【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科】第二篇 第6講

第6講　函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 題型一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問題 例1　(13分)(2014安徽)設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0. (1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性； (2)當(dāng)x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值. 規(guī)范解答 解　(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)， f′(x)＝1＋a－2x－3x2.[1分] 令f′(x)＝0， 得x1＝，x2＝，x1<x2， 所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2).[2分] 當(dāng)x<x1或x>x2時，f′(x)<0； 當(dāng)x1<x<x2時，f′(x)>0.[4分] 故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增.[5分] (2)因為a>0，所以x1<0，x2>0.[6分] ①當(dāng)a≥4時，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增， 所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值；[8分] ②當(dāng)0<a<4時，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上單調(diào)遞增，在[x2,1]上單調(diào)遞減， 所以f(x)在x＝x2＝處取得最大值.[10分] 又f(0)＝1，f(1)＝a， 所以當(dāng)0<a<1時，f(x)在x＝1處取得最小值；[11分] 當(dāng)a＝1時，f(x)在x＝0處和x＝1處同時取得最小值；[12分] 當(dāng)1<a<4時，f(x)在x＝0處取得最小值.[13分] 評分細(xì)則 第(1)問得分點 1.若沒寫出定義域可不扣分. 2.若f′(x)<0與f′(x)>0解集出錯，只得2分. 3.若(－∞，x1)和(x2，＋∞)中間用∪連接，扣1分. 第(2)問得分點 1.沒根據(jù)a≥4與0<a<4分類討論，不得分. 2.當(dāng)0<a<4時，沒根據(jù)0<a<1，a＝1,1<a<4討論，扣3分. 3.按a>4與0<a≤4分類討論，同樣得分. 4.當(dāng)0<a<4時，把a(bǔ)＝1合并在0<a<1或1<a<4討論，同樣得分. 第一步：確定函數(shù)的定義域.如本題函數(shù)的定義域為R； 第二步：求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)； 第三步：求方程f′(x)＝0的根； 第四步：利用f′(x)＝0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列出表格； 第五步：由f′(x)在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f(x)在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性； 第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論； 第七步：反思回顧.查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范. 跟蹤訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝(x∈R).其中a∈R. (1)當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)當(dāng)a≠0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. 　 　 　 　 　 題型二　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題 例2　(12分)(2014課標(biāo)全國Ⅰ)f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為0. (1)求b； (2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范圍. 規(guī)范解答 解　(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.[1分] 由題設(shè)知f′(1)＝0，解得b＝1.[3分] (2)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x， f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－)(x－1).[5分] ①若a≤，則≤1， 故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增. 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為 f(1)<， 即－1<， 解得－－1<a<－1.[7分] ②若<a<1，則>1， 故當(dāng)x∈(1，)時，f′(x)<0， 當(dāng)x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(1，)單調(diào)遞減，在(，＋∞)單調(diào)遞增. 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f()<. 而f()＝aln ＋＋>， 所以不合題意.[9分] ③若a>1，則f(1)＝－1＝<.[11分] 綜上，a的取值范圍是(－－1，－1)∪(1，＋∞).[12分] 評分細(xì)則 第(1)問得分點 1.若導(dǎo)函數(shù)求錯，不得分. 2.若f′(1)＝0解錯，只得2分. 第(2)問得分點 1.若沒求定義域，其他正確，不扣分. 2.沒進(jìn)行分類討論的，不得分.漏一類扣2分. 3.沒有結(jié)論的扣1分. 4.利用其他方法求解的，同樣得分. 第一步：整理函數(shù)式，對其求導(dǎo)數(shù)； 第二步：研究函數(shù)單調(diào)性，含參數(shù)的，要依題意對參數(shù)進(jìn)行討論； 第三步：應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性，解決題目涉及的問題，如存在性問題，恒成立問題，探索性問題等，主要依據(jù)是函數(shù)最值、單調(diào)性； 第四步：得出綜合結(jié)論； 第五步：回顧反思，查易錯點，驗規(guī)范性. 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R). (1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在[，e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍. 　 　 　 　 　 答案精析 第6講　函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝，f(2)＝， 又f′(x)＝＝， f′(2)＝－. 所以，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為 y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0. (2)f′(x)＝ ＝. 由于a≠0，以下分兩種情況討論． ①當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－) － (－，a) a (a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 所以f(x)在區(qū)間，(a，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)f(x)在x1＝－處取得極小值f， 且f＝－a2. 函數(shù)f(x)在x2＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1. ②當(dāng)a＜0時，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－， 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a) a (a，－) － (－，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x)在區(qū)間(－∞，a)，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)f(x)在x1＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1. 函數(shù)f(x)在x2＝－處取得極小值f(－)， 且f＝－a2. 綜上，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－)，(a， ＋∞)， 極大值為1，極小值為－a2. 當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(－，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，－)，極大值為1，極小值為－a2. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切點坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)g(x)＝2ln x－x2＋m， 則g′(x)＝－2x＝. ∵x∈[，e]， ∴當(dāng)g′(x)＝0時，x＝1. 當(dāng)<x<1時，g′(x)>0； 當(dāng)1<x<e時，g′(x)<0. 故g(x)在x＝1處取得極大值g(1)＝m－1. 又g()＝m－2－， g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g()＝4－e2＋<0， 則g(e)<g()， ∴g(x)在[，e]上的最小值是g(e)． g(x)在[，e]上有兩個零點的條件是 解得1<m≤2＋， ∴實數(shù)m的取值范圍是(1,2＋]．