高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2講 合情推理與演繹推理

第2講 合情推理與演繹推理 隨堂演練鞏固 1.下列四個(gè)圖形中,著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng),則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 . 歸納推理:. 2.“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù),某奇數(shù)是9的倍數(shù),故此奇數(shù)是3的倍數(shù)”,上述推理是( ) A.小前提錯(cuò) B.結(jié)論錯(cuò) C.正確的 D.大前提錯(cuò) 【答案】 C 【解析】 這是演繹推理的一般模式“三段論”.前提和推理形式都正確,因此結(jié)論也正確. 3.有一段演繹推理是這樣的:“若直線平行于平面,則該直線平行于平面內(nèi)所有直線;已知直線b∥平面直線平面則直線b∥直線a”,結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)? ( ) A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤 【答案】 A 【解析】 由演繹推理的三段論可知答案應(yīng)為A. 4.觀察下列各式:2 401,…,則的末兩位數(shù)字為( ) A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】 B 【解析】 (方法一)由題意得由于 401末位為1,倒數(shù)第二位為0,因此2 的末兩位定為01.又343,∴的末兩位定為43. (方法二)用歸納法:∵16 117 543,…,由上知末兩位有周期性且T=4. 又∴的末兩位與的末兩位一樣,為43. 5.在等差數(shù)列{}中,若則有等式……且N成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,在等比數(shù)列{}中,若則有等式 成立. 【答案】 …… 【解析】 對(duì)于等差數(shù)列{},若有根據(jù)等差中項(xiàng)的知識(shí),有0, 所以必有……… N. ∵此時(shí)有即k=10. ∴…………. 類似地:對(duì)于等比數(shù)列{},若由等比中項(xiàng)的知識(shí),有…=. ∴………. ∵ ∴k=9. ∴…………. 課后作業(yè)夯基 基礎(chǔ)鞏固 1.下列表述正確的是( ) ①歸納推理是由部分到整體的推理; ②歸納推理是由一般到一般的推理; ③演繹推理是由一般到特殊的推理; ④類比推理是由特殊到一般的推理; ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 【答案】 D 【解析】 歸納推理是由部分到整體的推理,演繹推理是由一般到特殊的推理,類比推理是由特殊到特殊的推理. 2.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b) c=ac+bc”; ③“”類比得到“（ab）c=a（bc）”; ④“”類比得到“p0, a p=xpa=x”; ⑤“||=|m||n|”類比得到“| ab |=|a||b|”; ⑥“”類比得到“”. 以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 ①②正確;③④⑤⑥錯(cuò)誤. 3.已知△ABC中,求證:a<b. 證明: ∴a<b. 框內(nèi)部分是演繹推理的( ) A.大前提 B.小前提 C.結(jié)論 D.三段論 【答案】 B 4.根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn).( ) A. B. C.n+1 D. 【答案】 D 【解析】 第(2)個(gè)圖形,中間有1個(gè)點(diǎn),另外的點(diǎn)指向兩個(gè)方向,每個(gè)方向一個(gè)點(diǎn),共有 個(gè)點(diǎn); 第(3)個(gè)圖形,中間有1個(gè)點(diǎn),另外的點(diǎn)指向三個(gè)方向,每個(gè)方向兩個(gè)點(diǎn),共有個(gè)點(diǎn); 第(4)個(gè)圖形,中間有1個(gè)點(diǎn),另外的點(diǎn)指向四個(gè)方向,每個(gè)方向三個(gè)點(diǎn),共有個(gè)點(diǎn); 第(5)個(gè)圖形,中間有1個(gè)點(diǎn),另外的點(diǎn)指向五個(gè)方向,每個(gè)方向四個(gè)點(diǎn),共有個(gè)點(diǎn); …… 由上面的變化規(guī)律,可猜測(cè),第n個(gè)圖形中心有1個(gè)點(diǎn),另外的點(diǎn)指向n個(gè)方向,每個(gè)方向n-1個(gè)點(diǎn),共 有n(n-1)個(gè)點(diǎn). 5.下列推理是歸納推理的是( ) A.A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則P點(diǎn)的軌跡為橢圓 B.由求出猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式 C.由圓的面積猜想出橢圓的面積S=ab D.以上均不正確 【答案】 B 【解析】 從猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和是從特殊到一般的推理,所以B是歸納推理. 6.如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為此類橢圓被稱為 “黃金橢圓”,類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黃金雙曲線”中, ∵ ∴. ∴.而 ∴.在等號(hào)兩邊同除以得. 7.觀察下列等式: …, 根據(jù)上述規(guī)律,第四個(gè)等式為 . 【答案】 或 【解析】 …, 所以. 8.在德國(guó)不來梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱 錐”形的展品,其中第1堆只有一層,就一個(gè)球;第2、3、4、…堆最底層(第一層)分別按如下圖所示 方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球, 以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù),則f(3)= ;f(n)= (答案用n表示). 【答案】 10 【解析】 f(1)=1,由題圖可得 f(2)=3+1=4 f(3)=6+3+1=10. f(4)=10+6+3+1=20. 可知,下一堆的球的個(gè)數(shù)是上一堆球的個(gè)數(shù)加上其第一層的球的個(gè)數(shù),而第一層的球的個(gè)數(shù)滿足 1,3,6,10,…,其通項(xiàng)公式是. ∴f(5)=f(4)+15…, f(n)=f. ∴… … . ∴. 9.觀察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律,第五個(gè)等式應(yīng)為 . 【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】 觀察等式左側(cè):第一行有1個(gè)數(shù)是1,第二行是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)是2,第三行 是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)是3,第四行是7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)是4,第5行應(yīng)該是連 續(xù)9個(gè)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)為5,∴第5行左側(cè):5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右側(cè):第一行 1=1第二行9=3第三行25=5第四行49=7則第5行應(yīng)為81=9 ∴第五個(gè)等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 10.設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為則成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論 有:設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)積為則 , 成等比數(shù)列. 【答案】 【解析】 對(duì)于等比數(shù)列,通過類比,可得成等比數(shù)列. 11.已知等式:sin+; ; ;…. 由此可歸納出對(duì)任意角度都成立的一個(gè)等式,并予以證明. 【證明】 歸納已知可得: )+sincos. 證明如下: ∵sincos)+sincos) =sincossinsincossin =sincossincossin =sin. ∴等式成立. 12.已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為、時(shí),那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明. 【解】 類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上 任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為、時(shí),那么與之積是與點(diǎn)P的 位置無關(guān)的定值. 證明:設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m,n)、(x,y), 則N(-m,-n). 因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上, 所以.同理. 則定值). 13.已知等差數(shù)列{}的公差d=2,首項(xiàng). (1)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和; (2)設(shè)求;并歸納出與的大小規(guī)律. 【解】 . 2n+3)-5], ∴. ∴ . . 由此可知當(dāng)時(shí). 歸納猜想:當(dāng)N時(shí). 拓展延伸 14.設(shè)N計(jì)算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同時(shí)作出歸納推理,并用 n=40驗(yàn)證猜想是否正確. 解: . ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù), ∴歸納猜想:當(dāng)N時(shí)的值都為質(zhì)數(shù). ∵n=40時(shí)40+1)+ ∴f(40)是合數(shù). 因此,由上面歸納推理得到的猜想不正確.