【高考前三個月復習數(shù)學理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第19練

第19練解三角形問題題型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形問題是高考每年必考的熱點問題之一.命題的重點主要有三個方面：一是以斜三角形為背景求三角形的基本量、求三角形的面積、周長、判斷三角形形狀等；二是以實際生活為背景，考查解三角形問題；三是與其他知識的交匯性問題，此類試題一直是命題的重點和熱點.?？碱}型精析題型一活用正弦、余弦定理求解三角形問題例1(1)(2015廣東)設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a2，c2，cos A且b<c，則b等于()A.3 B.2C.2 D.(2)(2014山東)ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a3，cos A，BA.求b的值；求ABC的面積.點評在根據(jù)正弦、余弦定理解三角形問題中，要結合大邊對大角進行判斷.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角時，若已知小角求大角，有兩解，已知大角求小角有一解；在解三角形問題中，三角形內角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，防止增解等擴大范圍的現(xiàn)象發(fā)生.變式訓練1(2015課標全國)ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.題型二正弦、余弦定理的實際應用例2如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量cos A，cos C.(1)求索道AB的長；(2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？點評解三角形中的實際問題四步驟：(1)分析題意，準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；(3)將所求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解；(4)檢驗解出的結果是否具有實際意義，對結果進行取舍，得出正確答案.變式訓練2(2014四川)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于_m.(用四舍五入法將結果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)題型三解三角形與其他知識的交匯例3(2015長春模擬)已知向量m(cos x，1)，n，函數(shù)f(x)(mn)m.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分別為ABC內角A，B，C的對邊，A為銳角，a1，c，且f(A)恰是函數(shù)f(x)在上的最大值，求A，b和ABC的面積.點評解三角形問題與三角函數(shù)性質、向量、不等式、立體幾何、數(shù)列等知識結合交匯，是近年來高考的新題型，對于這種問題要細心讀題，弄清問題實質，一般都以其他知識為載體，主體還是利用正弦、余弦定理解三角形，所以將問題轉化為解三角形是關鍵.變式訓練3(2015陜西)ABC的內角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c.向量m(a，b)與n(cos A，sin B)平行.(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面積.高考題型精練1.(2015北京改編)在ABC中，a4，b5，c6，則等于()A. B.2 C.1 D.2.(2015重慶改編)設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c等于()A.2 B.3 C. D.43.在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C2A，cos A，b5，則ABC的面積為()A. B. C. D.4.(2014江西)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a2b，則的值為()A. B.C.1 D.5.(2014課標全國)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC等于()A.5 B. C.2 D.16.在ABC中，|3，則ABC面積的最大值為()A. B.C. D.37.(2014天津)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，則cos A的值為_.8.(2015江蘇)設向量ak(k0,1,2，12)，則(akak1)的值為_.9.(2014課標全國)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_.10.設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A，a，則b2c2的取值范圍為_.11.(2014重慶)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面積Ssin C，求a和b的值.12.(2015南京模擬)如圖所示，某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形(其中B，ABa，BCa)地塊開發(fā)成公共綠地，設計時，要求綠地部分有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個關于走道MN對稱的三角形(AMN和AMN)，現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求M點與B點不重合，A落在邊BC上，設AMN.(1)若時，綠地“最美”，求最美綠地的面積；(2)為方便小區(qū)居民的行走，設計時要求將AN，AN的值設計最短，求此時綠地公共走道的長度.答案精析第19練解三角形問題?？碱}型精析例1(1)C 由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又b<c，b2.(2)解在ABC中，由題意知，sin A，又因為BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理，得b3.由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB).所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面積Sabsin C33.變式訓練1解(1)由正弦定理得，.因為AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因為C180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，即B30.例2解(1)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故當t min時，甲、乙兩游客距離最短.(3)由正弦定理，得BCsin A500(m).乙從B出發(fā)時，甲已走了50(281)550(m)，還需走710 m才能到達C.設乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在(單位：m/min)范圍內.變式訓練260解析根據(jù)已知的圖形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060(m).例3解(1)f(x)(mn)mcos2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2x2sin2.因為2，所以最小正周期T.(2)由(1)知f(x)sin2，當x時，2x.由正弦函數(shù)圖象可知，當2x時，f(x)取得最大值3，又A為銳角，所以2A，A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得1b232bcos ，所以b1或b2，經(jīng)檢驗均符合題意.從而當b1時，ABC的面積S1sin ；當b2時，ABC的面積S2sin .變式訓練3解(1)因為mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，從而tan A，由于0A，所以A.(2)方法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而由a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因為c0，所以c3，故ABC的面積為Sbcsin A.方法二由正弦定理，得，從而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面積為Sabsin C.高考題型精練1.C 由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.2.D 由3sin A2sin B，得3a2b，ba23，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C223222316，解得c4.3.A cos A，cos C2cos2A1，sin C，tan C3，如圖，設AD3x，AB4x，CD53x，BDx.在RtDBC中，tan C3，解之得：BDx，SABCBDAC.4.D ，.3a2b，.2()212()211.5.B SABBCsin B1sin B，sin B，B或.當B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意.故AC.6.B 設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，|3，又cos A11，cos A，0<sin A，ABC的面積Sbcsin Atan A，故ABC面積的最大值為.7.解析由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理得cos A.8.9解析ak，akak1coscoscoscossin.故akak1ososin.由os0，in0，得akak1cos129.9.解析2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”當且僅當bc時取得)，SABCbcsin A4.10.(3,6解析由正弦定理，得2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(B)4sin 2Bcos 2B42sin(2B).又0<B<，所以<2B<.所以1<2sin(2B)2.所以3<b2c26.11.解(1)由題意可知c8(ab).由余弦定理得cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C，可得sin Asin B2sin C，化簡得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因為sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知ab3c.又因為abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，從而a26a90，解得a3，b3.12.解(1)由B，ABa，BCa，所以BAC.設MAMAxa(0<x<1)，則MBaxa，所以在RtMBA中，cos(2)，所以x.由于AMN為等邊三角形，所以綠地的面積S2aasin a2.(2)因為在RtABC中，B，ABa，BCa，所以BAC，所以在AMN中，ANM，由正弦定理得，設AMax(0<x<1)，則AMax，BMaax，所以在RtMBA中，cos(2)，所以x，即AM，所以AN.2sin sinsin2sin cos sin 2cos 2sin(2)，因為<<，所以<2<，所以當且僅當2，即時，AN的值最小，且ANa，此時綠地公共走道的長度MNa.