得到g(x)10sin x5a的圖象.又已知函數(shù)g(x)的最大值為2，所以105a2，解得a13.所以g(x)10sin x8.要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)0，就是要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得10sin x080，即sin x0.由知，存在00，使得sin 0.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x(0，0)時(shí)，均有sin x.因?yàn)閥sin x的周期為2，所以當(dāng)x(2k0,2k0)(kZ)時(shí)，均有sin x.因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)k，(2k0)(2k0)201，所以對任意的正整數(shù)k，都存在正整數(shù)x0(2k0,2k0)，使得sin x0.亦即，存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)0.變式訓(xùn)練3解(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)(，)和(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x).由題意知g(x)f(x)2sin(2x2).設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)，由題意知x11，所以x00，即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2).將其代入yg(x)得sin(2)1，因?yàn)?<<，所以，因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.高考題型精練1. A ycossin 2x，最小正周期T，且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；ysincos 2x，最小正周期為，且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故B不正確；C，D均為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C，D不正確.2.D 由題意知，f(x)cos x，所以它是偶函數(shù)，A錯(cuò)；它的周期為2，B錯(cuò)；它的對稱軸是直線xk，kZ，C錯(cuò)；它的對稱中心是點(diǎn)，kZ，D對.3.C 由圖象知，T2()，2.由2k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(20)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2)tan.4.B y3sin(2x)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到y(tǒng)3sin2(x)3sin(2x).令2k2x2k得kxk，kZ，則y3sin(2x)的增區(qū)間為k，k，kZ.令k0得其中一個(gè)增區(qū)間為，故B正確.畫出y3sin(2x)在，上的簡圖，如圖，可知y3sin(2x)在，上不具有單調(diào)性，故C，D錯(cuò)誤.5.B 依題意可得yf(x)y4sin2(x)4sin2x(2)yg(x)4sin4x(2)，因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線x對稱，所以g4，得(kZ)，故選B.6.D 由圖象知A1，T，T，2，由sin1，|<得f(x)sin，則圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象的解析式為ysinsin.7.D 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則k，kZ.即k，kZ，又<<，則，則yfcoscossin 2x，所以該函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減.8.2解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ysin 2x與函數(shù)y|ln(x1)|的大致圖象如圖所示.觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).9.解析函數(shù)ycos(2x)向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin，即ysin向左平移個(gè)單位得到函數(shù)ycos(2x)，ysin向左平移個(gè)單位，得ysinsinsincoscos，即.10.解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A5，2，.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：x02xAsin(x)05050且函數(shù)表達(dá)式為f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，因此g(x)5sin5sin.因?yàn)閥sin x的對稱中心為(k，0)，kZ.令2xk，解得x，kZ.即yg(x)圖象的對稱中心為，kZ，其中離原點(diǎn)O最近的對稱中心為.11.解(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以f(x)的最小正周期為T，從而2.又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，所以2k，k0，1，2，.由<，得k0，所以.(2)由(1)得f()sin(2)，所以sin().由<<，得0<<，所以cos() .所以cos()sin sin()sin()coscos()sin.12.解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)當(dāng)x時(shí)，02x，從而當(dāng)02x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.第 17 頁 共 17 頁