2020年高考數學40個考點總動員 考點38 幾何證明選講（教師版） 新課標

考點38 幾何證明選講【高考再現1（2020年高考（四川理）如圖,正方形的邊長為,延長至,使,連接、則（）A B C D3. （2020年高考（陜西理）如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,垂足為F,若,則_.【解析】:,在中,ABOP圖24. （2020年高考（湖南理）如圖2,過點P的直線與圓O相交于A,B兩點.若PA=1,AB=2,PO=3,則圓O的半徑等于_.【答案】 【解析】設交圓O于C,D,如圖,設圓的半徑為R,由割線定理知 5（2020年高考（廣東理）(幾何證明選講)如圖3,圓的半徑為1,、是圓周上的三點,滿足,過點作圓的切線與的延長線交于點,則_.【答案】【解析】:連接,則,因為,所以.7（2020年高考（陜西文）如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,垂足為F,若,則_ _.【解析】:,在中,9（2020年高考（新課標理）選修4-1:幾何證明選講如圖,分別為邊的中點,直線交的外接圓于兩點,若,證明:(1);(2)【解析】(1), (2) 10（2020年高考（遼寧理）選修41:幾何證明選講 如圖,O和相交于兩點,過A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點,連接DB并延長交O于點E.證明：();() .【答案及解析】 11（2020年高考（江蘇）選修4 - 1:幾何證明選講如圖,是圓的直徑,為圓上位于異側的兩點,連結并延長至點,使,連結.求證:. 【解析】證明:連接. 是圓的直徑,(直徑所對的圓周角是直角). (垂直的定義). 又,是線段的中垂線(線段的中垂線定義). (線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等). (等腰三角形等邊對等角的性質). 又為圓上位于異側的兩點, (同弧所對圓周角相等). (等量代換). 12（2020年高考（課標文）選修4-1:幾何選講如圖,D,E分別是ABC邊AB,AC的中點,直線DE交ABC的外接圓與F,G兩點,若CFAB,證明:() CD=BC;()BCDGBD.【方法總結】注意結合圖形的性質特點靈活選擇判定定理在一個題目中，判定定理和性質定理可能多次用到涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角【考點剖析】一明確要求考查相似三角形的判定和性質定理的應用及直角三角形的射影定理的應用；考查圓的切線定理和性質定理的應用；考查相交弦定理，切割線定理的應用；考查圓內接四邊形的判定與性質定理二命題方向牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法；緊緊抓住相交弦定理、切割線定理以及圓內接四邊形的判定與性質定理，重點以基本知識、基本方法為主，通過典型的題組訓練，掌握解決問題的基本技能.三規(guī)律總結1平行截割定理(1)平行線等分線段定理及其推論定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等推論：經過梯形一腰的中點而且平行于底邊的直線平分另一腰(2)平行截割定理及其推論定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例(3)三角形角平分線的性質三角形的內角平分線分對邊成兩段的長度比等于夾角兩邊長度的比(4)梯形的中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半2相似三角形基礎梳理1圓周角定理(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角(2)圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧度數的一半(3)圓周角定理的推論同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑2圓的切線(1)直線與圓的位置關系直線與圓交點的個數直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關系相交兩個dr相切一個dr相離無dr(2)切線的性質及判定切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑切線的判定定理過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線(3)切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線長相等3弦切角基礎梳理1圓中的比例線段定理名稱基本圖形條件結論應用相交弦定理弦AB、CD相交于圓內點P(1)PA·PBPC·PD；(2)ACPDBP(1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一；(2)求弦長及角切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PB·PC；(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割線定理PAB、PCD是O的割線(1)PA·PBPC·PD；(2)PACPDB(1)求線段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)應用相似求AC、BD2.圓內接四邊形(1)圓內接四邊形性質定理：圓內接四邊形的對角互補(2)圓內接四邊形判定定理：如果四邊形的對角互補，則此四邊形內接于圓；若兩點在一條線段同側且對該線段張角相等，則此兩點與線段兩個端點共圓，特別的，對定線段張角為直角的點共圓【基礎練習】1（經典習題）如圖所示，已知abc，直線m、n分別與a、b、c交于點A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，則BC_.2（經典習題）如圖所示，BD、CE是ABC的高，BD、CE交于F，寫出圖中所有與ACE相似的三角形_3（經典習題）如圖所示，已知DEBC，BFEF32，則ACAE_，ADDB_.4（經典習題）如圖所示，ABC中，C90°，AB10，AC6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為_【解析】連接CP.由推論2知CPA90°，即CPAB，由射影定理知，AC2AP·AB.AP3.6，BPABAP6.4.【答案】6.45（經典習題）如圖所示，AB、AC是O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧上的點，已知BAC80°， 那么BDC_.6（經典習題）如圖所示，已知O的兩條弦AB、CD相交于AB的中點E，且AB4，DECE3，則CD的長為_ 【名校模擬】一基礎扎實1 (北京市東城區(qū)2020學年度第二學期高三綜合練習（二）理) 如圖，直線與相切于點，割線經過圓心，弦于點，則 2(北京市西城區(qū)2020屆高三下學期二模試卷理)如圖，是的內接三角形，是的切線，交于點，交于點若，則_；_【答案】，； 【解析】由切割線定理可知為等邊三角形，由割線定理可知：3(北京市西城區(qū)2020屆高三4月第一次模擬考試試題理)如圖，為的直徑，弦交于點若，則_ 【答案】1【解析】4如圖，切圓于點，割線經過圓心，則 . 5（湖北2020高考沖刺理）6（湖北省黃岡中學2020屆高三五月模擬考試理）如圖，A，B是圓O上的兩點，且OAOB，OA=2，C為OA的中點，連接BC并延長交圓O于點D，則CD= . 【答案】：【解析】：由題意得，在直角，中， 延長AO，與圓O的交點為E，在圓O中，由相交弦定理得, 則。7(華中師大一附中2020屆高考適應性考試理)（選修41：幾何證明選講）如圖，的直徑為6，為圓周上一點，BC=3,過作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為，則CD= .8(2020年大連沈陽聯合考試第二次模擬試題理) 已知為半圓的直徑，為半圓上一.點，過點作半圓的切線，過點作于，交圓于點，()求證：平分；()求的長二能力拔高 9(2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習（二）理)如圖，已知是的切線，是切點，直線交于兩點，是的中點，連結并延長交于點，若，則= . 【答案】【解析】根據已知可得。故,且，在中，根據余弦定理可得。根據相交弦定理得，即，所以，所以.11(2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試理)如圖，在中，是的平分線，的外接圓交于點，.求證：；當，時，求的長. 12. （2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質量檢測(二)文）如圖，AB為圓的直徑，P為圓外一點，過P點作PCAB于C，交圓于D點，PA交圓于E點，BE交PC于F點(I)求證：；()求證：證明：（）依題意， ，所以在 中，在 中,所以（）在中，由得,所以.13. (唐山市2020學年度高三年級第一次模擬考試文)如圖，AB是圓O的直徑，以B為圓心的圓B與圓O的一個交點為P.過點A作直線交圓O于點Q,交圓B于點M、N.(I )求證：QM=QN;(II)設圓O的半徑為2,圓B的半徑為1,當AM=時，求MN的長.14. (2020河南豫東豫北十所名校畢業(yè)班階段性測試(三）文) 如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，延長BC，AD交于點E,且CE=AB=AC,連接BD，交AC于點F.(I)證明:BD平分；(II)若AD=6，BD=8，求DF的長.【解析】：（），（2分），（4分），即平分（5分）（）由（）知又，（7分），（10分）15. (中原六校聯誼2012年高三第一次聯考理) 如圖，O1與O2相交于A、B兩點，過點A作O1的切線交O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交O1、O2于點D、E，DE與AC相交于點P（1）求證：AD/EC；（2）若AD是O2的切線，且PA=6，PC =2，BD =9，求AD的長。三提升自我16(仙桃市2020年五月高考仿真模擬試題理)如圖，半徑分別為和的圓O1與圓O2外切于T，自圓O2上一點P引圓O1的切線，切點為Q，若PQ=2，則PT= 。17（湖北鐘祥一中2020高三五月適應性考試理）（41：幾何證明選講）如圖，是圓的切線，是切點，直線交圓于、兩點，是的中點，連結并延長交圓于點，若，則_ABCD第15題（1）圖18(襄陽五中高三年級第一次適應性考試理)如圖：直角三角形ABC中，B90 o，AB4，以BC為直徑的圓交邊AC于點D，AD2，則C的大小為 19(湖北省武漢市2020屆高中畢業(yè)生五月供題訓練（二）理)如圖，已知C點在O直徑BE的延長線上，CA切O于A點，CD是ACB的平分線且交AB于點D則ADC的度數是 .【答案】：【解析】：由題意得，設AE與CD交于F，個怒弦切角定理，則， 根據三角形外角定理，得，根據三角形內角和定理， 由于CD時ACB的平分線，所以, 由三角形的內角和定理，的, 再由對頂角定理，知，又，所以。20(河北唐山市2020屆高三第三次模擬理)（本小題滿分10分）選修41；幾何證明選講21(河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試理)（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖，在ABC中，BC邊上的點D滿足BD=2DC，以BD為直徑作圓O恰與CA相切于點A，過點B作BECA于點E，BE交圓D于點F （I）求ABC的度數： （ II）求證：BD=4EFBD2EF×BD，BD4EF22(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試文)已知四邊形ACBE,AB交CE于D點，(I )求證：；(II)求證:A、E、B、C四點共圓.【原創(chuàng)預測】如圖AB是的直徑，弦BD, CA的延長線相交于點E,EF垂直JBA的延長線于點F.(I)求證:，；(II)若，求AF的長.